量子力學：10-無限深球方勢阱

1量子力學無限深球方勢阱三維各向同性諧振子5、2.4，3.12，3.14，3.15（10/13-10/20）2第五章中心力場

(可分離變量的三維定態(tài)問題)★不顯含t

時，定態(tài)3目錄一、中心力場的能量本征方程二、無限深球方勢阱三、三維各向同性諧振子4+r氫原子中，電子的勢能函數(shù)：堿金屬原子中，電子的勢能函數(shù)：它們都是球?qū)ΨQ的，稱之為中心力場。一、中心力場5一、中心力場的能量本征方程設(shè)質(zhì)量為的粒子在中心勢場

中運動，則哈密頓量：考慮到中心勢場

是球?qū)ΨQ的，采用球坐標能量本征方程寫為：

任務(wù)：如何確定本征態(tài)和本征值6一、中心力場能級簡并能量本征方程寫為：為角動量算符，可證明：所以能級是簡并的即：對自身的本征函數(shù)來說，屬于同一能級的簡并態(tài)之間的正交性得不到保證，換句話說：自身不能構(gòu)成力學量完全集，根據(jù)前面的結(jié)果，關(guān)鍵任務(wù)是：尋找力學量完全集，找到其共同本征函數(shù)即：7一、中心力場守恒量以及力學量完全集中心任務(wù)：尋找力學量完全集，找到其共同本征函數(shù)

解釋：盡管對可能是簡并的，但可以用對進行分類，從而使得屬于同一能級的簡并態(tài)的正交性問題得到保證。

任務(wù)第一步：如何尋找因為，所以可以組成完全集根據(jù)分離變量法：，注意到：球坐標下，和只對和起作用，且和擁有共同本征函數(shù)：球諧函數(shù)，即：8一、中心力場能量本征方程即：也就是：是的共同本征函數(shù)：9一、中心力場的徑向方程將代入能量本征方程：得到關(guān)于的徑向方程：令：有：稱為徑向波函數(shù)，取決于的形式。10一、中心力場的徑向方程-簡并是能量本征方程的本征值：但在徑向方程中：有，但沒有。注意到，所以一個必然對應(yīng)個，即：能級至少是級簡并的。

問題：同一能級的簡并態(tài)之間的正交性如何得到保證？11二、無限深球方勢阱(1)

無限深球方勢阱：能量本征方程寫為：解可寫為：其中滿足徑向方程：1、態(tài)情況（即的情況）12二、無限深球方勢阱(2)

態(tài)情況在邊界條件下求解方程勢阱內(nèi)：令又因為所以能量本征值：由歸一化條件：13二、無限深球方勢阱(3)2、非

態(tài)情況（即的情況）勢阱內(nèi)：令徑向方程寫為：稱為球Bessel方程，其解：稱為球Bessel函數(shù)：邊界條件：下，有令因此由可以求出根，表示的節(jié)點數(shù)。14二、無限深球方勢阱(4)畫圖求解15二、無限深球方勢阱(5)，所以令由歸一化條件可得：16二、無限深球方勢阱(6)3、解的討論

(1)、能級：17二、無限深球方勢阱(7)

(2)、本征函數(shù)：與相對應(yīng)的能量本征函數(shù)：其中：所以當和確定后，給定，但即共有個，每個對應(yīng)個所以能級是度簡并18二、無限深球方勢阱(8)

(3)、簡并態(tài)的分類每個對應(yīng)個，即能級是度簡并因為是的共同本征函數(shù)，因此可以利用和的本征值對應(yīng)的量子數(shù)和對進行分類，從而保證對應(yīng)同一能級的個不同本征態(tài)之間的正交性得到保證：19二、無限深球方勢阱(9)以為例：對應(yīng)個即：為三重簡并。正交歸一性表示為：因此可見，利用力學量完全集，可以解決對應(yīng)同一能級的不同簡并態(tài)之間的正交性問題！20三、三維各向同性諧振子(1)三維各向同性諧振子勢能項：具有中心對稱性，徑向方程寫為：采用自然單位，令，有：求解思路：可令，將關(guān)于的方程轉(zhuǎn)換為的方程，而則從和時的漸進行為中獲得。21三、三維各向同性諧振子(2)1、波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋對波函數(shù)的漸進行為的要求對任意波函數(shù)，若，則是的奇點，粒子出現(xiàn)在概率應(yīng)該為0。

設(shè)體積元是以為球心、半徑為的小球，如果要求積分能代表粒子出現(xiàn)在內(nèi)的概率，由前面的分析，應(yīng)該有若22三、三維各向同性諧振子(3)2、徑向波函數(shù)在時的漸進行為：是方程的奇點，在其領(lǐng)域內(nèi)，方程化簡為：在的領(lǐng)域內(nèi)，設(shè)，代入方程，有：即：時：必須舍去。所以時：23三、三維各向同性諧振子(4)3、徑向波函數(shù)在時的漸進行為：也是方程的奇點，漸進方程為：解為：因為不滿足束縛態(tài)條件，舍去所以時：因此可將徑向方程的解設(shè)為：24三、三維各向同性諧振子(5)4、三維各向同性諧振子徑向方程的解（1）將帶入上述徑向方程，化簡為：令上述方程化為：方程的解為：，稱為合流超幾何函數(shù)。25三、三維各向同性諧振子(6)4、三維各向同性諧振子徑向方程的解（2）所以不能作為波函數(shù)（不符合束縛態(tài)條件），為滿足束縛態(tài)條件，必須中斷為一個多項式，即要求或者是負整數(shù)。即：加上自然單位26三、三維各向同性諧振子(7)5、三維諧振子的能量本征值與徑向方程的本征態(tài)（1）令：所以徑向方程的解為:根據(jù)歸一化條件，可得:可證明：27三、三維各向同性諧振子(8)5、三維諧振子的能量本征值與徑向方程的本征態(tài)（2）與相對應(yīng)的能量本征函數(shù)為：其中：可證明：28三、三維各向同性諧振子(9)6、解的討論

能級的簡并度(1)、能級均勻分布，相鄰能級差都是(2)、因為，所以對于同一個，有的不同組合與其對應(yīng)，但每給定一組，就有一個能量本征值，對應(yīng)的能量本征態(tài)為可證明：簡并度時，，即能級是不簡并的。29三、三維各向同性諧振子(10)6、三維諧振子在直角坐標系中的解(1)三維諧振子勢能項：線性諧振子選為力學量完全集，其共同本征態(tài)函數(shù)應(yīng)該為其各自本征函數(shù)的積，即：30三、三維各向同性諧振子(11)6、三維諧振子在直角坐標系中的解(2)為力學量完全集的共同本征態(tài)函數(shù)。相應(yīng)的能量本征值為：