量子力學：第13講 表象變換

1量子力學光電子科學與工程學院王可嘉第十三講表象變換2目錄零、三維各向同性諧振子的回顧一、表象及其變換二、算符的矩陣表示三、量子力學的矩陣形式四、例題3零、三維各向同性諧振子的回顧(1)三維各向同性諧振子在球坐標下的解：與相對應的本征函數為：4零、三維各向同性諧振子的回顧(2)三維各向同性諧振子在直角坐標下的解：5零、三維各向同性諧振子的回顧(3)選取組成力學量完全集。其共同本征函數為各自本征函數的乘積，即：即：6零、三維各向同性諧振子的回顧(4)總能量本征態(tài)為線性諧振子解總能量本征值為7零、三維各向同性諧振子的回顧(5)直角坐標系下解和球坐標系下解的關系：球坐標下為的共同本征態(tài)。直角坐標下為的共同本征態(tài)。因為是同一問題在不同坐標系下的解，應該有相互聯系以為例，能級是三重簡并，即有三個態(tài)：可證明：8一、表象及其變換(1)設代表一組力學量完全集，即是的共同本征函數，一般代表一組量子數。設代表一組力學量完全集，即是的共同本征函數，一般代表一組量子數。設是體系的一個量子態(tài)，根據態(tài)疊加原理，有：同時稱(1)和(2)式分別為態(tài)在和表象中的展開式。9一、表象及其變換(2)所謂表象，就是量子態(tài)的具體表示方式。稱和為態(tài)在和表象中的表示因為所以和必定有一定的關系，這種變換關系即為表象變換。10一、表象及其變換(3)矢量在不同坐標系下的變換：矢量在中，有矢量在中，有設，可證明存在一個有：稱為幺正矩陣11一、表象及其變換(4)以左乘上式，即全空間積分有：將寫為矩陣形式即12一、表象及其變換(5)所以任一量子態(tài)在表象中的表示可以通過矩陣變換成表象中的表示

其中：，即可證明：即變換矩陣是幺正矩陣。稱上述變換為幺正變換13一、表象及其變換(6)所以任一量子態(tài)能夠用任一力學量完全集的共同本征函數（它們構成一組正交歸一完備基矢）來展開展開系數，稱為在表象中的表示。同樣可以在表象中展開為：展開系數為，為在表象中的表示，這兩種表示可以通過一種幺正變換相聯系。即其中：14二、算符的矩陣表示(1)設為某一力學量的算符，量子態(tài)經過運算后變成另一量子態(tài)，即，設在表象的基矢為

，將和用展開，有，其中列向量和分別為和在表象中的表示。其中：為在表象中的表示。15二、算符的矩陣表示(2)為在表象中的表示。矩陣

就是在表象中的矩陣表示。在表象中，同樣有：矩陣

就是在表象中的矩陣表示。16二、算符的矩陣表示(3)對量子態(tài)和算符，在表象(基矢)中，有對量子態(tài)和算符，在表象(基矢)中，有已知和可以通過幺正變換相聯系，即幺正矩陣可證明，矩陣和可以通過幺正矩陣相似變換相聯系：17二、算符的矩陣表示(4)

例題：求坐標、動量和哈密頓算符在一維諧振子能量表象中的矩陣表示?！窘狻浚阂痪S諧振子能量表象的基矢為其能量本征函數，有如下性質：坐標在此表象中矩陣表示的矩陣元為：18二、算符的矩陣表示(5)寫為矩陣形式為：19二、算符的矩陣表示(6)即：20二、算符的矩陣表示(7)對于，有即：

結論：力學量在其自身表象中，其矩陣表示為一個對角陣。21三、量子力學的矩陣形式(1)在表象(基矢)中,量子態(tài)用列向量表示，即，算符用矩陣表示，即其中：

(1)含時薛定諤方程的矩陣表示其中：22三、量子力學的矩陣形式(2)例如，在一維諧振子能量表象中，含時薛定諤方程表示為：即：，若則有：定態(tài)解23三、量子力學的矩陣形式(3)

(2)平均值計算公式的矩陣表示在表象(基矢)中,量子態(tài)用列向量表示，即，算符用矩陣表示，即其中：在態(tài)下，力學量的平均值為24三、量子力學的矩陣形式(4)

(3)力學量本征方程的矩陣表示力學量的本征方程為：在表象(基矢)中：