無 窮 小 與 無 窮 大

無窮小與無窮大2/6/202311.定義6:極限為零的變量稱為無窮小.例如:第、四節(jié)極限目錄后退主頁退出本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)目的要求本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)本節(jié)引入知識(shí)2/6/202322/6/20233又如:注意1.無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:第三、四節(jié)極限目錄后退主頁退出本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)目的要求本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)本節(jié)引入知識(shí)2/6/20234推論1在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.性質(zhì)2有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.都是無窮小.性質(zhì)3有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.第三、四節(jié)極限目錄后退主頁退出本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)目的要求本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)本節(jié)引入知識(shí)2/6/202352.無窮大量絕對(duì)值無限增大的變量稱為無窮大.定義7:例如:第三、四節(jié)極限目錄后退主頁退出本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)目的要求本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)本節(jié)引入知識(shí)2/6/20236特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大．注意1.無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;3.無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.第三、四節(jié)極限目錄后退主頁退出本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)目的要求本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)本節(jié)引入知識(shí)2/6/20237第三、四節(jié)極限目錄后退主頁退出本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)目的要求本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)本節(jié)引入知識(shí)2/6/20238無窮小與無窮大的關(guān)系定理在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.注意:

關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.第三、四節(jié)極限目錄后退主頁退出本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)目的要求本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)本節(jié)引入知識(shí)2/6/20239例如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限四、無窮小的比較2/6/202310定義:記作=O()或=O()2/6/202311例1解例2解2/6/202312常用等價(jià)無窮小:用等價(jià)無窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式:例如,2/6/202313解2/6/202314定理(等價(jià)無窮小替換定理)證五、等價(jià)無窮小代換2/6/202315例3解不能濫用等價(jià)無窮小代換.對(duì)于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.注意2/6/202316例4解解錯(cuò)2/6/202317例5解例62/6/202318例7已知當(dāng)x→0時(shí)，是等價(jià)無窮小，求a.2/6/2023191.無窮小的比較:反映了同一過程中,兩無窮小趨于零的速度快慢,但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較.2.等價(jià)無窮小的替換:

求極限的又一種方法,注意適用條件.高(低)階無窮小;等價(jià)無窮小;無窮小的階.小結(jié)2/6/202320等價(jià)無窮小替換求極限利用等價(jià)無窮小替換能較方便求出某些較復(fù)雜的極限。常用的等價(jià)無窮?。ǎ┱f明：做等價(jià)替換時(shí)，只能對(duì)分子或分母進(jìn)行整體代換。例十七、求極限解：因當(dāng)所以上頁下頁2/6/202321例十八、求極限解：因?yàn)楫?dāng)所以例十九、求極限解：因?yàn)樗?/p>

上頁下頁2/6/202322提高題一、求下列極限：二、設(shè)函數(shù)問a為何值時(shí)，函數(shù)在x=0處的極限存在。上頁下頁2/6/202323提高題（解析）一、求下列極限：解：二、解：要使函數(shù)在x=0處極限存在，必須使

--完--上頁主頁2/6/202324思考題任何兩個(gè)無窮小量都可以比較嗎？2/6/202325思考題解答不能．例當(dāng)時(shí)都是無窮小量但不存在且不為無窮大故當(dāng)時(shí)2/6/202326比較下列各對(duì)無窮小的階1）x→1時(shí)與2）x→1時(shí),與2(1-x)4）x→1時(shí),與3）x→0時(shí),與解1）2）與2(1-x)是同階無窮小。2/6/2023273）是比sinxtanx低階無窮小。又∴sinxtanx是

的2階無窮小。2/6/2023284）是比高階無窮?。簁=2是的2階無窮小。2/6/202329小結(jié)1、主要內(nèi)容:兩個(gè)定義;四個(gè)定理;三個(gè)推論.2、幾點(diǎn)注意:無窮小與無窮大是相對(duì)于過程而言的.（1）無窮?。ù螅┦亲兞?不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯