第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法

30/4/200906/ec/C180/黃山學院信息工程學院自動控制第五章頻率分析法第五章頻率分析法

在工程實際中，人們常運用頻率特性法來分析和設計控制系統(tǒng)的性能。

頻率特性法是一種圖解分析法，主要是通過系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的圖形來分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能，因而可避免繁瑣復雜的運算。來分析和設計控制系統(tǒng)的性能。第一節(jié)頻率特性

頻率分析法的數學模型是頻率特性。通過對系統(tǒng)頻率特性的分析來分析和設計控制系統(tǒng)的性能。一、頻率特性的定義二、頻率特性的幾何表示法第五章頻率分析法G(S)R(s)C(s)

系統(tǒng)結構圖如圖:

一頻率特性的定義設系統(tǒng)傳遞函數為第一節(jié)頻率特性特征方程的根G(s)=(s-s1)(s-s2)···(s-sn)U(s)C(s)=G(s)R(s)R(s)=As2+ω2ωr(t)=Asinωt·=(s-s1)(s-s2)···(s-sn)U(s)As2+ω2ω=A1s+jBis–si∑ni=1+ωA2s-j+ω拉氏反變換得:c(t)=A1e-jtωejtω+A2∑ni=1esit+Bi系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應為cs(t)=limc(t)

t→∞e-jtωejtω+A2=A1求待定系數:A1=G(s)(s+js=-jAs2+ω2ωω)ω=G(-j-2jAω)同理:-jG(jω)G(-jω)=|G(jω)|e根據-2j-jG(jω)A|G(jω)|e==2jA|G(jω)|ejG(jω)G(j2jAω)A2=-2jcs(t)=A|G(jej[G(jω)]ωt+e-j[G(jω)]ωt+ω)|[G(jωt+cs(t)=A|G(jω)|sinω)]

系統(tǒng)正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦信號，輸出與輸入的幅值之比為|G(jω)|,穩(wěn)態(tài)輸出與輸入間的相位差為∠G(jω)。

系統(tǒng)輸入輸出曲線r(t)t0c(t)AAG(jω)r(t)=AsinωtG(jωt+cs(t)=A|G(jω)|sin[ω)]G(jω)定義頻率特性為:)G(jωjG(jω)=|G(jω)|e)ejφ(ω)=A(ω幅頻特性：)=|G(jω)|A(ω相頻特性：G(jω)φ(ω)=

頻率特性表征了系統(tǒng)輸入輸出之間的關系，故可由頻率特性來分析系統(tǒng)性能。第一節(jié)頻率特性例求圖所示RC電路的頻率特性，并求該電路正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)輸出響應。解:傳遞函數為G(s)=Ts+11T=RC頻率特性電路的穩(wěn)態(tài)輸出:+-ucur+-CiRur(t)=AsinωtT+11)=G(jωjω=1+(ωT)2-j1ω1+(T)2TωωT)t-tg-1

Asin(cs(t)=

ω1+(T)2ω√幅頻特性和相頻特性)=|G(jω)|A(ω=1+(T)21ω√G(jω)φ(ω)=ωT=-tg-1

第一節(jié)頻率特性ω0-80-60-40-200Φ(ω)12345TTTTTRC電路的頻率特性曲線

ω1A00.2A0.4A0.6A0.8AA(ω)12345TTTTT

頻率特性可表示為：)G(jω)ejφ(ω)=A(ω=P(ω)+jQ(ω))=tg-1(ωQ(P(ω)ω)φ+Q2(√)=A(ωP2(ω)ω)第一節(jié)頻率特性0Reω∞Imωω=0二頻率特性的幾何表示法

頻域分析法是一種圖解分析法，常見的頻率特性曲線有以下兩種。

1．幅相頻率特性曲線

幅相頻率特性曲線又稱奈魁斯特曲線

幅相頻率特性曲線

也稱極坐標圖第一節(jié)頻率特性-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec-400-202040-1800-901100.1ω1100.1ω2．對數頻率特性曲線

對數頻率特性曲線又稱伯德圖.

對數幅頻特性十倍頻程縱坐標表示為：橫坐標表示為：dB

L(ω)=20lgA(ω)

lgω-101dec為方便只表示ωL(ω)=20lgA(ω)單位為dB斜率

對數相頻特性)

(ωφ第一節(jié)頻率特性第五章頻率分析法第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)頻率特性

頻率特性法是一種圖解分析法，它是通過系統(tǒng)的頻率特性來分析系統(tǒng)的性能,因而可避免繁雜的求解運算。與其他方法比較,它具有一些明顯的優(yōu)點.一、典型環(huán)節(jié)及其頻率特性二、控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性三、傳遞函數的頻域實驗確定第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性一、典型環(huán)節(jié)及其頻率特性1．典型環(huán)節(jié)（1）最小相位系統(tǒng)環(huán)節(jié)1）比例環(huán)節(jié)2）慣性環(huán)節(jié)3）一階微分環(huán)節(jié)4）振蕩環(huán)節(jié)5）二階微分環(huán)節(jié)6）積分環(huán)節(jié)7）微分環(huán)節(jié)第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性（2）非最小相位系統(tǒng)環(huán)節(jié)1）比例環(huán)節(jié)2）慣性環(huán)節(jié)3）一階微分環(huán)節(jié)4）振蕩環(huán)節(jié)5）二階微分環(huán)節(jié)

除了比例環(huán)節(jié)外，非最小相位環(huán)節(jié)和與之相對應的最小相位環(huán)節(jié)的區(qū)別在于開環(huán)零極點的位置。

由于開環(huán)傳遞函數的分子分母多項式的系數皆為實數，可以將其分解成若干典型環(huán)節(jié)的串聯形式，

即

第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性設典型環(huán)節(jié)的頻率特性為則系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為系統(tǒng)開環(huán)對數幅頻特性為結論：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性表現為組成開環(huán)系統(tǒng)的諸典型環(huán)節(jié)頻率特性的合成；而系統(tǒng)開環(huán)對數頻率特性，則表現為諸典型環(huán)節(jié)對數頻率特性的疊加這一更為簡單的形式。2.典型環(huán)節(jié)的頻率特性1)．比例環(huán)節(jié)0KReIm(1)奈氏圖

G(s)=K第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性=K)G(jωK)=A(ω0oφ(ω)=(2)伯德圖

對數幅頻特性：=20lgKL(ω)=20lgA(ω)20lgK010.1ωdB

L(ω)對數相頻特性：=0o)=tg-1(ωQ(P(ω)ω)φ010.1ω)

(ωφ2)．積分環(huán)節(jié)

(1)

奈氏圖ReIm0ω=0∞G(s)=1s1j)=G(jωω1ω)=A(ω-90oφ(ω)=(2)

伯德圖對數幅頻特性：

=-20lgωL(ω)=20lgA(ω)

對數相頻特性：10.1100-9010.110-20dB/dec-90oφ(ω)=ωωω=1L(ω)=-20lg1=0dBω=0.1L(ω)=-20lg0.1=20dB)

(ωφdB

L(ω)020-20第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性3)．微分環(huán)節(jié)

(1)

奈氏圖

G(s)=sω)=A(ω90oφ(ω)=j)=G(jωωReIm0ω=0∞(2)伯德圖

對數幅頻特性：

L(ω)=20lgA(ω)=20lgω

對數相頻特性：10.11010.11020dB/dec90oφ(ω)=ωωω=1L(ω)=20lg1=0dBω=0.1L(ω)=20lg0.1=-20dB)

(ωφdB

L(ω)020-20090第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性4)．慣性環(huán)節(jié)G(s)=1Ts+11T+1j)=G(jωωT)211+(ω)=A(ωωT-tg-1

φ(ω)=(1)

奈氏圖

根據幅頻特性和相頻特性求出特殊點，然后將它們平滑連接起來。取特殊點：ω=0)=1A(ω0oφ(ω)=ω=∞-90oφ(ω)=-0)=A(ω1ω=T)=0.707A(ω-45oφ(ω)=繪制奈氏圖近似方法:

ReIm0ω=011ω=T-45ω∞0.707可以證明：

慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖是以(1/2,jo)為圓心，以1/2為半徑的半圓。第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性(2)伯德圖對數幅頻特性：

轉折頻率-20dB/decT110TωdB

L(ω)T)211+(ω)=20lgL(ω<<ω1T(ωT)2<<1=0dB20lg1~~L(ω)ω<1/T頻段,可用0dB漸近線近似代替-20020ω1T

>>(ωT)2>>120lgT1~~L(ω)ω=-20lgωT

ω>1/T頻段，可用-20dB/dec漸近線近似代替兩漸近線相交點的為轉折頻率ω=1/T。漸近線漸近線漸近線產生的最大誤差值為：21L=20lg=-3.03dB精確曲線為精確曲線相頻特性曲線：ωT-tg-1

φ(ω)=ω0-45-90)

(ωφω=00oφ(ω)=1ω=T-90oφ(ω)=--45oφ(ω)=ω→∞第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性5)．一階微分環(huán)節(jié)G(s)=1+Ts(1)

奈氏圖1∞ω=0ω=∞1)=A(ω0oφ(ω)=∞)=A(ω90oφ(ω)=T)21+(ω)=A(ωωTtg-1

φ(ω)=T+1j)=G(jωωReIm0ω=0第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性(2)

伯德圖

一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性與慣性環(huán)節(jié)成反比,所以它們的伯德圖對稱于橫軸。20dB/decT110TωdB

L(ω)-20020ω)

(ωφ對數幅頻特性：

T)21+(ω)=20lgL(ω漸近線相頻特性曲線：ωTtg-1

φ(ω)=45090ω=00oφ(ω)=1ω=T45oφ(ω)=90oφ(ω)=ω→∞第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性6)．振蕩環(huán)節(jié)

n=(1-ωω2ω1)222n)2+(ζωG(s)=ωnωnζs2+2s+ωn22ωnωnζωωn22)=G(jωω-2+j2)2(ωnωnζωωn22)=A(ωω-2)2+(2(1)

奈氏圖1ω=01)=A(ω0oφ(ω)=ReIm0-90oφ(ω)=21)=A(ωζω=ωnω=∞0)=A(ω-180oφ(ω)=ω=0ω∞ω=ωn

將特殊點平滑連接起來，可得近似幅相頻率特性曲線。ζ=0.4

幅相頻率特性曲線因ζ值的不同而異。ζ=0.6ζ=0.8ωnζωωn22ω-2φ(ω)=-tg-1第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性(2)伯德圖

對數幅頻特性：)2(ωnωnζωωn22ω-2)2+(2)=20lgL(ωωn<<ωω

>>ωn=0dBL(ω)≈20lg1ωdB

L(ω)ωn(ω2L(ω)≈20lg)ωnω=-40lgωn-20020-40ωn10

精確曲線與漸近線之間存在的誤差與ζ值有關，ζ較小，幅值出現了峰值。ωd=0)dA(ω可求得Mr=11-

ζ22

ζωrω=1-2

ζ2n諧振頻率諧振峰值精確曲線ζ=0.1ζ=0.3ζ=0.5相頻特性曲線：ω0-90-180)

(ωφωnζωωn22ω-2φ(ω)=-tg-1ω=00oφ(ω)=-90oφ(ω)=ω=ωnω=∞-180oφ(ω)=ζ不同，相頻特性曲線的形狀有所不同：ζ=0.1ζ=0.３ζ=0.５-40dB/decζ=0.7第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性因為實際對數幅頻曲線與阻尼比有關，誤差曲線為一曲線簇，如下圖，據此修正漸進曲線而獲得準確曲線。第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性注意：在實際分析對數幅頻漸進特性曲線時，常用的半對數坐標系中的直線方程為：其中和為直線上的兩點，為直線斜率。7)．時滯環(huán)節(jié)奈氏圖是一單位圓(1)

奈氏圖1ω=0G(s)=e-τsjG(jωω)=e-τωτφ(ω)=-1)=A(ωReIm0ω=01)=A(ω0oφ(ω)=ω=∞1)=A(ω-φ(ω)=∞(2)伯德圖L(ω)=20lg1=0dBωdB

L(ω)020ωτφ(ω)=-ω)

(ωφ0-100-200-300第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性

8．非最小相位環(huán)節(jié)最小相位環(huán)節(jié):

最小相位環(huán)節(jié)對數幅頻特性與對數相頻特性之間存在著唯一的對應關系。對非最小相位環(huán)節(jié)來說，不存在這種關系。

開環(huán)傳遞函數中沒有s右半平面上的極點和零點。

開環(huán)傳遞函數中含有s右半平面上的極點或零點。非最小相位環(huán)節(jié):第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性環(huán)節(jié)傳遞函數

斜率dB/dec

特殊點φ(ω)0o1s1Ts+11s2KL(ω)=0ω=1,L(ω)=20lgKT1ω=轉折頻率轉折頻率1ω=τ轉折頻率ω=ωn-90o-180o0o～-90o0o～90o0o～-180o比例積分重積分慣性比例微分振蕩常用典型環(huán)節(jié)伯德圖特征表

00,-20-20-400,200,-40L(ω)=0ω=1,s2+2ωnζωns+22ωn1+τs第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性二、控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性

頻率特性法的最大特點是根據系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線分析系統(tǒng)的閉環(huán)性能,這樣可以簡化分析過程。所以繪制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線就顯得尤為重要。下面介紹開環(huán)系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線和對數頻率特性曲線的繪制。第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性1．系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性曲線

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數一般是由典型環(huán)節(jié)串聯而成的：積分環(huán)節(jié)的個數時間常數系統(tǒng)的階次開環(huán)增益n>m幅頻特性:相頻特性:

近似繪制系統(tǒng)的奈氏圖:先把特殊點找出來，然后用平滑曲線將它們連接起來。Tj)21+(ω)=A(ωωi)21+(ωτmj=1υKΠi=1Πn-υυυ90o+m∑n-j=1∑i=1φ(ω)=-ωτ

tg-1

ωTj

tg-1

imG(s)=sj=1υ(Tjs+1)n-υKΠ(i=1τis+1)Π第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性

繪制概略開環(huán)幅相曲線的方法。反映開環(huán)頻率特性的三個重要因素：（1）確定開環(huán)幅相曲線的起點和終點（2）確定開環(huán)幅相曲線與實軸的交點或為穿越頻率，開環(huán)幅相曲線曲線與實軸交點為（3）開環(huán)幅相曲線的變化范圍（象限和單調性）。

(1)0型系統(tǒng)υ=0特殊點:系統(tǒng)起點和終點Kυ=0n-m=2n-m=1n-m=3Tj)21+(ω)=A(ωi)21+(ωτmj=1KΠi=1Πnm∑nj=1∑i=1φ(ω)=ωτ

tg-1

ωTj

tg-1

iReIm0ω=0)=KA(ω0oφ(ω)=ω=∞0)=A(ω-(n-m)90oφ(ω)=ω=0ω=∞幅頻和相頻特性:第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性(2)

Ｉ型系統(tǒng)υ=1系統(tǒng)起點和終點n-m=2n-m=1n-m=3ω=∞Tj)21+(ω)=A(ωωi)21+(ωτmj=1KΠi=1Πn-190o+m∑n-1j=1∑i=1φ(ω)=-ωτ

tg-1

ωTj

tg-1

iReIm0ω=0ω=∞幅頻和相頻特性:υ=1特殊點:ω=0)=∞A(ω-90oφ(ω)=0)=A(ω-(n-m)90oφ(ω)=第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性(3)II型系統(tǒng)υ=2n-m=2n-m=1n-m=3系統(tǒng)起點和終點ω=0ω=∞mTj)21+(ω)=A(ωωi)21+(ωτj=12KΠi=1Πn-2180o+m∑n-2j=1∑i=1φ(ω)=-ωτ

tg-1

ωTj

tg-1

i幅頻和相頻特性:ReIm0ω=0ω=∞υ=2特殊點:)=∞A(ω-180oφ(ω)=0)=A(ω-(n-m)90oφ(ω)=第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性

開環(huán)系統(tǒng)奈氏曲線起點和終點的綜合情況如圖:υ=1υ=0υ=3υ=2奈氏曲線的起點

奈氏曲線的終點n-m=2n-m=1n-m=3ReIm0ReIm0ω=∞第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性

例1試繪制系統(tǒng)的奈氏圖系統(tǒng)的奈氏圖解：n-m=2I型系統(tǒng)G(s)=Ks(Ts+1)特殊點:ω=0ω=∞T)2K1+(ω)=A(ωωωTφ(ω)=-90o-tg-1ReIm0ω=0ω=∞)=∞A(ω-90oφ(ω)=-180oφ(ω)=0)=A(ω第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性

例2已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數,試畫出該系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線。解：

1)

τ>Tω=0ω>0ω=∞K0型，n=mG(s)=K(1+1+Tsτs)T)21+(ω)=A(ω)21+(ωτKφ(ω)=ωτ

tg-1

ωTtg-1

ReIm00oφ(ω)=)=KA(ω)>KA(ω0oφ(ω)>)=A(ωKTτ

KTτ

0oφ(ω)=ω=0ω=∞

1)

τ<Tω=0ω>0ω=∞0oφ(ω)=)=KA(ω)<KA(ω0oφ(ω)<)=A(ωKTτ

0oφ(ω)=Kω=0KTτ

ω=∞第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性2．系統(tǒng)開環(huán)對數頻率特性

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數一般由典型環(huán)節(jié)串聯而成：開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性：

G(s)=G1(s)·G2(s)·G3(s)…Gn(s)=ΠGi(s)ni=1對數幅頻特性：對數相頻特性：n)=ΠGi(ji=1G(jωω)=ΠAi(ni=1)ejφi(ω)ω)=20lgΠAi(ni=1L(ωω)=Σ20lgAi(ni=1ω)=ΣLi(ni=1ω))=Σφ(ωφi(ni=1ω)

將各環(huán)節(jié)的對數頻率特性曲線相加，即為開環(huán)系統(tǒng)的對數頻率特性曲線。第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性

繪制系統(tǒng)開環(huán)對數頻率特性曲線的一般步驟：1)

將開環(huán)傳遞函數化成典型環(huán)節(jié)的乘積。3)將各環(huán)節(jié)的對數幅頻、相頻曲線相加。2）畫出各典型環(huán)節(jié)的對數幅頻和對數相頻特性曲線；第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性

例已知開環(huán)傳遞函數，試畫出系統(tǒng)的開環(huán)對數頻率特性曲線。解：G(s)=(s+10)s(2s+1)G(s)=10(0.1s+1)s(2s+1)畫出各環(huán)節(jié)的對數頻率特性曲線G1(s)=10ω-20dB\decφ3φ1φ4φ2L1L3L2L41100.5-20020400-180-9090-40dB/decωG2(s)=1sG3(s)=0.1s+1G4(s)=2s+11

各環(huán)節(jié)曲線相加，即為開環(huán)系統(tǒng)的對數頻率特性曲線。dB

L(ω)-20dB/dec)

(ωφ可知：

低頻段幅頻特性可近似表示為：)≈A(ωυωKυ)=20lgK-20lgL(ωω低頻段曲線的斜率-20υdB/dec低頻段曲線的高度L(1)=20lgK第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性

根據對數幅頻特性曲線的低頻段和各轉折頻率即可確定系統(tǒng)的對數頻率特性曲線。實際的作圖過程可簡化為：1)

將開環(huán)傳遞函數標準化；2)在坐標中標出各環(huán)節(jié)的轉折頻率；3)過ω=1，L(ω)=20lgK這點，作斜率為-20υdB/dec的低頻漸近線；4)每到某一環(huán)節(jié)的轉折頻率處，根據該環(huán)節(jié)的特性改變一次漸近線的斜率。5)畫出對數相頻特性的近似曲線。第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性

例試畫出系統(tǒng)的伯德圖

解：G(s)=100(s+2)s(s+1)(s+20)G(s)=10(0.5s+1)s(s+1)(0.05s+1)將式子標準化各轉折頻率為：ω1-20dB/dec202-40dB/dec-20dB/decω0-180-90-40dB/dec-2002040低頻段曲線：20lgK=20lg10=20dB相頻特性曲線：ω=0ω=∞dB

L(ω))

(ωφω1=1ω2=2ω3=20-90oφ(ω)=-180oφ(ω)=第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性三、傳遞函數的頻域實驗確定

頻率特性具有明確的物理意義，可用實驗的方法來確定它.這對于難以列寫其微分方程的元件或系統(tǒng)來說,具有很重要的實際意義。1、用實驗法確定系統(tǒng)的伯德圖2、根據伯德圖確定傳遞函數第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性1、用實驗法確定系統(tǒng)的伯德圖

給系統(tǒng)加不同頻率的正弦信號，測量出系統(tǒng)的對數幅頻特性和相頻特性曲線。2.

用標準斜率的直線近似被測對數幅頻特性曲線，得曲線的漸近線。ωω-20020400-180-90-270dB

L(ω))

(ωφ2-20dB/dec10-40dB/dec-60dB/dec第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性2、根據伯德圖確定傳遞函數系統(tǒng)傳遞函數的一般表達式為：

根據伯得圖確定傳遞函數主要是確定增益K，轉折頻率及相應的時間常數等參數則可從圖上直接確定。mG(s)=sj=1υ(Tjs+1)n-υKΠ(i=1τis+1)Π第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性1.υ=0低頻漸近線為系統(tǒng)的伯德圖：20lgK-40dB/dec0-20dB/dec=20lgK=χK=1020χ即ωdB

L(ω)ωcL(ω)=20lgA(ω)A(ω)=Kω1ω2χ第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性0ωdB

L(ω)1-20dB/dec-40dB/dec低頻段的曲線與橫軸相交點的頻率為:

2.

υ=120lgKω=1系統(tǒng)的伯德圖：因為故ω1ωcL(ω)=20lgKω0lg20lgK=20ω0-lg120lgK=20lgω0K=0ω第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性

-20dB/dec-40dB/dec-40dB/dec13.

υ=2系統(tǒng)的伯德圖：ω=120lgK低頻段的曲線與橫軸相交點的頻率為:因為故ωdB

L(ω)0ω1ωcω2L(ω)=20lgKω0lg20lgK=40ω0-lg120lgK=40lgω02K=0ω第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性ωrω=1-2

ζ2n例由實測數據作出系統(tǒng)的伯德圖如圖所示，試求系統(tǒng)的傳遞函數。0.5ω-20dB/dec-40dB/dec-60dB/dec24020-2003dBω0-180-90-270解:由圖可得：20lgMr=3dBMr=1.41得：根據0≤ζ≤0.707得dB

L(ω))

(ωφ=11-

ζ22

ζω01=±0.92ζ2=±0.38ζ=0.38ζ由頻率曲線得s210G(s)=(0.25s2+0.38s+1)(2s+1)=3.162=100ω2K==2nω2Tζ=0.381)2

T2=(=0.25nω第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性例已知采用積分控制液位系統(tǒng)的結構和對數頻率特性曲線,試求系統(tǒng)的傳遞函數。K1sTs+1-hr(t)h(t)解:將測得的對數曲線近似成漸近線:1-20dB/dec4-40dB/decφ(s)=1(s+1)(0.25s+1)=10.25s2+1.25s+1ω-2000-180-90ωdB

L(ω))

(ωφ第二節(jié)典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法

1932年，乃奎斯特(Nyquist)提出了另一種判定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，稱為乃奎斯特穩(wěn)定判據，簡稱乃氏判據。這個判據的主要特點是利用開環(huán)頻率特性判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。此外，乃氏穩(wěn)定判據還能夠指出穩(wěn)定的程度，揭示改善系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。因此，乃氏穩(wěn)定判據在頻率域控制理論中有著重要的地位。

第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據一、奈氏判據的數學基礎1、輻角原理

設有一復變函數為

式中，s＝σ+jω為復變量，F(s)為復變函數,記F(s)=U+jV。

如果在s平面畫一條封閉曲線,并使其不通過F(s)的任一零、極點,則在F(s)平面上必有一條對應的映射曲線,如圖所示。圖：s平面與F(s)平面的映射關系第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據

若在s平面上的封閉曲線是沿著順時針方向運動的,則在F(s)平面上的映射曲線的運動方向可能是順時針的,也可能是逆時針的,這取決于F(s)函數的特性。我們感興趣的不是映射曲線的形狀,而是它包圍坐標原點的次數和運動方向,因為這兩者與系統(tǒng)的穩(wěn)定性密切相關。根據式(1)，復變函數F(s)的相角可表示為

第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據圖：封閉曲線包圍z1時的映射情況

同理：若s平面上的封閉曲線包圍了F(s)的P個極點,則當s沿著s平面上的封閉曲線順時針移動一周時,在F(s)平面上的映射曲線將按逆時針方向圍繞著原點旋轉P周。幅角原理

設s平面上的封閉曲線包圍了復變函數F(s)的P個極點和Z個零點,并且此曲線不經過F(s)的任一零點和極點,則當復變量s

沿封閉曲線順時針方向移動一周時,在F(s)平面上的映射曲線按逆時針方向包圍坐標原點(P-Z)周。第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據2、復變函數F(s)的選擇設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為

m≤n

則系統(tǒng)的特征方程為

結論：*（1）輔助函數的零點是閉環(huán)傳遞函數的極點輔助函數的極點是開環(huán)傳遞函數的極點（2）輔助函數的零、極點個數相同（3）F(s)與G(s)H(s)在復平面上的幾何關系第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據

為了判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,需要檢驗F(s)是否有位于s平面右半部的零點。為此可以選擇一條包圍整個s平面右半部的按順時針方向運動的封閉曲線,通常稱為奈奎斯特回線,

簡稱奈氏回線,如圖所示。3、s平面閉合曲線的選擇

圖奈氏回線

第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據?？扇∠聢D所示的兩種形式圖：G(s)H(s)無虛軸上的極點

圖：G(s)H(s)無虛軸上的極點

第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據4、G(s)H(s)閉合曲線的繪制第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據5)、閉合曲線包圍原點圈數R的計算根據半閉合曲線可獲得包圍原點的圈數R。設N為穿越點左側負實軸的次數，表示正穿越的次數和（從上向下穿越），表示負穿越的次數和（從下向上穿越），則第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據（圖a）（圖b）（圖c）（圖d）（圖e）二、奈氏判據第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據

如果在s平面上,s沿著奈氏回線順時針方向移動一周時,在F(s)平面上的映射曲線ΓF圍繞坐標原點按逆時針方向旋轉圈數R=P-Z=0周（P為開環(huán)傳函位于s平面右半部極點的個數，Z為閉環(huán)極點個數）時,則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。根據系統(tǒng)閉環(huán)特征方程：G(s)H(s)=F(s)-1F(s)的映射曲線ΓF圍繞原點運動的情況,相當于系統(tǒng)開環(huán)傳函G(s)H(s)的封閉曲線ΓGH圍繞著(－1,j0)點的運動情況,結論：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是Z=P-R=0，即R=P。即：ΓGH逆時針包圍（-1,j0）點的圈數=右半s平面開環(huán)極點數。第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據例5－8已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線如圖所示，試確定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時K值的范圍。解:如圖所示，開環(huán)幅相曲線與負實軸有三個交點，設交點處穿越頻率分別為，第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據系統(tǒng)開環(huán)傳函由題設條件知，和當取時若令，可得對應的K值對應地，分別取和時，開環(huán)幅相曲線分別如圖所示，圖中按補作虛圓弧得半閉合曲線。第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據根據曲線計算包圍次數，并判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。綜上可得,系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時的K值范圍為和。當K等于和20時，穿過臨界點，且在這三個值的鄰域，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定或不穩(wěn)定，因此系統(tǒng)閉環(huán)臨界穩(wěn)定。第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據三、對數頻率穩(wěn)定判據可以推廣運用奈氏判據，其關鍵問題是需要根據半對數坐標下的曲線確定穿越次數或和開環(huán)幅相曲線和開環(huán)系統(tǒng)存在積分環(huán)節(jié)和等幅振蕩環(huán)節(jié)時所補作的半徑為無窮大的虛圓弧。的確定取決于穿越負實軸的次數，建立如下對應關系：時（1）穿越點確定設時為截止頻率。

稱第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據對于復平面的負實軸和開環(huán)對數相頻特性，當取頻率為穿越頻率時第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據對應地，需從對數相頻特性曲線點起向上補作的虛直線至處，曲線和補作的虛直線構成（3）穿越次數計算正穿越負穿越半次正穿越半次負穿越第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據對數頻率穩(wěn)定判據設P為開環(huán)系統(tǒng)正實部的極點數，反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是和時，曲線穿越線的次數

滿足對數頻率穩(wěn)定判據和奈氏判據本質相同，其區(qū)別僅在于前者在的頻率范圍內依曲線確定穿越次數N。第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數試用對數判據判別閉環(huán)穩(wěn)定性。第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據解：繪制系統(tǒng)開環(huán)對數頻率特性如圖。

由開環(huán)傳遞函數可知P=0。所以閉環(huán)穩(wěn)定第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數試用對數判據判別閉環(huán)穩(wěn)定性。第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據解：繪制系統(tǒng)開環(huán)對數頻率特性如圖在處振蕩環(huán)節(jié)的對數幅頻值為閉環(huán)不穩(wěn)定。閉環(huán)特征方程的正根數為第三節(jié)頻率域穩(wěn)定判據第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法

第四節(jié)、穩(wěn)定裕度

——衡量閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定程度的指標。一、相角裕度系統(tǒng)開環(huán)頻率特性上幅值為1時所對應的角頻率稱幅值穿越頻率或截止頻率，記為，即定義相位裕度為相角裕度的含義是，對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)開環(huán)相頻特性再滯后度，則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。第四節(jié)穩(wěn)定裕度二、幅值裕度系統(tǒng)開環(huán)頻率特性上相位等于-1800時所對應的角頻率稱為相位穿越頻率，記為，即定義幅值裕度為幅值裕度的含義是，對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性再增大h倍則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。對數坐標下，幅值裕度按下式定義：

第四節(jié)穩(wěn)定裕度第四節(jié)穩(wěn)定裕度例5－12已知單位反饋系統(tǒng)設K分別為4和10時，試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。解：

可得K=4時第四節(jié)穩(wěn)定裕度K=10時分別作出K=4和K=10的開環(huán)幅相曲線即閉合曲線，如圖所示。由奈氏判據知：

K=4時，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，；

K=10時，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定，。

第四節(jié)穩(wěn)定裕度例5－14

單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為

試確定系統(tǒng)開環(huán)增益K＝5和K＝20時的相位裕度和幅值裕度。解：由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數知，轉折頻率為，。按分段區(qū)間描述方法，寫出對數幅頻漸近特性曲線的表達式為第四節(jié)穩(wěn)定裕度本例的伯德圖如左。第五節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系一、開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系二、閉環(huán)頻率特性與時域指標的關系第五章頻率特性法

常將開環(huán)頻率特性分成低、中、高三個頻段。一、開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系-40dB/dec-40dB/dec-20dB/dec低頻段高頻段中頻段0第五節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系ωdB

L(ω)ωcω1ω2

三個頻段分別與系統(tǒng)性能有對應關系，下面具體討論。1．低頻段低頻段由積分環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)構成：

G(s)=sKυ對數幅頻特性為：ω0KKνKυ=0υ=1υ=2-20υKυG(jωω)=)(jL(ω)=20lgA()ωK=20lgυω=20lgK-v20lgω根據分析可得如圖所示的結果：

可知：

曲線位置越高，K值越大；低頻段斜率越負，積分環(huán)節(jié)數越多。系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能越好。dB

L(ω)第五節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系2.中頻段

穿越頻率ωc附近的區(qū)段為中頻段。它反映了系統(tǒng)動態(tài)響應的平穩(wěn)性和快速性。(1)穿越頻率ωc與動態(tài)性能的關系

可近似認為整個曲線是一條斜率為

-20dB/dec的直線。設系統(tǒng)如圖:-20dB/dec0+20-20開環(huán)傳遞函數：G(s)≈

sK閉環(huán)傳遞函數為：ts≈3T穿越頻率ωc

反映了系統(tǒng)響應的快速性。s=ωcss1+ωc(s)=φωc1s+11=ωc=3ωcωdB

L(ω)ωc第五節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系(2)中頻段的斜率與動態(tài)性能的關系設系統(tǒng)如圖:-40dB/dec0+20-20開環(huán)傳遞函數：G(s)≈

s2K閉環(huán)傳遞函數為：處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)

中頻段斜率為-40dB/dec

，所占頻率區(qū)間不能過寬，否則系統(tǒng)平穩(wěn)性難以滿足要求。通常，取中頻段斜率為-20dB/dec

。

可近似認為整個曲線是一條斜率為

-40dB/dec的直線。s2=ω2c1+(s)=φs2ω2cs2ω2cs2+

=cω2cω2ωdB

L(ω)ωc第五節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系例試分析中頻段與相對穩(wěn)定性的關系。ω1-20dB/dec0ω2-40dB/decω3-40dB/dec(1)曲線如圖對應的頻率特性:γ=72o～54o設：G(jK(1+j)(1+j))(1+jωωωωω1ω2ω3ωj)=)=-90o-tg-1cc+tg-1c-tg-1(ωφcω1ωω2ωω3ωc==33c2ωωωωc2ωωtg-1=tg-13=72o13c3ωωtg-1=tg-1=18o=-126o)(ωφcωdB

L(ω)ωc可求得:=0

ω1=-108o)(ωφcω1=ω1ω2ω1-20dB/decω1第五節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系ω1-20dB/decω2-60dB/decω3-20dB/dec(2)曲線如圖-40dB/dec對應的頻率特性:同樣的方法可得:γ=72o～36o=-108o～-144o)(ωφcωdB

L(ω)ωcω2G(jK(1+j)(1+j))(1+jωωωω1ω2ω3ωj)=2第五節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系(3)曲線如圖ω1-20dB/dec0ω2-60dB/dec-40dB/dec對應的頻率特性:同樣的方法可得:γ=18o～-18oω2G(jK(1+j)(1+j)ωωω1ω2ωj)=ωdB

L(ω)ωc=-162o～-198o)(ωφc

上述計算表明，中頻段的斜率反映了系統(tǒng)的平穩(wěn)性。第五節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系3．高頻段

高頻段反映了系統(tǒng)對高頻干擾信號的抑制能力。高頻段的分貝值越低，系統(tǒng)的抗干擾能力越強。高頻段對應系統(tǒng)的小時間常數，對系統(tǒng)動態(tài)性能影響不大。一般即L(ω)=20lg|G(j)|<<0ω|G(j)|<<1ω≈|G(j)|ω)|=(jωφ|1+G(j)|ω|G(j)|ω|第五節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系4．二階系統(tǒng)開環(huán)頻率特性與動態(tài)性能的關系開環(huán)傳遞函數：ωdB

L(ω)020-20-20dB/decωn2ζ-40dB/decω0-90-180)

(ωφγ平穩(wěn)性:σ%γ快速性:

ts

G(s)=2s(s+2)ζnωnω)=(jjωnω2G(j+2)ζnωωω)=ω2A(2+(2)ζnωωωnω2)=-90o-tg-12nω(ωφζωcωωc第五節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系(1)相位裕量γ和超調量σ%之間的關系得0<ζ<0.707近似為0.20.40.60.81.010203040506070800204060801001201400ζσ%γγσ%)=ω2A(2+(2)ζnωωωnω2cc=1cω42ζnω2cω2nω4+4-=0

=tg-1-22+14ζ4ζ2ζcωnω-2=+14ζ4ζ22=tg-1ζnωcω=180o-90o-tg-12ζnωcωγ=180o+)

(ωφcσ%=100%e-ζζπ1-2=100ζγ)

(ωcγ越大，σ%越??；反之亦然。ζ與γ、σ%之間的關系曲線第五節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系根據：

調節(jié)時間

ts

與ωc以及γ有關。γ不變時，穿越頻率ωc

越大，調節(jié)時間越短。得得(2)cω、γ與ts

之間的關系ts=3ζnωcωnω-2=+14ζ4ζ2ts·3=cωζ-2+14ζ4ζ2ts·tg6γcω=

=tg-12γ-2+14ζ4ζ2ζ再根據：第五節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能