信號(hào)處理初步2課件

三、信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)在實(shí)際當(dāng)中，不僅要有描述單個(gè)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)參數(shù)，而且常常希望描述來自兩個(gè)（或幾個(gè)）隨機(jī)過程的信號(hào)之間一般的依賴關(guān)系或相關(guān)程度。同自相關(guān)函數(shù)的方法類似，兩個(gè)各態(tài)歷經(jīng)過程的隨機(jī)信號(hào)x(t)和y(t)的互相關(guān)函數(shù)定義為§6.3

信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)描述了x(t)在ty(t)在(t+)時(shí)刻的值之間的相關(guān)程度，描述了x(t)和y(t)之間的相似性。１、互相關(guān)函數(shù)的主要性質(zhì)性質(zhì)１證明：又由于所以當(dāng)足夠大或時(shí)，隨機(jī)變量x(t)和y(t)之間互不相關(guān)，故性質(zhì)２此時(shí)，x(t)和y(t)是兩個(gè)完全獨(dú)立無關(guān)的信號(hào)。性質(zhì)３互相關(guān)函數(shù)不是偶函數(shù)證明：當(dāng)x與y互換時(shí)，互相關(guān)函數(shù)是對(duì)稱于縱軸的。例6-2設(shè)有兩個(gè)周期信號(hào)x(t)和y(t)，試求其互相關(guān)函數(shù)．式中因?yàn)樾盘?hào)是周期函數(shù)，可以用一個(gè)共同周期內(nèi)的平均值代替整個(gè)歷程的平均值，故解：保留了信號(hào)的圓頻率、對(duì)應(yīng)的幅值以及相位差的信息。例6-3若兩個(gè)周期信號(hào)的圓頻率不等，試求其互相關(guān)函數(shù)．解：因?yàn)閮尚盘?hào)的圓頻率不等，不具有共同的周期，因此可見，兩個(gè)非同頻的周期信號(hào)是不相關(guān)的。互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)可用圖6-19來表示。圖中表明＝0時(shí)呈現(xiàn)最大值，相關(guān)程度最高，時(shí)移0反映x(t)和y(t)之間的滯后時(shí)間。圖6-19互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)互相關(guān)技術(shù)還廣泛地應(yīng)用于各種測(cè)試中。工程中還常用兩個(gè)間隔一定距離的傳感器來不接觸地測(cè)量運(yùn)動(dòng)物體的速度。圖6-17是測(cè)定熱軋鋼帶運(yùn)動(dòng)速度的示意圖。鋼該鋼帶的運(yùn)動(dòng)速度帶表面的反射光經(jīng)透鏡聚焦在相距為d的兩個(gè)光電池上。反射光強(qiáng)度的波動(dòng)，通過光電池轉(zhuǎn)換為電信號(hào)，再進(jìn)行相關(guān)處理。當(dāng)可調(diào)延時(shí)等于鋼帶上某點(diǎn)在兩個(gè)測(cè)點(diǎn)之間經(jīng)過所需的時(shí)間d時(shí)，互相關(guān)函數(shù)為最大值。圖6-17鋼帶速度的非接觸測(cè)量

圖6-18是確定深埋在地下的輸油管裂損位置的例子。漏損處K視為向兩側(cè)傳播聲響的聲源，在兩側(cè)管道上分別放置傳感器1和2，因?yàn)榉艂鞲衅鞯膬牲c(diǎn)距漏損處不等遠(yuǎn)，則漏油的音響傳至兩傳感器就有時(shí)差，在互相關(guān)圖上＝m處有最大值，這個(gè)m就是時(shí)差。由m就可確定漏損處的位置s：式中，s—兩傳感器的中點(diǎn)至漏損處的距離；

—音響通過管道的傳播速度。上面所定義的相關(guān)函數(shù)只適用于各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號(hào)和功率信號(hào)。對(duì)于能量有限信號(hào)的相關(guān)函數(shù)，其中的積分若除以趨于無限大的時(shí)間T后，無論時(shí)移m為何值，其結(jié)果都將趨于零。因此，對(duì)能量有限信號(hào)進(jìn)行相關(guān)分析時(shí)，應(yīng)按下面定義來計(jì)算：式中,T－樣本記錄長(zhǎng)度。為了簡(jiǎn)便，假定信號(hào)在（T＋）上存在，則可用下二式代替使模擬信號(hào)不失真地沿時(shí)軸平移是一件困難的工作。因此，模擬相關(guān)處理技術(shù)只適用于幾種特定信號(hào)（如正弦信號(hào)）。在數(shù)字信號(hào)處理中，信號(hào)時(shí)序的增減就表示它沿時(shí)間軸平移，是一件容易做到的事。所以實(shí)際上相關(guān)處理都是用數(shù)字技術(shù)來完成的。對(duì)于有限個(gè)序列點(diǎn)N的數(shù)字信號(hào)的相關(guān)函數(shù)估計(jì)，仿照上式可寫成：r=0,1,2,…,m<N。m-最大時(shí)移數(shù)§6.4

功率譜分析及其應(yīng)用假定x(t)是零均值的隨機(jī)過程，即x＝0，（如果原隨機(jī)過程是非零均值的，可以進(jìn)行適當(dāng)處理使其均值為零），又假定x(t)中沒有周期分量，那么當(dāng)，Rx()0。這樣，自相關(guān)函數(shù)Rx()可滿足傅里葉變換的條件時(shí)域中的相關(guān)分析為在噪聲背景下提取有用信息提供了途徑。功率譜分析則從頻域提供相關(guān)技術(shù)所能提供的信息，它是研究平穩(wěn)隨機(jī)過程的重要方法。一、自功率譜密度函數(shù)１、定義及其物理意義利用傅里葉變換公式可得到Rx()的傅里葉變換Sx(f)和逆變換定義Sx(f)為x(t)的自功率譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱自譜或自功率譜。由于Sx(f)和Rx()之間是傅里葉變換對(duì)的關(guān)系，兩者是唯一對(duì)應(yīng)的，Sx(f)中包含著Rx()的全部信息。因?yàn)镽x()為實(shí)偶函數(shù)，Sx(f)亦為實(shí)偶函數(shù)。由此常用在f＝(0~）范圍內(nèi)Gx(f)＝2Sx(f)來表示信號(hào)的全部功率譜，并把Gx(f)稱為x(t)信號(hào)的單邊功率譜。圖6-19單邊譜和雙邊譜（二）巴塞伐爾定理在時(shí)域中計(jì)算的信號(hào)總能量，等于在頻域中計(jì)算的信號(hào)總能量，這就是巴塞伐爾定理，即該式又叫做能量等式。可以由傅立葉變換的卷積公式證明設(shè)按照頻域卷積定理有即令q=0，得又令h(t)=x(t)，得x(t)是實(shí)函數(shù)，則所以稱為能譜，它是沿頻率軸的能量分布密度。在整個(gè)時(shí)間軸上信號(hào)平均功率為因此，自功率譜密度函數(shù)和幅值譜的關(guān)系為利用這一種關(guān)系，就可以通過直接對(duì)時(shí)域信號(hào)作傅里葉變換來計(jì)算功率譜。（三）功率譜的估計(jì)無法按上式來計(jì)算隨機(jī)過程的功率譜。只能用有限長(zhǎng)度T的樣本記錄來計(jì)算樣本功率譜，并以此作為信號(hào)功率譜的初步估計(jì)值?，F(xiàn)以分別表雙邊、單邊功率譜的初步估計(jì)對(duì)于數(shù)字信號(hào)，功率譜的初步估計(jì)為（四）應(yīng)用自功率譜密度Sx(f)為自相關(guān)函數(shù)Rx()的傅里葉變換，故Sx(f)包含著Rx()中的全部信息。自功率譜密度Sx(f)反映信號(hào)的頻域結(jié)構(gòu)，這一點(diǎn)和幅值譜X(f)一致，但是自功率譜密度所反映的是信號(hào)幅值的平方，因此其頻域結(jié)構(gòu)特征更為明顯，如圖5-20所示。圖6-20幅值譜與自功率譜對(duì)于一個(gè)線性系統(tǒng)(圖6-21)，若其輸入為x(t)，輸出為y(t)

，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為H(f)，x(t)X(f)

，y(t)

Y(f)

則：Y(f)＝H(f)X(f)

。不難證明，輸入、輸出的自功率譜密度與系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)的關(guān)系如下：h(t)H(f)x(t)y(t)X(f)Y(f)圖6-21理想的單輸入、單輸出系統(tǒng)二、互功率譜密度函數(shù)１、定義如果互相關(guān)函數(shù)Rxy()可滿足傅里葉變換的條件則定義稱為信號(hào)x(t)和y(t)的互譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱互譜，根據(jù)傅立葉變換有互相關(guān)函數(shù)Rxy()并非偶函數(shù)，因此而Sxy(f)具有虛、實(shí)兩部分。同樣，Sxy(f)保留了Rxy()中的全部信息。

（二）應(yīng)用對(duì)圖6-21所示的線性系統(tǒng)?？勺C明有Sxy(f)＝H(f)Sx(f)

故從輸入的自譜和輸入、輸出的互譜就可以直接得到系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。所得到的H(f)不僅含有幅頻特性而且含有相頻特性。這是因?yàn)榛ハ嚓P(guān)函數(shù)中包含有相位信息。6-21受外界干擾的系統(tǒng)輸入x(t)與輸出y(t)的互相關(guān)函數(shù)為由于輸入x(t)與噪聲n1(t)、n2(t)、n3(t)是獨(dú)立無關(guān)的，故互相關(guān)函數(shù)均為零。故式中，H(f)=H1(f)H2(f)由此可見，利用互譜進(jìn)行分析將可排除噪聲的影響。這是這種分析方法的突出的優(yōu)點(diǎn)。例6-1解：顯然h(t)是能量有限信號(hào)，滿足則自相關(guān)函數(shù)為例6-2解：設(shè)則x(t)的自相關(guān)函數(shù)可表示為因?yàn)閯t所以例6-3解：由于方波信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)展開式為根據(jù)同頻相關(guān)，不同頻不相關(guān)原則，在互相關(guān)函數(shù)中將僅存基頻w0成分，并且由圖示可知，y(t)基頻分量與x(t)＝sinwt間