信號處理初步2課件

三、信號的互相關函數(shù)在實際當中，不僅要有描述單個隨機過程的統(tǒng)計參數(shù)，而且常常希望描述來自兩個（或幾個）隨機過程的信號之間一般的依賴關系或相關程度。同自相關函數(shù)的方法類似，兩個各態(tài)歷經過程的隨機信號x(t)和y(t)的互相關函數(shù)定義為§6.3

信號的互相關函數(shù)互相關函數(shù)描述了x(t)在ty(t)在(t+)時刻的值之間的相關程度，描述了x(t)和y(t)之間的相似性。１、互相關函數(shù)的主要性質性質１證明：又由于所以當足夠大或時，隨機變量x(t)和y(t)之間互不相關，故性質２此時，x(t)和y(t)是兩個完全獨立無關的信號。性質３互相關函數(shù)不是偶函數(shù)證明：當x與y互換時，互相關函數(shù)是對稱于縱軸的。例6-2設有兩個周期信號x(t)和y(t)，試求其互相關函數(shù)．式中因為信號是周期函數(shù)，可以用一個共同周期內的平均值代替整個歷程的平均值，故解：保留了信號的圓頻率、對應的幅值以及相位差的信息。例6-3若兩個周期信號的圓頻率不等，試求其互相關函數(shù)．解：因為兩信號的圓頻率不等，不具有共同的周期，因此可見，兩個非同頻的周期信號是不相關的?；ハ嚓P函數(shù)的性質可用圖6-19來表示。圖中表明＝0時呈現(xiàn)最大值，相關程度最高，時移0反映x(t)和y(t)之間的滯后時間。圖6-19互相關函數(shù)的性質互相關技術還廣泛地應用于各種測試中。工程中還常用兩個間隔一定距離的傳感器來不接觸地測量運動物體的速度。圖6-17是測定熱軋鋼帶運動速度的示意圖。鋼該鋼帶的運動速度帶表面的反射光經透鏡聚焦在相距為d的兩個光電池上。反射光強度的波動，通過光電池轉換為電信號，再進行相關處理。當可調延時等于鋼帶上某點在兩個測點之間經過所需的時間d時，互相關函數(shù)為最大值。圖6-17鋼帶速度的非接觸測量

圖6-18是確定深埋在地下的輸油管裂損位置的例子。漏損處K視為向兩側傳播聲響的聲源，在兩側管道上分別放置傳感器1和2，因為放傳感器的兩點距漏損處不等遠，則漏油的音響傳至兩傳感器就有時差，在互相關圖上＝m處有最大值，這個m就是時差。由m就可確定漏損處的位置s：式中，s—兩傳感器的中點至漏損處的距離；

—音響通過管道的傳播速度。上面所定義的相關函數(shù)只適用于各態(tài)歷經隨機信號和功率信號。對于能量有限信號的相關函數(shù)，其中的積分若除以趨于無限大的時間T后，無論時移m為何值，其結果都將趨于零。因此，對能量有限信號進行相關分析時，應按下面定義來計算：式中,T－樣本記錄長度。為了簡便，假定信號在（T＋）上存在，則可用下二式代替使模擬信號不失真地沿時軸平移是一件困難的工作。因此，模擬相關處理技術只適用于幾種特定信號（如正弦信號）。在數(shù)字信號處理中，信號時序的增減就表示它沿時間軸平移，是一件容易做到的事。所以實際上相關處理都是用數(shù)字技術來完成的。對于有限個序列點N的數(shù)字信號的相關函數(shù)估計，仿照上式可寫成：r=0,1,2,…,m<N。m-最大時移數(shù)§6.4

功率譜分析及其應用假定x(t)是零均值的隨機過程，即x＝0，（如果原隨機過程是非零均值的，可以進行適當處理使其均值為零），又假定x(t)中沒有周期分量，那么當，Rx()0。這樣，自相關函數(shù)Rx()可滿足傅里葉變換的條件時域中的相關分析為在噪聲背景下提取有用信息提供了途徑。功率譜分析則從頻域提供相關技術所能提供的信息，它是研究平穩(wěn)隨機過程的重要方法。一、自功率譜密度函數(shù)１、定義及其物理意義利用傅里葉變換公式可得到Rx()的傅里葉變換Sx(f)和逆變換定義Sx(f)為x(t)的自功率譜密度函數(shù)，簡稱自譜或自功率譜。由于Sx(f)和Rx()之間是傅里葉變換對的關系，兩者是唯一對應的，Sx(f)中包含著Rx()的全部信息。因為Rx()為實偶函數(shù)，Sx(f)亦為實偶函數(shù)。由此常用在f＝(0~）范圍內Gx(f)＝2Sx(f)來表示信號的全部功率譜，并把Gx(f)稱為x(t)信號的單邊功率譜。圖6-19單邊譜和雙邊譜（二）巴塞伐爾定理在時域中計算的信號總能量，等于在頻域中計算的信號總能量，這就是巴塞伐爾定理，即該式又叫做能量等式?？梢杂筛盗⑷~變換的卷積公式證明設按照頻域卷積定理有即令q=0，得又令h(t)=x(t)，得x(t)是實函數(shù)，則所以稱為能譜，它是沿頻率軸的能量分布密度。在整個時間軸上信號平均功率為因此，自功率譜密度函數(shù)和幅值譜的關系為利用這一種關系，就可以通過直接對時域信號作傅里葉變換來計算功率譜。（三）功率譜的估計無法按上式來計算隨機過程的功率譜。只能用有限長度T的樣本記錄來計算樣本功率譜，并以此作為信號功率譜的初步估計值?，F(xiàn)以分別表雙邊、單邊功率譜的初步估計對于數(shù)字信號，功率譜的初步估計為（四）應用自功率譜密度Sx(f)為自相關函數(shù)Rx()的傅里葉變換，故Sx(f)包含著Rx()中的全部信息。自功率譜密度Sx(f)反映信號的頻域結構，這一點和幅值譜X(f)一致，但是自功率譜密度所反映的是信號幅值的平方，因此其頻域結構特征更為明顯，如圖5-20所示。圖6-20幅值譜與自功率譜對于一個線性系統(tǒng)(圖6-21)，若其輸入為x(t)，輸出為y(t)

，系統(tǒng)的頻率響應函數(shù)為H(f)，x(t)X(f)

，y(t)

Y(f)

則：Y(f)＝H(f)X(f)

。不難證明，輸入、輸出的自功率譜密度與系統(tǒng)頻率響應函數(shù)的關系如下：h(t)H(f)x(t)y(t)X(f)Y(f)圖6-21理想的單輸入、單輸出系統(tǒng)二、互功率譜密度函數(shù)１、定義如果互相關函數(shù)Rxy()可滿足傅里葉變換的條件則定義稱為信號x(t)和y(t)的互譜密度函數(shù)，簡稱互譜，根據(jù)傅立葉變換有互相關函數(shù)Rxy()并非偶函數(shù)，因此而Sxy(f)具有虛、實兩部分。同樣，Sxy(f)保留了Rxy()中的全部信息。

（二）應用對圖6-21所示的線性系統(tǒng)?？勺C明有Sxy(f)＝H(f)Sx(f)

故從輸入的自譜和輸入、輸出的互譜就可以直接得到系統(tǒng)的頻率響應函數(shù)。所得到的H(f)不僅含有幅頻特性而且含有相頻特性。這是因為互相關函數(shù)中包含有相位信息。6-21受外界干擾的系統(tǒng)輸入x(t)與輸出y(t)的互相關函數(shù)為由于輸入x(t)與噪聲n1(t)、n2(t)、n3(t)是獨立無關的，故互相關函數(shù)均為零。故式中，H(f)=H1(f)H2(f)由此可見，利用互譜進行分析將可排除噪聲的影響。這是這種分析方法的突出的優(yōu)點。例6-1解：顯然h(t)是能量有限信號，滿足則自相關函數(shù)為例6-2解：設則x(t)的自相關函數(shù)可表示為因為則所以例6-3解：由于方波信號的傅立葉級數(shù)展開式為根據(jù)同頻相關，不同頻不相關原則，在互相關函數(shù)中將僅存基頻w0成分，并且由圖示可知，y(t)基頻分量與x(t)＝sinwt間