量子力學(xué)-31力學(xué)量用算符表達(dá)

第3章力學(xué)量用算符表達(dá)量子力學(xué)中的算符,表示對(duì)波函數(shù)(量子態(tài))的一種運(yùn)算.例如

討論量子力學(xué)中算符的一般性質(zhì):(a)線性算符稱為線性算符，凡滿足下列規(guī)則的算符,?A3.1算符的運(yùn)算規(guī)則量子力學(xué)中的算符并不都是線性算符(例如復(fù)共軛),但刻畫可觀測(cè)量的算符都是線性算符.

為單位算符與兩個(gè)算符相等其中,是任一波函數(shù).注意其中和是任意兩個(gè)波函數(shù)，與是兩個(gè)任意常數(shù)（一般為復(fù)數(shù)）.例如就是線性算符.(b)

算符之和對(duì)于任意波函數(shù),有顯然,算符的求和滿足交換律和結(jié)合律:

所以,兩個(gè)線性算符之和仍為線性算符.(c)

算符之積算符與之積,記為,定義為

任意.一般說來,算符之積不滿足交換律,即這是算符與通常數(shù)的運(yùn)算規(guī)則的唯一不同之處!由下列關(guān)系式:概括量子力學(xué)中最基本的對(duì)易關(guān)系:對(duì)易式(commutator)不難證明,對(duì)易式滿足下列代數(shù)恒等式:定義:則量子力學(xué)中最基本的對(duì)易關(guān)系可以化成:角動(dòng)量對(duì)易式角動(dòng)量算符:各分量表為推出由代數(shù)恒等式,不難證明Levi-Civita符號(hào)

是一個(gè)三階反對(duì)稱張量，定義如下：即角動(dòng)量各分量的對(duì)易式為:可以寫成還可以證明:在球坐標(biāo)系中

,各分量可表示成則容易證明:定義:能夠唯一地解出,則可以定義算符之逆為

并非所有的算符都有逆算符,例如投影算符就不存在逆.若算符之逆存在,則(d)逆算符設(shè)設(shè)與之逆均存在,則(e)

算符的函數(shù)設(shè)給定一函數(shù),其各階導(dǎo)數(shù)均存在,冪級(jí)數(shù)展開收斂則可定義算符的函數(shù)為例如可定義不難看出算符的物理意義,是與體系沿方向平移有關(guān)的算符.兩個(gè)(或多個(gè))算符的函數(shù)也可類似定義.令則是指對(duì)體系的全部空間坐標(biāo)進(jìn)行積分,是坐標(biāo)空間體積元.*定義一個(gè)量子體系的任意兩個(gè)波函數(shù)(態(tài))與的標(biāo)積式中與為任意常數(shù).則可以證明:

算符的轉(zhuǎn)置算符定義為(f)

轉(zhuǎn)置算符即式中與是任意兩個(gè)波函數(shù).

算符的復(fù)共軛算符定義為注意算符的共軛算符的表達(dá)式與表象有關(guān).

例如,在坐標(biāo)表象中(g)

復(fù)共軛算符與厄米共軛算符通常算符的復(fù)共軛,可如下構(gòu)成,即把的表達(dá)式中所有量換成其復(fù)共軛.而在動(dòng)量表象中算符之厄米共軛算符定義為推出例如:可以證明由此可得滿足下列關(guān)系的算符兩個(gè)厄米算符之和仍為厄米算符,但它們的積,一般不是厄米算符,除非(可對(duì)易).(h)

厄米算符稱為厄米算符,也稱為自共軛算符.

(實(shí))等都是厄米算符.※定理體系的任何狀態(tài)下,其厄米算符的平均值必為實(shí)數(shù).逆定理在任何狀態(tài)下平均值均為實(shí)的算符必為厄米算符.實(shí)驗(yàn)上可觀測(cè)量,當(dāng)然要求在任何態(tài)下平均值都是實(shí)數(shù),因此,相應(yīng)的算符必須是厄米算符.關(guān)于厄米算符的重要定理:證明如下:在態(tài)下厄米算符的平均值為設(shè)為厄米算符,則在任意態(tài)之下,

以上是關(guān)于算符的一般規(guī)律和定則,在接下來的一節(jié)中我們將要學(xué)習(xí)一類特殊的算符-------厄米算符,及其本征值與本征函數(shù)!推論

來描述其狀態(tài)的大量完全相同的體系(系綜),如進(jìn)行多次測(cè)量,所得結(jié)果的平均值將趨于一個(gè)確定值．而每一次測(cè)量的結(jié)果則圍繞平均值有一個(gè)漲落.

對(duì)于都用漲落定義為漲落3.2厄米算符的本征值與本征函數(shù)厄米算符,再利用3.1節(jié)所學(xué)知識(shí),有因?yàn)闉槎蛎姿惴?必為實(shí)數(shù),因而仍為(1)(2)

如果體系處于一種特殊的態(tài),測(cè)量

所得結(jié)果是唯一確定的,即漲落,則這種狀態(tài)稱為力學(xué)量的本征態(tài).

在本征態(tài)下,由式(2)可以看出,被積函數(shù)必須為零,即必須滿足或一般,把常數(shù)記為,并把本征態(tài)記為,得到稱為的一個(gè)本征值,為相應(yīng)的本征態(tài).上式即算符的本征方程.注意求解時(shí),作為力學(xué)量的本征態(tài),還要滿足物理上的一些要求.

測(cè)量力學(xué)量時(shí)所有可能出現(xiàn)的值,都是相應(yīng)的線性厄米算符的本征值.當(dāng)體系處于的本征態(tài)時(shí),則每次測(cè)量所得結(jié)果都是完全確定的,即.量子力學(xué)中的一個(gè)基本假定:推出所以,在態(tài)下(設(shè)已歸一化)定理1厄米算符的本征值必為實(shí).厄米算符的本征函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì):定理2厄米算符的屬于不同本征值的本征函數(shù),彼此正交.證明如下:設(shè)并設(shè)存在,對(duì)取復(fù)共軛,得到上式右乘,積分,得到由于,上式左邊=,因此得如,則必有簡(jiǎn)并問題在能級(jí)簡(jiǎn)并的情況下,僅根據(jù)能量本征值并不能把各能量的簡(jiǎn)并態(tài)確定下來.在處理力學(xué)量本征問題時(shí),特別是能量的本征值問題,常常出現(xiàn)本征態(tài)的簡(jiǎn)并,

這與體系的對(duì)稱性有密切關(guān)系.設(shè)力學(xué)量的本征方程表為即屬于本征值的本征態(tài)有個(gè),則稱本征值為重簡(jiǎn)并.

出現(xiàn)簡(jiǎn)并時(shí),簡(jiǎn)并態(tài)的選擇是不唯一的,而且也不一定彼此正交,但總可以把它們適當(dāng)線性疊加,使之彼此正交.在線性代數(shù)中,通常采用Schmidt正交化程序來進(jìn)行正交化.令因?yàn)樗灾灰x擇,使,即可得證.證明如下

在常見問題中,當(dāng)出現(xiàn)簡(jiǎn)并時(shí),往往是用(除之外的)其他力學(xué)量的本征值來對(duì)簡(jiǎn)并態(tài)進(jìn)行分類,從而把它的簡(jiǎn)并態(tài)確定下來.兩個(gè)力學(xué)量是否可以有共同本征態(tài)?或者說是否可以同時(shí)測(cè)定?

此時(shí),正交性問題將自動(dòng)解決.這就涉及兩個(gè)或多個(gè)力學(xué)量的共同本征態(tài)問題.這將是下一節(jié)不確定度關(guān)系要討論的問題!引入下面我們普遍地分析此問題.當(dāng)體系處于力學(xué)量的本征態(tài)時(shí),對(duì)其測(cè)量,可得一個(gè)確定值,而不會(huì)出現(xiàn)漲落.但在其本征態(tài)下去測(cè)量另一個(gè)力學(xué)量時(shí),卻不一定得到一個(gè)確定值.分析下列積分不等式其中,為體系的任意一個(gè)波函數(shù),為任意實(shí)參數(shù).3.3.1不確定度關(guān)系的嚴(yán)格證明設(shè)有兩個(gè)任意的力學(xué)量和引進(jìn)厄米算符則因?yàn)榕c為厄米算符，所以,則得為實(shí)，不妨取即與為厄米算符,與又均為實(shí)數(shù),

與也是厄米的.在上式中，讓則(1)式仍成立.再考慮到就可得出或簡(jiǎn)記為(2)

上式就是任意兩個(gè)力學(xué)量與在任意量子態(tài)下的漲落必須滿足的關(guān)系式,即Heisenberg的不確定度關(guān)系(uncertaintyrelation)的普遍表達(dá)式.能是例外),或者說他們不能有共同本征態(tài).以找出它們的共同本征態(tài).

由(2)式可以看出,若兩個(gè)力學(xué)量與不對(duì)易,則一般說來與不能同時(shí)為零,即

與不能同時(shí)測(cè)定.(但的特殊態(tài)可反之,若兩個(gè)厄米算符與對(duì)易,則可以找出這樣的態(tài),使與同時(shí)滿足,即可

坐標(biāo)的共同本征態(tài),即函數(shù)相應(yīng)本征值為例如采用球坐標(biāo),角動(dòng)量的平方算符表示為3.3.2的共同本征態(tài),球諧函數(shù)由于角動(dòng)量的三個(gè)分量不對(duì)易,一般無共同本征態(tài).分量(例如)的共同本征態(tài).,可以找出但由于與任何一個(gè)

考慮到的本征函數(shù)可以同時(shí)也取為的本征態(tài)其中,是的本征值(無量綱),待定.并代入本征方程的本征函數(shù)已分離變量,即令此時(shí),化簡(jiǎn)本征方程,得令則或這就是連帶Legendre方程.

在區(qū)域中,微分方程有兩個(gè)正則奇點(diǎn),其余各點(diǎn)均為常點(diǎn).時(shí),方程有一個(gè)多項(xiàng)式解(另一解為無窮級(jí)數(shù)),即連帶Legendre多項(xiàng)式

可以證明,只當(dāng)它在區(qū)域中是有界的,是物理上可接受的解.利用正交歸一性公式滿足定義一個(gè)歸一化的部分的波函數(shù)(實(shí))所以,的正交歸一的共同本征函數(shù)表示為為球諧函數(shù),它們滿足

在上面的式子中,和的本征值都是量子化的.對(duì)于給定,的本征函數(shù)是不確定的,因?yàn)楣灿袀€(gè)簡(jiǎn)并態(tài).就是用的本征值來確定這些簡(jiǎn)并態(tài).

軌道角動(dòng)量量子數(shù)

磁量子數(shù)3.3.3對(duì)易力學(xué)量完全集(CSCO)它們的共同本征態(tài)記為

設(shè)有一組彼此獨(dú)立而且互相對(duì)易的厄米算符表示一組完備的量子數(shù).

設(shè)給定一組量子數(shù)之后,就能夠完全確定體系的唯一一個(gè)可能狀態(tài),則我們稱構(gòu)成體系的一組對(duì)易可觀測(cè)量完全集

(completesetofcommutingObservables,簡(jiǎn)記為CSCO),在中文教材中,習(xí)慣稱為對(duì)易力學(xué)量完全集,或簡(jiǎn)稱為力學(xué)量完全集.對(duì)易力學(xué)量完全集的概念與體系的一個(gè)量子態(tài)的制備密切相關(guān).

按照態(tài)疊加原理,體系的任何一個(gè)狀態(tài)

均可用

來展開利用的正交歸一性,上式中的展開系數(shù)可確切定出.表示在態(tài)下,測(cè)量力學(xué)量得到值的概率.這是波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋的最一般的表述.(這里假定量子數(shù)或力學(xué)量不連續(xù)變化.若連續(xù)變化,則而相應(yīng)的展開系數(shù)的模方代表概率密度.例如,坐標(biāo)表象和動(dòng)量表象的展開,即屬此情況.)如體系的Hamilton量不顯含時(shí)間則H為守恒量.在此情況下,如對(duì)易力學(xué)量完全集中包含有體系的Hamilton量,則完全集中各力學(xué)量都是守恒量,這種完全集又稱為對(duì)易守恒量完全集(acompletesetofcommutingconservedobservables,簡(jiǎn)記為CSCCO.)包括H在內(nèi)的守恒量完全集的共同本征態(tài),當(dāng)然是定態(tài),所相應(yīng)的量子數(shù)都稱為好量子數(shù).在這種展開中,(無論ψ

是什么態(tài),定態(tài)或非定態(tài)),是不隨時(shí)間改變的.關(guān)于CSCO,再做幾點(diǎn)說明:(1)CSCO是限于最小集合,

即從集合中抽出任何一個(gè)可觀測(cè)量后,就不再構(gòu)成體系的CSCO.所以要求CSCO中各觀測(cè)量是函數(shù)獨(dú)立的.(2)一個(gè)給定體系的CSCO中,可觀測(cè)量的數(shù)目一般等于體系自由度的數(shù)目,但也可以大于體系自由度的數(shù)目.(3)一個(gè)給定體系往往可以找到多個(gè)CSCO,或CSCCO.在處理具體問題時(shí),應(yīng)視其側(cè)重點(diǎn)來進(jìn)行選擇.一個(gè)CSCCO的成員的選擇,涉及體系的對(duì)稱性.

體系的量子態(tài)用一組彼此對(duì)易的力學(xué)量完全集的共同本征函數(shù)來展開,在數(shù)學(xué)上涉及完備性問題.這是一個(gè)頗為復(fù)雜的問題.李政道曾經(jīng)給出關(guān)于本征態(tài)的完備性的如下重要的定理.定理:設(shè)為體系的一個(gè)厄米算符,對(duì)于體系的任一態(tài)有下界(即總是大于某一個(gè)固定的數(shù)c),但無上界,則的本征態(tài)的集合,構(gòu)成體系的態(tài)空間中的一個(gè)完備集,即體系的任何一個(gè)量子態(tài)都可以用這一組本征態(tài)完全集來展開.這里有兩點(diǎn)值得提到:(a)自然界中真實(shí)存在的物理體系的Hamilton算符都應(yīng)為厄米算符(保證所有能量本征值為實(shí)),并且應(yīng)有下界(能量無下界是不合理的,在自然界中未發(fā)現(xiàn)這種情況).因此,體系的任一量子態(tài)總可以放心地用包含在內(nèi)的一個(gè)CSCCO的共同本征態(tài)完全集來展開.(b)在本征值有簡(jiǎn)并的情況下,對(duì)于給定能量本征值,本征態(tài)尚未完全確定,此時(shí)需要用包含Hamilton量在內(nèi)的一個(gè)CSCCO,根據(jù)他們的本征值把本征態(tài)完全確定下來,以便于對(duì)任何量子態(tài)進(jìn)行確切的展開.3.3.4量子力學(xué)中力學(xué)量用厄米算符表達(dá)

與Schr?dinger方程是量子力學(xué)的一個(gè)基本假定一樣,量子體系的可觀測(cè)量(力學(xué)量)用一個(gè)線性厄米算符來描述,也是量子力學(xué)的一個(gè)基本假定,它們的正確性應(yīng)該由實(shí)驗(yàn)來判定.“量子力學(xué)中力學(xué)量用相應(yīng)的線性厄米算符來表達(dá)”,

其含義是多方面的:(1)在給定狀態(tài)ψ

之下,力學(xué)量A的平均值由下式確定:(2)在實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)某力學(xué)量A,它的可能取值就是算符的某一個(gè)本征值.由于力學(xué)量觀測(cè)值總是實(shí)數(shù),所以要求相應(yīng)的算符必為厄米算符.(3)力學(xué)量之間關(guān)系也通過相應(yīng)的算符之間的關(guān)系反映

出來.例如,兩個(gè)力學(xué)量A與B,在一般情況下,可以同時(shí)具有確定的觀測(cè)值的必要條件為

反之,若

則一般說來,力學(xué)量A

與B不能同時(shí)具有確定的觀測(cè)值．

特別是對(duì)于H不顯含t的體系,一個(gè)力學(xué)量

A

是否是守恒量,可以根據(jù)與是否對(duì)易來判斷.3.4.1連續(xù)譜本征函數(shù)是不能歸一化的一維粒子的動(dòng)量本征值為的本征函數(shù)(平面波)為可以取中連續(xù)變化的一切實(shí)數(shù)值.不難看出，只要?jiǎng)t在量子力學(xué)中,坐標(biāo)和動(dòng)量的取值是連續(xù)變化的;角動(dòng)量的取值是離散的;而能量的取值則視邊條件而定.例如

當(dāng)然,任何真實(shí)的波函數(shù)都不會(huì)是嚴(yán)格的平面波,而是某種形式的波包.它只在空間某有限區(qū)域不為零.

如果此波包的廣延比所討論的問題中的特征長(zhǎng)度大得多,而粒子在此空間區(qū)域中各點(diǎn)的概率密度變化極微,則不妨用平面波來近似描述其狀態(tài).是不能歸一化的.在上例中,連續(xù)譜的本征函數(shù)是不能歸一化的.可以引用數(shù)學(xué)上的Dirac的為方便地處理連續(xù)譜本征函數(shù)的“歸一化”,我們函數(shù).3.4.2函數(shù)函數(shù)的定義由Fourier積分公式,對(duì)于分段連續(xù)函數(shù)(b)函數(shù)也可表成比較式(a)與(b),領(lǐng)域連續(xù)的任何函數(shù)對(duì)于在(a)等價(jià)地表示為:平面波的“歸一化”問題,還可以采用數(shù)學(xué)上傳統(tǒng)的做法即先讓粒子局限于有限空間中運(yùn)動(dòng)(最后才讓).動(dòng)量本征態(tài)為在周期條件下3.4.3箱歸一化此時(shí),為了保證動(dòng)量算符

為厄米算符,就要求波函數(shù)滿足周期性邊條件.同樣,不能歸一化的坐標(biāo)本征態(tài)也可類似處理.因此,若取動(dòng)量本征態(tài)為則這樣,就用函數(shù)的形式把平面波的“歸一化”表示出來了.由周期條件,得(粒子波長(zhǎng)即).即或所以

或可以看出動(dòng)量的可能取值就是不連續(xù)的.只要此時(shí),與相應(yīng)的動(dòng)量本征態(tài)取為利用正交歸一化條件利用這一組正交歸一完備的函數(shù),可以構(gòu)成如下函數(shù):現(xiàn)在讓即動(dòng)量的可能取值趨于連續(xù)變化.于是此時(shí),可以把,而或在處理具體問題時(shí),如要避免計(jì)算過程中出現(xiàn)的平面波“歸一化”困難,則可以用箱歸一化波函數(shù)代替不能歸一化的.

在計(jì)算的最后結(jié)果才讓.正交完備的歸一化波函數(shù)為結(jié)論則

函數(shù)可如下構(gòu)成:三維情況

上式表明,相空間一個(gè)體積元

相當(dāng)于有一個(gè)量子態(tài).而最后,當(dāng)時(shí)將連續(xù)變化設(shè)有一組彼此對(duì)易,且函數(shù)獨(dú)立的厄米算符它們的共同本征函數(shù)記為,是一組量子數(shù)的籠統(tǒng)記號(hào).3.4.4力學(xué)量完全集定義

設(shè)給定之后就能夠確定體系的一個(gè)可能狀態(tài)，則稱

構(gòu)成體系的一組力學(xué)量完全集.

表示在下測(cè)量得到值的概率.這是波函數(shù)統(tǒng)計(jì)詮釋的一般表述.按照態(tài)疊加原理,

體系的任何一個(gè)狀態(tài)均可用展開

(這里假定的本征值是離散的)利用的正交歸一性的歸一化條件