向量數(shù)乘運算及其幾何意義說課稿教案教學(xué)設(shè)計

向量數(shù)乘運算及其幾何意義教學(xué)分析向量的數(shù)乘運算，其實是加法運算的推廣及簡化，與加法、減法統(tǒng)稱為向量的三大線性運算.教學(xué)時從加法入手，引入數(shù)乘運算，充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系 .實數(shù)與向量的乘積，仍然是一個向量，既有大小，也有方向.特別是方向與已知向量是共線向量 ，進而引出共線向量定理.共線向量定理是本章節(jié)中重要的內(nèi)容 ，應(yīng)用相當(dāng)廣泛，且容易出錯.尤其是定理TOC\o"1-5"\h\z的前提條件：向量a是非零向量.共線向量定理的應(yīng)用主要用于證明點共線或平行等幾何性質(zhì)，且與后續(xù)的知識有著緊密的聯(lián)系 .三維目標(biāo).通過經(jīng)歷探究數(shù)乘運算法則及幾何意義的過程 ，掌握實數(shù)與向量積的定義 ，理解實數(shù)與向量積的幾何意義，掌握實數(shù)與向量的積的運算律 ..理解兩個向量共線的等價條件 ，能夠運用兩向量共線條件判定兩向量是否平行 ^.通過探究，體會類比遷移的思想方法，滲透研究新問題的思想和方法 ，培養(yǎng)創(chuàng)新能力和積極進取精神.通過解決具體問題，體會數(shù)學(xué)在生活中的重要作用 .重點難點教學(xué)重點：1.實數(shù)與向量積的意義.2.實數(shù)與向量積的運算律.3.兩個向量共線的等價條件及其運用.教學(xué)又t點：對向量共線的等價條件的理解運用 .課時安排1課時教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.前面兩節(jié)課，我們一起學(xué)習(xí)了向量加減法運算，這一節(jié)，我們將在加法運算基礎(chǔ)上研究相同向量和的簡便計算及推廣.在代數(shù)運算中，a+a+a=3a,故實數(shù)乘法可以看成是相同實數(shù)加法的簡便計算方法，那么相同向量的求和運算是否也有類似的簡便計算 ^思路2.一物體做勻速直線運動，一秒鐘的位移對應(yīng)的向量為a,那么在同一方向上3秒鐘的位移對應(yīng)的向量怎樣表示？是 3a嗎？怎樣用圖形表示？由此展開新課.推進新課新知探究提出問題①已知非零向量a,試一試作出a+a+a和（-a）+（-a）+（-a）.②你能對你的探究結(jié)果作出解釋 ，并說明它們的幾何意義嗎？③引入向量數(shù)乘運算后，你能發(fā)現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量之間的位置關(guān)系嗎 ？怎樣理解兩向量平行？與兩直線平行有什么異同？活動：引導(dǎo)學(xué)生回顧相關(guān)知識并猜想結(jié)果 ，對于運算律的驗證，點撥學(xué)生通過作圖來進行通過學(xué)生的動手作圖，讓學(xué)生明確向量數(shù)乘運算的運算律及其幾何意義 .教師要引導(dǎo)學(xué)生特別注意0-a=0,而不是0-a=0.這個零向量是一個特殊的向量 ，它似乎很不起眼，但又處處存在，稍不注意就會出錯，所以要引導(dǎo)學(xué)生正確理解和處理零向量與非零向量之間的關(guān)系 .實數(shù)與向量可以求積，但是不能進行加、減運算，比如入+a,入-a都無法進行.向量數(shù)乘運算的運算律與實數(shù)乘法的運算律很相似，只是數(shù)乘運算的分配律有兩種不同的形式:（入+（1）a=入a+a和入（a+b）=入a+入b,數(shù)乘運算的關(guān)鍵是等式兩邊向量的模相等 ，方向相同.判斷兩個向量是否平行（共線）,實際上就是看能否找出一個實數(shù) ，使得這個實數(shù)乘以其中一個向量等于另一個向量 .一定要切實理解兩向量共線的條件 ，它是證明幾何中的三點共線和兩直線平行等問題的有效手段對問題①,學(xué)生通過作圖 1可發(fā)現(xiàn)，OC=OA+AB+BC=a+a+a.類似數(shù)的乘法,可把a+a+a記作3a,即OC=3a.顯然3a的方向與a的方向相同，3a的長度是a的長度的3倍，即13a|=3|a|.同樣，由圖1可知,圖1PN=PQQMMN=(-a)+(-a)+(-a),即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).顯然3(-a)的方向與a的方向相反,3(-a)的長度是a的長度的3倍，這樣,3(-a)=-3a.對問題②，上述過程推廣后即為實數(shù)與向量的積 .我們規(guī)定實數(shù) 入與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作入a,它的長度與方向規(guī)定如下：(1)1入a|=|入||a|;(2)當(dāng)入＞0時，入a的方向與a的方向相同；當(dāng)入＜0時，入a的方向與a的方向相反.由(1)可知，入=0時，入a=0.根據(jù)實數(shù)與向量的積的定義，我們可以驗證下面的運算律.實數(shù)與向量的積的運算律設(shè)入、科為實數(shù)，那么⑴…a)=(入科)a;(2)(入+(1)a=入a+a;(3)入(a+b)=入a+入b.特別地，我們有(-入)a=-(入a)=入(-a),入(a-b)=入a-入b.對問題③，向量共線的等價條件是：如果a(aw。)與b共線，那么有且只有一個實數(shù) 入，使b=入a.推證過程教師可引導(dǎo)學(xué)生自己完成，推證過程如下：對于向量a(aw。)、b,如果有一個實數(shù)入，使b=Xa,那么由向量數(shù)乘的定義，知a與b共線.反過來，已知向量a與b共線，aw0,且向量b的長度是向量a的長度的W倍，即|b|=科|a|,那么當(dāng)a與b同方向時，有b=a;當(dāng)a與b反方向時,有b=-科a.關(guān)于向量共線的條件，教師要點撥學(xué)生做進一步深層探究 ，讓學(xué)生思考，若去掉aw0這一條件，上述條件成立嗎？其目的是通過 0與任意向量的平行來加深對向量共線的等價條件的認識.在判斷兩個非零向量是否共線時 ，只需看這兩個向量的方向是否相同或相反即可，與這兩個向量的長度無關(guān).在沒有指明非零向量的情況下 ，共線向量可能有以下幾種情況 ：(1)有一個為零向量；(2)兩個都為零向量;(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等;(6)反向且模不等.討論結(jié)果：①數(shù)與向量的積仍是一個向量，向量的方向由實數(shù)的正負及原向量的方向確定，大小由|入|?Ia|確定.

②它的幾何意義是把向量 a沿a的方向或a的反方向放大或縮小,直線的平行是指兩條直線在同一平面內(nèi)沒有公共點,又包含兩個向量在同一條直線上的情形 .,直線的平行是指兩條直線在同一平面內(nèi)沒有公共點,又包含兩個向量在同一條直線上的情形 .思路1,可讓學(xué)生自己完成，要求學(xué)生熟練運用向量數(shù)乘運算例1計算：⑴(-3)X4a;(2)3(a+b)-2(a-b)-a;⑶(2a+3b-c)-(3a-2b+c).活動：本例是數(shù)乘運算的簡單應(yīng)用的運算律.教學(xué)中，點撥學(xué)生不能將本題看作字母的代數(shù)運算 ，可以讓他們在代數(shù)運算的同時說出其幾何意義，使學(xué)生明確向量數(shù)乘運算的特點 .同時向?qū)W生點出，向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.對于任意向量a、b,以及任意實數(shù)入、科1、科2,恒有入(ia±2b)=入ia土入112b.解：(1)原式=(-3X4)a=-12a;(2)原式=3a+3b-2a+2b-a=5b;(3)原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c.點評：運用向量運算的運算律，解決向量的數(shù)乘.其運算過程可以仿照多項式運算中的“合并同類項”.變式訓(xùn)練若3m+2n=a,m>3n=b,其中a,b是已知向量，求mn.TOC\o"1-5"\h\z解：因3m+2n=a, ①m-3n=b. ②3X②得3m-9n=3b. ③①-③得11n=a-3b.11 11將④代入②，有m=b+3n=—a+—b.11 11點評：此題可把已知條件看作向量 mn的方程，通過方程組的求解獲得mn.在此題求解過程中，利用了實數(shù)與向量的積以及它所滿足的交換律、 結(jié)合律，從而解向量的二元一次方程組的方法與解實數(shù)的二元一次方程組的方法一致 ^百W圖2例2如圖2,已知任意兩個非零向量 a、b,試彳OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b.你能判斷A日C三點之間的位置關(guān)系嗎 ？為什么？活動：本例給出了利用向量共線判斷三點共線的方法 ，這是判斷三點共線常用的方法 .教學(xué)中可以先引導(dǎo)學(xué)生作圖，通過觀察圖形得到 A,B,C三點共線的猜想，再將平面幾何中判斷三點共線的方法轉(zhuǎn)化為用向量共線證明三點共線 .本題只要引導(dǎo)學(xué)生理清思路 ，具體過程可由學(xué)生自己完成.另外，本題是一個很好的與信息技術(shù)整合的題材 ，教學(xué)中可以通過計算機作圖，進行動態(tài)演示，揭示向量a、b變化過程中，A、日C三點始終在同一條直線上的規(guī)律 .圖3解：如圖3分別作向量OA、OBOC過點A、C作直線AC.觀察發(fā)現(xiàn),不論向量a、b怎樣變化，點B始終在直線AC上，猜想AB、C三點共線.事實上，因為AB=OB-OA=a+2b-(a+b尸b,而AC=OC-OA=a+3b-(a+b)=2b,于是AC=2AB.所以A、RC三點共線.點評：關(guān)于三點共線問題，學(xué)生接觸較多，這里是用向量證明三點共線 ，方法是必須先證明兩個向量共線，并且有公共點.教師引導(dǎo)學(xué)生解完后進行反思 ，體會向量證法的新穎獨特.例3如圖4,|匚ABCD的兩條對角線相交于點 M,且AB=a,aD=b，你能用a、b表示MA、MRMC、和MD嗎？圖4活動：本例的解答要用到平行四邊形的性質(zhì) .另外，用向量表示幾何元素(點、線段等)是TOC\o"1-5"\h\z用向量方法證明幾何問題的重要步驟 ，教學(xué)中可以給學(xué)生明確指出這一點 .解：在.「ABCD^,AC=AB+AD=a+b,DB=AB-AD=a-b,又二.平行四邊形的兩條對角線互相平分 ，?MA=—AC=—(a+b)=—a-—b,2 2 2 2MB=—DB=—(a-b)=—a-1b,2 2 2 2MC=—AC=—a+—b,2 2 2MD=MB=-1DB=-1a+1b.2 2 2

,將兩個向量的和或差表示點評：結(jié)合向量加法和減法的平行四邊形法則和三角形法則出來，這是解決這類幾何題的關(guān)鍵 .,將兩個向量的和或差表示思路2例1凸四邊形ABC曲邊ARBC的中點分別為E、F,求證：EF=1(AB+DC).2活動：教師引導(dǎo)學(xué)生探究，能否構(gòu)造三角形，使EF作為三角形中位線，借助于三角形中位線定理解決，或創(chuàng)造相同起點，以建立向量間關(guān)系.鼓勵學(xué)生多角度觀察思考問題.圖5圖5解：方法一：過點C在平面內(nèi)作CG=AB,則四邊形ABG%平行四邊形,故F為AG中點.(如圖5)??.EF是4ADG的中位線.?.EfM1DG.2EF=1DG.2而DG=DC+CG=DC+AB,EF=1(AB+DC).2方法二：如圖6,連接erec,則有EB=EA+AB,EC=ED+DC,圖6圖6又7E是AD之中點，??.有EA+ED=0,即有EB+EC=AB+DC.以EB與EC為鄰邊作UEBGC則由F是BC之中點，可得F也是EG之中點.EF=1EG=1(EB+EC)=1(AB+DC).2 2 2點評：向量的運算主要從以下幾個方面加強練習(xí) :(1)加強數(shù)形結(jié)合思想的訓(xùn)練，畫出草圖幫助解決問題；(2)加強三角形法則和平行四邊形法則的運用練習(xí) ，做到準(zhǔn)確熟練運用例2已知OA和OB是不共線向量AP=tAB(t￡R),試用OA、OB表示OP.活動：教師引導(dǎo)學(xué)生思考，由AP=tAB(t￡R)知AB、P三點共線，而OP=OA+AP,然后以AB表示AP,進而建立OA,OB的聯(lián)系.本題可讓學(xué)生自己解決，教師適時點撥解：OP=OA+AP=OA+t?AB=OA+