高中數(shù)學(xué)人教A版第三章不等式 課時(shí)提升作業(yè)(二十五)

溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時(shí)提升作業(yè)(二十五)基本不等式的應(yīng)用(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1.設(shè)x>0，則y=3-3x-1x的最大值是 23 【解析】選=3-3x-1x=3-≤3-23x·1x=3-23，當(dāng)且僅當(dāng)3x=1【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知a>0，b>0，a+b=2，則y=1a+4bA.72 B.4 C.92【解析】選C.因?yàn)閍+b=2，所以y=1a+4b=1a+4ba+b2=12+b2a+2a2.(2023·黃石高二檢測(cè))設(shè)a>1，b>1且ab-(a+b)=1，那么()+b有最小值2(2+1)+b有最大值(2+1)2有最大值(2+1)2有最小值2(2+1)【解析】選A.因?yàn)閍>1，b>1，所以ab-(a+b)≤a+b22-(a+b)，即a由于ab-(a+b)=1，可知ab-2ab-1≥0，解得ab≥1+2，故ab有最小值為1+23.設(shè)x+3y-2=0，則3x+27y+1的最小值為() 3+22 【解析】選A.由已知得x+3y-2=0，3x>0，27y>0，所以3x+27y+1≥23x+3y+1=6+1=7，當(dāng)且僅當(dāng)3x=27y，即x=1，y=14.(2023·安陽(yáng)高二檢測(cè))若對(duì)x>0，y>0，有(x+2y)2x+1≤8 >8 <0 【解析】選A.(x+2y)2x+1y=2+≥4+24y當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取等號(hào)，所以m≤8.5.已知p>0，q>0，p，q的等差中項(xiàng)為12，且x=p+1p，y=q+1q B.5 【解析】選+y=p+1p+q+1q，而p+q=1，所以x+y=1+p+qpq≥1+p+q【誤區(qū)警示】本題容易忽視條件p，q的等差中項(xiàng)為12，出現(xiàn)以下錯(cuò)誤：x=p+1p≥2，y=q+【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知正項(xiàng)等差數(shù)列an的前20項(xiàng)和為100，則a5·a16() B.75 【解析】選=20(所以a5+a16=a1+a20=10，而a5+a16≥2a5·a16，故a二、填空題(每小題5分，共15分)6.(2023·梅州高二檢測(cè))已知x>0，y>0，且滿足x3+y4=1，則xy的最大值為【解析】因?yàn)閤3+y4=1，所以1=x3+y所以xy≤3，當(dāng)且僅當(dāng)x3=y4=1答案：3【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2023·吉首高二檢測(cè))已知a=(x-1，2)，b=(4，y)(x，y為正數(shù))，若a⊥b，則xy的最大值是()A.12 12 【解析】選A.由已知得4(x-1)+2y=0，即2x+y=2.所以xy=x(2-2x)=2≤12×2x+2-2x當(dāng)且僅當(dāng)x=127.(2023·玉林高二檢測(cè))已知ab>0，則ba+ab的取值范圍是【解析】因?yàn)閍b>0，所以ba+ab≥2當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).答案：[2，+∞)8.若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2+xy=1，則x+y的最大值是__________.【解析】因?yàn)閤2+y2+xy=(x+y)2-xy=1，所以(x+y)2=xy+1≤x+y22+1，故34(x+y)2≤1，所以x+y≤答案：2【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知x>0，y>0，lgx+lgy=1，則2x+5y的最小值為【解析】因?yàn)閘gx+lgy=1，所以xy=10，所以2x+5y≥2當(dāng)且僅當(dāng)2x=5故2x+5答案：2三、解答題(每小題10分，共20分)9.(2023·長(zhǎng)春高二檢測(cè))陽(yáng)光蔬菜生產(chǎn)基地計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800m2的矩形蔬菜溫室.在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地，當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為多少時(shí)，蔬菜的種植面積最大？最大種植面積是多少【解題指南】設(shè)矩形溫室的一邊長(zhǎng)為xm，則另一邊長(zhǎng)為800xm(2<x<200)，則可得種植面積為S=(x-2)800【解析】設(shè)矩形溫室的一邊長(zhǎng)為xm，則另一邊長(zhǎng)為800xS=(x-2)800x-4=800-=808-1600x+4x當(dāng)且僅當(dāng)1600x=4x，即x=20時(shí)等號(hào)成立.即當(dāng)矩形溫室的一邊長(zhǎng)為20m，另一邊長(zhǎng)為40m時(shí)種植面積最大，最大種植面積是10.(2023·樂(lè)山高二檢測(cè))(1)已知x<-2，求函數(shù)y=2x+1x+2(2)求y=x2【解析】(1)因?yàn)閤<-2，所以x+2<0，-(x+2)>0.所以y=2(x+2)+1x+2=--2(x+2)+≤-2-2(x+2)·-1x+2當(dāng)且僅當(dāng)-2(x+2)=-1即x=-2-22時(shí)，y取最大值-22(2)令t=x2+4(t≥2)，則y=f(t)=t+由f(t)=t+1tf(t)min=2+12=52，即當(dāng)x2+4=2，x=0時(shí)，y(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1.(2023·瀘州高二檢測(cè))已知x>1，y>1且lgx+lgy=4，則lgx·lgy的最大值是() B.2 D.1【解析】選A.因?yàn)閤>1，y>1，所以lgx>0，lgy>0.所以lgx·lgy≤lgx+lgy當(dāng)且僅當(dāng)lgx=lgy=2，即x=y=100時(shí)取等號(hào).2.若實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=2，則3a+3b的最小值是 B.5 【解析】選C.3a+3b≥23a·【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則(a+b) B.1 【解析】選D.(a+b)2cd=二、填空題(每小題5分，共10分)3.(2023·百色高二檢測(cè))建造一個(gè)容積為8m3，深為2m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為120元和80元，那么水池的最低總造價(jià)為_(kāi)_______【解析】設(shè)水池的造價(jià)為y元，長(zhǎng)方體底的一邊長(zhǎng)為xm，由于底面積為4m2，所以另一邊長(zhǎng)為4那么y=120×4+2×80×2≥480+320×2x·當(dāng)且僅當(dāng)2x=8x所以x=2，即底為邊長(zhǎng)為2m的正方形時(shí)，水池的造價(jià)最低，為1760元.答案：17604.(2023·西安高二檢測(cè))設(shè)x>0，y>0，且x+2y=202，則lgx+lgy的最大值為_(kāi)_________.【解析】202=x+2y≥22xy所以lgx+lgy=lg(xy)≤lg100=2.當(dāng)且僅當(dāng)x=102，y=52時(shí)取等號(hào).答案：2【補(bǔ)償訓(xùn)練】若x>0，y>0，且x+4y=1，則xy的最大值為_(kāi)_________.【解析】由1=x+4y≥24xy得xy≤1當(dāng)且僅當(dāng)x=12，y=1答案：1三、解答題(每小題10分，共20分)5.(2023·張掖高二檢測(cè))設(shè)f(x)=2x+4(1)求f(x)的最大值.(2)證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b恒有f(a)<b2-3b+214【解析】(1)因?yàn)閒(x)=2x+44x+8=16·2x(2x)2+8=16(2)因?yàn)閎2-3b+214=b所以當(dāng)b=32時(shí)，b2-3b+21由(1)知，f(a)有最大值22，又22<3，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b恒有f(a)<b2-3b+2146.(2023·衡水高二檢測(cè))提高過(guò)江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況.在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù).當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí).研究表明：當(dāng)20<x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).(1)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式.(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))f(x)=x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值.(精確到1輛/小時(shí))【解析】(1)由題意，當(dāng)0≤x≤20時(shí)，v(x)=60；當(dāng)20≤x≤200時(shí)，設(shè)v(x)=ax+b，再由已知得200解得a故函數(shù)v(x)=60(2)依題意可得f(x)=60當(dāng)0≤x≤20時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x=20時(shí)，其最大值為60×20=1200；當(dāng)20<x≤200時(shí)，f(x)=13≤13x+200-x2即x=100時(shí)，等號(hào)成立.所以，當(dāng)x=100時(shí)，f(x)在區(qū)間(20，200]上取得最大值10000綜上，當(dāng)x=100時(shí)，f(x)在區(qū)間[0，200]上取得最大值10000【拓展延伸】基本不等式的應(yīng)用基本不等式的應(yīng)用非常廣泛，分