高中數(shù)學(xué)人教A版1本冊(cè)總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí)階段質(zhì)量評(píng)估3

(本欄目?jī)?nèi)容，在學(xué)生用書中以獨(dú)立形式分冊(cè)裝訂)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．若拋物線y2＝4x上的一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為10，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是()A．(9,6) B．(9，±6)C．(6,9) D．(6，±9)解析：設(shè)P(x0，y0)，則x0＋1＝10，∴x0＝9，yeq\o\al(2,0)＝36，∴y0＝±6，故P點(diǎn)坐標(biāo)為(9，±6)．答案：B2．θ是任意實(shí)數(shù)，則方程x2＋y2sinθ＝4的曲線不可能是()A．橢圓 B．雙曲線C．拋物線 D．圓解析：sinθ可以等于1，這時(shí)曲線表示圓，sinθ可以小于0，這時(shí)曲線表示雙曲線，sinθ可以大于0且小于1，這時(shí)曲線表示橢圓．答案：C3．雙曲線eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,k)＝1的離心率e∈(1,2)，則k的取值范圍是()A．(－∞，0) B．(－12,0)C．(－3,0) D．(－60，－12)解析：∵a2＝4，b2＝－k，∴c2＝4－k.∵e∈(1,2)，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(4－k,4)∈(1,4)，k∈(－12,0)．答案：B4．以橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，離心率為2的雙曲線方程是()\f(x2,16)－eq\f(y2,48)＝1 \f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝1\f(x2,16)－eq\f(y2,48)＝1或eq\f(y2,9)－eq\f(x2,27)＝1 D．以上都不對(duì)解析：當(dāng)頂點(diǎn)為(±4,0)時(shí)，a＝4，c＝8，b＝4eq\r(3)，eq\f(x2,16)－eq\f(y2,48)＝1；當(dāng)頂點(diǎn)為(0，±3)時(shí)，a＝3，c＝6，b＝3eq\r(3)，eq\f(y2,9)－eq\f(x2,27)＝1.選C.答案：C5．已知兩定點(diǎn)F1(－1,0)、F2(1,0)，且eq\f(1,2)|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項(xiàng)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A．橢圓 B．雙曲線C．拋物線 D．線段解析：依題意知，|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝2，作圖可知點(diǎn)P的軌跡為線段答案：D6．設(shè)F1和F2為雙曲線eq\f(x2,4)－y2＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足∠F1PF2＝90°，則△F1PF2的面積是()A．1 \f(\r(5),2)C．2 \r(5)解析：由方程知a＝2，b＝1，c＝eq\r(5)，由定義知||PF1|－|PF2||＝2a＝4又∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝20由①、②可得：|PF1|·|PF2|＝2，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)×2＝1，故選A.答案：A7．若橢圓的對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短距離為eq\r(3)，則這個(gè)橢圓的方程為()\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1 \f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,9)＝1 D．以上都不對(duì)解析：∵短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，∴2c＝a，又∵a－c＝eq\r(3)，可知c＝eq\r(3)，a＝2eq\r(3)，∴b＝eq\r(a2－c2)＝3.∴橢圓方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,9)＝1.答案：C8．兩個(gè)正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)是eq\f(9,2)，一個(gè)等比中項(xiàng)是2eq\r(5)，且a＞b，則雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率為()\f(5,3) \f(\r(41),4)\f(5,4) \f(\r(41),5)解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝9,ab＝20,a＞b))可得a＝5，b＝4，∴c2＝a2＋b2＝41，∴c＝eq\r(41)，e＝eq\f(\r(41),5).答案：D9．設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)．若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P，滿足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的漸近線方程為()A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0C．4x±3y＝0 D．5x±4y＝0解析：過(guò)F2作F2A⊥PF1于A，由題意知|F2A|＝2a，|F1F2|＝2c，則|AF∴|PF1|＝4b，而|PF1|－|PF2|＝2a∴4b－2c＝2a，c＝2b－a，c2＝(2b－a)a2＋b2＝4b2－4ab＋a2，解得eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，∴雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(4,3)x.故選C.答案：C10．(2023·浙江卷)已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)與雙曲線C2：x2－eq\f(y2,4)＝1有公共的焦點(diǎn)，C2的一條漸近線與以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于A，B兩點(diǎn)，若C1恰好將線段AB三等分，則()A．a(chǎn)2＝eq\f(13,2) B．a(chǎn)2＝13C．b2＝eq\f(1,2) D．b2＝2解析：如圖，設(shè)M，N為三等分點(diǎn)，N(x，y)，由已知c＝eq\r(5)，故a2－b2＝5，即b2＝a2－5，且雙曲線的漸近線方程為y＝±2x，根據(jù)對(duì)稱性，我們只需聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,\f(x2,a2)＋\f(y2,a2－5)＝1))即可，由以上方程組可得出eq\f(x2,a2)＋eq\f(4x2,a2－5)＝1，解得x2＝eq\f(a2a2－5,5a2－5)，又∵|ON|2＝x2＋y2＝5x2＝5eq\f(a2a2－5,5a2－5)＝eq\f(a2a2－5,a2－1)＝eq\f(a2,9)，∴a2＝eq\f(11,2)，b2＝a2－5＝eq\f(1,2).答案：C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)11．(2023·北京朝陽(yáng)一模)已知拋物線y2＝4x上一點(diǎn)M與該拋物線的焦點(diǎn)F的距離|MF|＝4，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x＝________________________________________________________________________.解析：拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線為x＝－1.根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為4，則M的橫坐標(biāo)為3.答案：312．若橢圓x2＋my2＝1的離心率為eq\f(\r(3),2)，則它的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為_(kāi)_______________________________________________________________________．解析：當(dāng)0＜m＜1時(shí)，eq\f(y2,\f(1,m))＋eq\f(x2,1)＝1，e2＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－m＝eq\f(3,4)，m＝eq\f(1,4)，a2＝eq\f(1,m)＝4，a＝2；當(dāng)m＞1時(shí)，eq\f(x2,1)＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1，a＝1.應(yīng)填1或2.答案：1或213．已知圓x2＋y2－6x－7＝0與拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線相切，則p＝________.解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－3)2＋y2＝42，因此，圓心是(3,0)，半徑r＝4，故與圓相切且垂直于x軸的兩條切線x＝－1，x＝7.而y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線方程是x＝－eq\f(p,2).依題意－eq\f(p,2)＝－1，得p＝2，－eq\f(p,2)＝7，p＝－14(不符合題意)，∴p＝2.答案：214．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦點(diǎn)為F1、F2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)M為PF1的中點(diǎn)，|OF1|＝2|OM|，且OM⊥PF1，則該橢圓的離心率為_(kāi)_______．解析：∵OM綊eq\f(1,2)F2P，又|OF1|＝2|OM|，∴|PF2|＝2|OM|＝c，∵PF2⊥PF1，∴(2a－c)2＋c2＝(2c)∴e2＋2e－2＝0，得e＝eq\r(3)－1.答案：eq\r(3)－1三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15．(12分)已知直線l：y＝x＋m與橢圓：9x2＋16y2＝144.試探究當(dāng)m變化時(shí)，直線l與橢圓的位置關(guān)系．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,9x2＋16y2＝144))消去y，得9x2＋16(x＋m)2＝144，整理得25x2＋32mx＋16m因?yàn)棣ぃ?32m)2－4×25×(16m＝242(52－m2)．當(dāng)Δ＝0，即m＝±5時(shí)，直線與橢圓相切；當(dāng)Δ>0，即－5<m<5時(shí)，直線與橢圓相交；當(dāng)Δ<0，即m<－5或x>5時(shí)，直線與橢圓相離．16．(12分)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，若|MN|＝3，且橢圓離心率是方程2x2－5x＋2＝0的根，求橢圓方程．解析：∵右焦點(diǎn)為F(c,0)，把x＝c代入eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1中，得y2＝b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(c2,a2)))＝eq\f(b4,a2)，∴y＝±eq\f(b2,a).∴|MN|＝eq\f(2b2,a)＝3.①又2x2－5x＋2＝0?(2x－1)(x－2)＝0，∴x＝eq\f(1,2)或2，又e∈(0,1)，∴e＝eq\f(1,2)，即eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).②又知a2＝b2＋c2，③由①②③聯(lián)立解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝1，,b＝\r(3)，))∴橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.17．(12分)汽車前燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈口所在的圓面與反射鏡的軸垂直，燈泡位于拋物線焦點(diǎn)處，已知燈口的直徑是24cm，燈深10cm，那么燈泡與反射鏡頂點(diǎn)的(解析：取反射鏡的軸即拋物線的對(duì)稱軸為x軸，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系xOy，如圖所示．因燈口直徑|AB|＝24，燈深|OP|＝10，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(10,12)．設(shè)拋物線的方程是y2＝2px(p>0)．由點(diǎn)A(10,12)在拋物線上，得122＝2p×10，∴p＝.拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為,0)．因此燈泡與反射鏡頂點(diǎn)的距離是3.618．(14分)已知，橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，兩個(gè)焦點(diǎn)為(－1,0)，(1,0)．(1)求橢圓C的方程；(2)E、F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線的斜率AE與AF的斜率互為相反數(shù)，證明：直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值．解析：(1)由題意，知c＝1，可設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,1＋b2)＋eq\f(y2,b2)＝1因?yàn)锳在橢圓上，所以eq\f(1,1＋b2)＋eq\f(9,4b2)＝1，解得b2＝3，b2＝－eq\f(3,4)(舍去)．所以橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)證明：設(shè)直線AE的方程為y＝k(x－1)＋eq\f(3,2)，代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－k))2－12＝0.設(shè)E(xE，yE)，F(xiàn)(xF，yF)，因?yàn)辄c(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))在橢圓上，所以xE＝eq\f(4\b\lc\