高中數(shù)學(xué)人教A版2第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用定積分的簡單應(yīng)用 市獲獎

1.7定積分的簡單應(yīng)用第一課時定積分的簡單應(yīng)用一、課前準(zhǔn)備1.課時目標(biāo)1.在理解定積分的概念和性質(zhì)的基礎(chǔ)上熟練掌握定積分的計算方法．2.掌握在平面直角坐標(biāo)系下用定積分計算簡單的平面曲線圍成圖形的面積.3.會用定積分解決簡單的物理問題．(如變力做功、變速運動等)2.基礎(chǔ)預(yù)探1．常見圖形的面積與定積分的關(guān)系(1)如圖1，當(dāng)f(x)>0時，eq\i\in(a,b,)f(x)dx________0，所以S＝________；(2)如圖2，當(dāng)f(x)<0時，eq\i\in(a,b,)f(x)dx________0，所以S＝|eq\i\in(a,b,)f(x)dx|＝________；(3)如圖3，當(dāng)a≤x≤c時，f(x)<0，eq\i\in(a,c,)f(x)dx________0；當(dāng)c≤x≤b時，f(x)>0，eq\i\in(c,b,)f(x)dx________0，所以S＝|eq\i\in(a,c,)f(x)dx|＋eq\i\in(c,b,)f(x)dx＝________＋________.(4)如圖4，在公共積分區(qū)間[a，b]上，當(dāng)f1(x)>f2(x)時，曲邊梯形的面積為S＝eq\i\in(a,b,)(f1(x)－f2(x))dx＝________.2.作變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v＝v(t)(v(t)≥0)在時間區(qū)間[a，b]上的定積分，即________________.3.如果物體在變力F(x)的作用下做直線運動，并且物體沿著與F(x)相同的方向從x＝a移動到x＝b(a<b)，那么變力F(x)所作的功為________________.二、學(xué)習(xí)引領(lǐng)1．關(guān)于定積分幾何意義的補充定積分eq\i\in(a,b,)f(x)dx，eq\i\in(a,b,)|f(x)|dx與|eq\i\in(a,b,)f(x)dx|的幾何意義不同，絕不能等同看待，由于被積函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上可正可負(fù)，因而它的圖象可都在x軸的上方，也可都在x軸的下方，還可以在x軸的上下兩側(cè)，所以eq\i\in(a,b,)f(x)dx表示x軸、曲線y＝f(x)以及直線x＝a，x＝b所圍成的曲邊梯形的面積的代數(shù)和；而被積函數(shù)|f(x)|是非負(fù)的，所以eq\i\in(a,b,)|f(x)|dx表示在區(qū)間[a，b]上以|f(x)|為曲邊的曲邊梯形的面積，而|eq\i\in(a,b,)f(x)dx|則是eq\i\in(a,b,)f(x)dx的絕對值，三者的值一般是不相同的.2．利用定積分求曲線所圍成平面圖形面積的步驟(1)畫出圖形；(2)確定被積函數(shù)；(3)確定積分的上、下限，并求出交點的坐標(biāo)，直線與曲線交點的橫坐標(biāo)是確定積分區(qū)間的關(guān)鍵點；(4)運用微積分基本定理計算定積分，求出平面圖形的面積。3.變速運動路程、位移的積分求法路程是位移的絕對值之和，從時刻t＝a到時刻t＝b所經(jīng)過的路程s和位移s′分別為(1)若v(t)≥0(a≤t≤b)，則s＝eq\i\in(a,b,)v(t)dt；s′＝eq\i\in(a,b,)v(t)dt.(2)若v(t)≤0(a≤t≤b)，則s＝－eq\i\in(a,b,)v(t)dt；s′＝eq\i\in(a,b,)v(t)dt.(3)在區(qū)間[a，c]上，v(t)≥0，在區(qū)間[c，b]上v(t)<0，則s＝eq\i\in(a,c,)v(t)dt－eq\i\in(c,b,)v(t)dt；s′＝eq\i\in(a,b,)v(t)dt.4.變力做功的積分求法(1)求變力做功，要根據(jù)物理的實際意義，求出變力F的表達式．(2)由功的定義，物體在變力F(x)的作用下，沿F(x)的方向移動叫直線運動，從x＝a移至x＝b(a<b)，確定出起始的位置．(3)由變力做功公式求出W＝eq\i\in(a,b,)F(x)dx.即為變力F(x)做的功，當(dāng)力F的方向與運動方向夾角為θ時，所做的功為W＝eq\i\in(a,b,)F(x)cosθdx.三、典例導(dǎo)析例1計算由拋物線y2＝2x與直線y＝x－4所圍成圖形的面積．思路導(dǎo)析：方法1:先作出圖形，按照x的取值將圖形合理地分割為幾部分，然后建立積分區(qū)間求值。方法2：根據(jù)y的取值，直接建立積分式求解。解析：解法一：如下圖所示，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2x，,y＝x－4，))得交點A(2，－2)、B(8,4)，所求面積S可分為S1與S2兩部分．S1＝eq\i\in(0,2,)[eq\r(2x)－(－eq\r(2x))]dx＝2eq\r(2)eq\i\in(0,2,)eq\r(x)dx＝2eq\r(2)×eq\f(2,3)×xeq\f(3,2)|eq\o\al(2,0)＝eq\f(16,3).S2＝eq\i\in(2,8,)[eq\r(2x)－(x－4)]dx＝eq\f(38,3).于是，S＝S1＋S2＝eq\f(16,3)＋eq\f(38,3)＝18.解法二：選取y為積分變量，有S＝eq\i\in(－2,4,)[(y＋4)－eq\f(1,2)y2]dy＝eq\f(1,2)y2|eq\o\al(4,－2)＋4y|eq\o\al(4,－2)－eq\f(1,6)y3|eq\o\al(4,－2)＝18.歸納總結(jié)：本題綜合考查了定積分求“曲邊梯形”的面積等知識，靈活運用“分割法”轉(zhuǎn)化為直邊多邊形和曲邊多邊形的面積是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練：由兩條曲線y＝x2，y＝eq\f(1,4)x2與直線y＝1圍成平面區(qū)域的面積是________．例2列車以72km/h的速度行駛，當(dāng)制動時列車獲得加速度a(t)＝－0.4tm/s2，問列車應(yīng)在進站前多長時間，以及離站多遠(yuǎn)處開始制動？(精確到0.1m)思路導(dǎo)析：做變速直線運動的物體，位移s對時間t的導(dǎo)數(shù)s′(t)是瞬時速度v(t)，速度v對時間t的導(dǎo)數(shù)v′(t)是瞬時加速度a(t)．反過來，位移就是對速度的定積分，速度就是對加速度的定積分，利用這個原理可以解決本題。解析：(1)由題v′(t)＝a(t)，∴eq\i\in(0,t,)a(t)dt＝v(t)|eq\o\al(t,0)，∴v(t)＝v(0)＋eq\i\in(0,t,)a(t)dt.∴v＝v0＋eq\i\in(0,t,)(－0.4t)dt.因v0＝72km/h＝20m/s.∴v＝20－eq\i\in(0,t,)0.4tdt＝20－0.2t2|eq\o\al(t,0)＝20－0.2t2，令v＝0，解得t＝10s.(2)設(shè)列車由開始制動到停止所走過的路程為s.則s＝eq\i\in(0,10,)vdt＝eq\i\in(0,10,)(20－0.2t2)dt＝(20t－eq\f(0.2,3)t3)|eq\o\al(10,0)＝200－eq\f(200,3)＝eq\f(400,3)m≈133.3m.答：列車應(yīng)在進站前10秒和進站前約133.3m處制動．歸納總結(jié)：若作變速直線運動物體的速度關(guān)于時間的函數(shù)為，由定積分的物理意義可知，作變速運動的物體在時間內(nèi)的路程s是曲邊梯形（陰影部分）的面積，即路程；如果時，則路程.變式訓(xùn)練：A、B兩站相距7.2km，一輛電車從A站開往B站，電車開出ts后到達途中C點，這一段速度為1.2t(m/s)，到C點的速度達24m/s，從C點到B站前的D點以等速行駛，從D點開始剎車，經(jīng)ts后，速度為(24－1.2t)m/s，在B點恰好停車，試求：(1)A、C間的距離；(2)B、D間的距離；(3)電車從A站到B站所需的時間．例3如圖所示，一物體沿斜面在拉力F的作用下由A經(jīng)B、C運動到D，其中AB＝50m，BC＝40m，CD＝30m，變力(其中x為距離，單位：m，變力F單位：N)在AB段運動時F與運動方向成30°角，在BC段運動時F與運動方向成45°，在CD段F與運動方向相同，求物體由A運動到D所做的功．思路導(dǎo)析：由定積分的定義求物體沿與變力F相同方向從x＝a移動到x＝b時力F所作的功是W＝eq\i\in(a,b,)F(x)dx，由于本題中的力與物體的位移不同方向，因此，還需轉(zhuǎn)化為同一方向再做處理。解析：在AB段運動時F在運動方向上的分力F1＝Fcos30°，在BC段運動時F在運動方向上的分力F2＝Fcos45°，由變力作功公式得W==。答：在變力F作用下物體由A運動到D做的功約為1480J．歸納總結(jié)：(1)當(dāng)變力與物體運動方向夾角為θ時，需求出它在運動方向上的分力F1＝Fcosθ，再用變力做功的定積分公式計算．(2)變力做功問題，首先要將變力用其方向上的位移表示出來，這是關(guān)鍵的一步．變式訓(xùn)練：一物體在力F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10，0≤x≤2,3x＋4x>2))(單位：N)的作用下沿與力F相同的方向，從x＝0處運動到x＝4(單位：m)處，則力F(x)作的功為()A．44 B．46C．48 D．50四、隨堂練習(xí)1.由y＝eq\f(1,x)，x＝1，x＝2，y＝0所圍成的平面圖形的面積為()A．ln2B．ln2－1C．1＋ln2D．2ln23．一物體沿直線以v＝3t＋2(t單位：s，v單位：m/s)的速度運動，則該物體在3s～6s間的運動路程為()A．46m B．46.5mC．87m D．47m解析：s＝eq\i\in(3,6,)(3t＋2)dt＝(eq\f(3,2)t2＋2t)|eq\o\al(6,3)＝(54＋12)－(eq\f(27,2)＋6)＝46.5(m)．故選B.3．由曲線y＝x2－1、直線x＝0、x＝2和x軸圍成的封閉圖形的面積(如圖)是()A.eq\i\in(0,2,)(x2－1)dxB．|eq\i\in(0,2,)(x2－1)dx|C.eq\i\in(0,2,)|x2－1|dxD.eq\i\in(0,1,)(x2－1)dx＋eq\i\in(1,2,)(x2－1)dx4.下圖中陰影部分的面積S＝________.5．一物體在力F(x)＝3x2－2x＋5(力單位：N，位移單位：m)作用力下，沿與力F(x)相同的方向由x＝5m直線運動到x＝10m處做的功是________6.一條水渠橫斷面為拋物線型，如圖，渠寬AB＝4米，渠深CO＝2米，當(dāng)水面距地面0.5米時，求水的橫斷面的面積．五、課后作業(yè)1.在下面所給圖形的面積S及相應(yīng)表達式中，正確的有()A．①③B．②③C．①④D．③④2.以初速40m/s豎直向上拋一物體，ts時刻的速度v＝40－10t2，則此物體達到最高時的高度為()A.eq\f(160,3)m B.eq\f(80,3)mC.eq\f(40,3)m D.eq\f(20,3)m3．已知函數(shù)y＝x2與y＝kx(k＞0)的圖象所圍成的陰影部分的面積為eq\f(9,2)，則k=_________.4．一變速運動物體的運動速度v(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2t(0≤t≤1),at(1≤t≤2),\f(b,t)(2≤t≤e)))則該物體在0≤t≤e時間段內(nèi)運動的路程為(速度單位：m/s，時間單位：s)__________．5.一物體在變力F(x)＝5－x2(力單位：N，位移單位：m)作用下，沿與F(x)成30°方向作直線運動，則由x＝1運動到x＝2時F(x)作的功為？6．一點在直線上從時刻t＝0(s)開始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)運動，求：(1)在t＝4s的位置；(2)在t＝4s運動的路程．參考答案1.7定積分的簡單應(yīng)用第一課時定積分的簡單應(yīng)用一、課前準(zhǔn)備2.基礎(chǔ)預(yù)探1.>eq\i\in(a,b,)f(x)dx<－eq\i\in(a,b,)f(x)dx<>－eq\i\in(a,c,)f(x)dxeq\i\in(c,b,)f(x)dxeq\i\in(a,b,)f1(x)dx－eq\i\in(a,b,)f2(x)dx2.s＝eq\i\in(a,b,)v(t)dt3.W＝eq\i\in(a,b,)F(x)dx三、典例導(dǎo)析例1變式訓(xùn)練解析：如圖，y＝1與y＝x2交點A(1,1)，y＝1與y＝eq\f(x2,4)交點B(2,1)，由對稱性可知面積S＝2(eq\i\in(0,1,)x2dx＋eq\i\in(1,2,)dx－eq\i\in(0,2,)eq\f(1,4)x2dx)＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)。例2變式訓(xùn)練解析：(1)設(shè)A到C經(jīng)過t1s，由1.2t＝24得t1＝20(s)，所以AC＝eq\i\in(0,20,)1.2tdt＝0.6t2eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(20,0)))＝240(m)．(2)設(shè)從D→B經(jīng)過t2s，由24－1.2t2＝0得t2＝20(s)，所以DB＝eq\i\in(0,20,)(24－1.2t)dt＝240(m)．(3)CD＝7200－2×240＝6720(m)．從C到D的時間為t3＝eq\f(6720,24)＝280(s)．于是所求時間為20＋280＋20＝320(s)．例3變式訓(xùn)練解析：W＝eq\i\in(0,4,)F(x)dx＝eq\i\in(0,2,)10dx＋eq\i\in(2,4,)(3x＋4)dx＝10xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(02))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x2＋4x))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(24＝46.))答案：B四、隨堂練習(xí)1.解析：畫出曲線y＝eq\f(1,x)(x>0)及直線x＝1，x＝2，y＝0，則所求面積S為如圖所示陰影部分．∴S＝eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx＝lnx|eq\o\al(2,1)＝ln2－ln1＝ln2.故選A.2．解析：s＝eq\i\in(3,6,)(3t＋2)dt＝(eq\f(3,2)t2＋2t)|eq\o\al(6,3)＝(54＋12)－(eq\f(27,2)＋6)＝46.5(m)．故選B.答案：B3．解析：y＝|x2－1|將x軸下方陰影反折到x軸上方，其定積分為正，故應(yīng)選C.答案：C4.解析：由圖知，S＝eq\i\in(0,2,)[(5－x2)－1]dx＝(4x－eq\f(x3,3))|eq\o\al(2,0)＝(8－eq\f(8,3))－0＝eq\f(16,3).答案：eq\f(16,3)5．解析：W＝eq\i\in(5,10,)F(x)dx＝∫eq\o\al(10,5)(3x2－2x＋5)dx＝(x3－x2＋5x)|eq\o\al(10,5)＝(1000－100＋50)－(125－25＋25)＝825(J)．答案：825(J)6.解析：如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝2py，代入(2,2)得2p＝2，∴x2＝2y，將點(x,1.5)代入得x＝±eq\r(3)，S==（1.5x-）=。∴水的橫斷面的面積為2eq\r(3)平方米．五、課后作業(yè)1.解析：①應(yīng)是S＝eq\i\in(a,b,)[f(x)－g(x)]dx，②應(yīng)是S＝eq\i\in(0,8,)2eq\r(2x)dx－eq\i\in(4,8,)(2x－8)dx，③和④正確．故選D.答案：D2.解析：由v＝40－10t2＝0?t2＝4，t＝2.∴h＝eq\i\in(0,2,)(40－10t2)dt＝(40t－eq\f(10,3)t3)|eq\o\al(2,0)＝80－eq\f(80,3)＝eq\f(160,3)(m)．故選A.3．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2,y＝kx))消去y得x2－kx＝0，所以x＝0或x＝k，則陰影部分的面積為eq\i\in(0,k,)(kx－x2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)kx2－\f(1,3)x3))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0k))＝eq\f(9,2).即eq\f(1,2)k3－eq\f(1,3)k3＝eq\f(9,2)，解得k＝3.答案：34．解析;∵0≤t≤1時，v(t)＝2t，∴v(1)＝2；又1≤t≤2時，v(t)＝at，∴v(1)＝a＝2，v(2)