高等數學 第十二章 無窮級數

無窮級數從18世紀以來，無窮級數就被認為是微積分的一個不可缺少的部分，是高等數學的重要內容，同時也是有力的數學工具，在表示函數、研究函數性質等方面有巨大作用，在自然科學和工程技術領域有著廣泛的應用本章主要內容包括常數項級數和兩類重要的函數項級數——冪級數和三角級數，主要圍繞三個問題展開討論：①級數的收斂性判定問題，②把已知函數表示成級數問題，③級數求和問題。重點級數的斂散性，常數項級數審斂法，冪級數的收斂域，函數的冪級數展開式，函數的Fourier展開式；難點常數項級數審斂法，函數展開成冪級數的直接法和間接法，F(xiàn)ourier展開，級數求和；基本要求①掌握級數斂散性概念和性質②掌握正項級數的比較審斂法、檢比法、檢根法③掌握交錯級數的Leibniz審斂法④掌握絕對收斂和條件收斂概念⑤掌握冪級數及主要性質，會求收斂半徑和收斂區(qū)間，會求簡單的冪級數的和函數⑥熟記五個基本初等函數的Taylor級數展開式及其收斂半徑⑦掌握Fourier級數概念，會熟練地求出各種形式的Fourier系數⑧掌握奇、偶函數的Fourier級數的特點及如何將函數展開成正弦級數或余弦級數一、問題的提出1.計算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積二、級數的概念1.級數的定義:一般項(常數項)無窮級數級數的部分和部分和數列2.級數的收斂與發(fā)散:余項無窮級數收斂性舉例：Koch雪花.做法：先給定一個正三角形，然后在每條邊上對稱的產生邊長為原邊長的1/3的小正三角形．如此類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到了面積有限而周長無限的圖形——“Koch雪花”．觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推第次分叉：周長為面積為于是有雪花的面積存在極限（收斂）．結論：雪花的周長是無界的，而面積有界．解

收斂

發(fā)散

發(fā)散

發(fā)散

綜上解三、基本性質結論:級數的每一項同乘一個不為零的常數,斂散性不變.結論:收斂級數可以逐項相加與逐項相減.證明類似地可以證明在級數前面加上有限項不影響級數的斂散性.證明注意收斂級數去括弧后所成的級數不一定收斂.

收斂

發(fā)散事實上，對級數任意加括號若記則加括號后級數成為記的部分和為的部分和記為則由數列和子數列的關系知存在，必定存在存在未必存在四、收斂的必要條件級數收斂的必要條件:證明注意1.如果級數的一般項不趨于零,則級數發(fā)散;

發(fā)散2.必要條件不充分.討論2項2項4項8項項由性質4推論,調和級數發(fā)散.由定積分的幾何意義這塊面積顯然大于定積分以1為底的的矩形面積把每一項看成是以為高就是圖中n個矩形的面積之和即故調和級數發(fā)散調和級數的部分和五、小結常數項級數的基本概念基本審斂法思考題思考題解答能．由柯西審斂原理即知．觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推12345練習題練習題答案常數項級數審斂法在研究級數時，中心問題是判定級數的斂散性，如果級數是收斂的，就可以對它進行某些運算，并設法求出它的和或和的近似值但是除了少數幾個特殊的級數，在一般情況下，直接考察級數的部分和是否有極限是很困難的，因而直接由定義來判定級數的斂散性往往不可行，這就要借助一些間接的方法來判定級數的斂散性，這些方法稱為審斂法對常數項級數將分為正項級數和任意項級數來討論一、正項級數及其審斂法1.定義:這種級數稱為正項級數.這種級數非常重要，以后我們將會看到許多級數的斂散性判定問題都可歸結為正項級數的收斂性問題2.正項級數收斂的充要條件:部分和數列為單調增加數列.定理3.比較審斂法證明即部分和數列有界不是有界數列定理證畢.比較審斂法的不便:須有參考級數.解由圖可知重要參考級數:幾何級數,P-級數,調和級數.比較審斂法是一基本方法，雖然有用，但應用起來卻有許多不便，因為它需要建立定理所要求的不等式，而這種不等式常常不易建立，為此介紹在應用上更為方便的極限形式的比較審斂法證明4.比較審斂法的極限形式:設?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項級數,如果則(1)當時,二級數有相同的斂散性;(2)當時，若收斂,則收斂;(3)當時,若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;證明由比較審斂法的推論,得證.解原級數發(fā)散.故原級數收斂.證明收斂發(fā)散比值審斂法的優(yōu)點:不必找參考級數.直接從級數本身的構成——即通項來判定其斂散性兩點注意:解比值審斂法失效,改用比較審斂法例5解由于不存在，檢比法失效而對由檢比法得收斂故由比較審斂法知收斂例6解由檢比法得級數收斂級數發(fā)散檢比法失效，但即后項大于前項故級數發(fā)散證明取則由知由收斂及比較審斂法得收斂收斂由知故不趨于0發(fā)散不能判定如都有但收斂發(fā)散級數收斂.二、交錯級數及其審斂法定義:

正、負項相間的級數稱為交錯級數.證明滿足收斂的兩個條件,定理證畢.解原級數收斂.證明

un

單調減的方法？？？三、絕對收斂與條件收斂定義:正項和負項任意出現(xiàn)的級數稱為任意項級數.證明上定理的作用：任意項級數正項級數解故由定理知原級數絕對收斂.將正項級數的檢比法和檢根法應用于判定任意項級數的斂散性可得到如下定理定理設有級數則絕對收斂發(fā)散可能絕對收斂，可能條件收斂，也可能發(fā)散如注意一般而言，由發(fā)散，并不能推出發(fā)散如發(fā)散但收斂如果發(fā)散是由檢比法和檢根法而審定則必定發(fā)散這是因為檢比法與檢根法審定級數發(fā)散的原因是通項不趨向于0由四、小結正項級數任意項級數審斂法1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對收斂5.交錯級數(萊布尼茨定理)3.按基本性質;思考題思考題解答由比較審斂法知收斂.反之不成立.例如：收斂,發(fā)散.練習題練習題答案1、常數項級數收斂級數的基本性質級數收斂的必要條件:習題課常數項級數審斂一、主要內容常數項級數審斂法正項級數任意項級數1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對收斂5.交錯級數(萊布尼茨定理)3.按基本性質;一般項級數4.絕對收斂2、正項級數及其審斂法(1)比較審斂法(2)比較審斂法的極限形式是同階無窮小特別（等價無窮小）3、交錯級數及其審斂法4、任意項級數及其審斂法Leibniz定理絕對收斂，條件收斂附：正項級數與任意項級數審斂程序發(fā)散NYYNN改用它法Y收斂收斂發(fā)散收斂發(fā)散N發(fā)散YY收斂N用檢比法用比較法用L—準則或考察部分和NNY條件收斂例1求極限解考察正項級數由檢比法收斂由級數收斂的必要條件得二、典型例題例2設試證發(fā)散證不妨設a>0

由極限保號性知由于故由比較法的極限形式得發(fā)散例3若都發(fā)散則A必發(fā)散B必發(fā)散C必發(fā)散D以上說法都不對例3解根據級數收斂的必要條件，原級數發(fā)散．解從而有原級數收斂；原級數發(fā)散；原級數也發(fā)散．例4解即原級數非絕對收斂．由萊布尼茨定理：所以此交錯級數收斂，故原級數是條件收斂．都收斂且例5設試證收斂證由知因都收斂故正項級數收斂再由比較審斂法知正項級數收斂而即可表為兩個收斂級數之和故收斂例6設且若收斂則也收斂證由題設知而收斂由比較法得收斂Cauchy積分審斂法設單調減少則與同斂散例7證由f(x)單調減少知即故與同斂散例8設是單調增加且有界的正數數列試證明收斂證記則且而正項級數的部分和又單調增加且有界故由單調有界原理知存在即收斂進而收斂由比較法得收斂設正數數列單調減少，級數發(fā)散考察的斂散性證記由單調減少故由單調有界原理知存在且若由Leibniz審斂法得交錯級數收斂與題設矛盾由檢根法知收斂例9已知證明⑴⑵⑶由知對有證⑴例10而收斂故由比較法知收斂⑵由知有而發(fā)散故由比較法知發(fā)散⑶如但討論的斂散性解對級數收斂絕對收斂發(fā)散發(fā)散分情況說明例11級數成為收斂發(fā)散級數成為絕對收斂條件收斂例12對的值，研究一般項為的級數的斂散性解由于當n充分大時，定號故級數從某一項以后可視為交錯級數總有級數發(fā)散非增地趨于0由Leibniz審斂法知收斂但而發(fā)散故由比較法的極限形式發(fā)散條件收斂級數顯然收斂正項級數由級數收斂的必要條件要使收斂必須但在一般項趨于0的級數中為什么有的收斂有的卻發(fā)散，因此從原則上講，比較法是基礎，更重要更基本，但其極限形式（包括極限審斂法）則更能說明問題的實質，使用起來也更有效的階問題的實質是級數收斂與否取決于關于常數項級數審斂和作為變化快慢得到檢比法和檢根法，檢比法和檢根法的實質是把所論級數與某一幾何級數作比較，雖然使用起來較方便但都會遇到“失效”的情況。這一結論將許多級數的斂散性判定問題歸結為正項級數的斂散性判定注①比較法、比較法的極限形式、檢比法、檢根法、積分審斂法，只能對正項級數方可使用的一種估計②檢比法、檢根法只是充分條件而非必要條件③L—準則也是充分條件而非必要條件④通項中含等常用檢比法⑤通項中含有以n為指數冪的因子時常用檢根法⑥使用比較法的極限形式時，關鍵在于找出與同階或等價的無窮小如記則⑦當所討論的級數中含有參數時，一般都要對參數的取值加以討論1.定義:冪級數一、函數項級數的一般概念2.收斂點與收斂域:3.和函數:(定義域是?)函數項級數的部分和余項注意(x在收斂域上)函數項級數在某點x的收斂問題,實質上是數項級數的收斂問題.解由達朗貝爾判別法原級數絕對收斂.原級數發(fā)散.收斂;發(fā)散;二、冪級數及其收斂性1.定義:2.收斂性:證明由(1)結論幾何說明發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域收斂區(qū)域這是冪級數收斂的特性推論定義:正數R稱為冪級數的收斂半徑.稱為冪級數的收斂區(qū)間，收斂域

=

收斂區(qū)間

+

收斂的端點可能是規(guī)定問題如何求冪級數的收斂半徑?證明由比值審斂法,定理證畢.①若在x0處收斂則②在x0處發(fā)散若則③若在x0處條件收斂則這是冪級數收斂的特性注利用該定理求收斂半徑要求所有的或只有有限個例2求下列冪級數的收斂區(qū)間:解該級數收斂該級數發(fā)散發(fā)散收斂故收斂區(qū)間為(0,1].如缺項，則必不存在，但冪級數并不是沒有收斂半徑，此時不能套用定理，可考慮直接用比值法或根值法求收斂半徑例3已知冪級數的收斂半徑R=1求的收斂半徑解任取由收斂知注：由檢比法易得收斂故由比較審斂法知在故收斂半徑內絕對收斂注意收斂半徑為1，并不意味著`三、冪級數的運算1.代數運算性質:(1)加減法(其中(2)乘法(其中(3)除法(相除后的收斂區(qū)間比原來兩級數的收斂區(qū)間小得多)2.和函數的分析運算性質:(收斂半徑不變)(收斂半徑不變)解兩邊積分得例5求和函數解收斂域為記則并求的和故故常用已知和函數的冪級數記住幾個常見級數的和常數項級數求和的一種重要方法冪級數法或Abel法四、小結1.函數項級數的概念:2.冪級數的收斂性:收斂半徑R3.冪級數的運算:分析運算性質思考題冪級數逐項求導后，收斂半徑不變，那么它的收斂域是否也不變？思考題解答不一定.例它們的收斂半徑都是1,但它們的收斂域各是練習題練習題答案函數展開成冪級數

由于冪級數在收斂域內確定了一個和函數，因此我們就有可能利用冪級數來表示函數。如果一個函數已經表示為冪級數，那末該函數的導數、積分等問題就迎刃而解。一、泰勒級數上節(jié)例題存在冪級數在其收斂域內以f(x)為和函數問題:1.如果能展開,是什么?2.展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級數?證明逐項求導任意次,得泰勒系數泰勒系數是唯一的,問題泰勒級數在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)?不一定.定義在x=0點任意可導,證明必要性充分性證明二、函數展開成冪級數1.直接法(泰勒級數法)步驟:例1解由于M的任意性,即得例2解例3解兩邊積分得即注意:牛頓二項式展開式雙階乘2.間接法根據唯一性,利用常見展開式,通過變量代換,四則運算,恒等變形,逐項求導,逐項積分,復合等方法,求展開式.例如例4解三、小結1.如何求函數的泰勒級數;2.泰勒級數收斂于函數的條件;3.函數展開成泰勒級數的方法.思考題什么叫冪級數的間接展開法？思考題解答從已知的展開式出發(fā),通過變量代換、四則運算或逐項求導、逐項積分等辦法,求出給定函數展開式的方法稱之.練習題練習題答案冪級數習題課一、主要內容函數項級數冪級數收斂半徑R收斂域Taylor級數Taylor展開式１．冪級數(1)定義(2)收斂性對總存在正數Ｒ使得Ｒ－－收斂半徑（－Ｒ，Ｒ）－－收斂區(qū)間注①形如的級數，求收斂域的收斂半徑Ｒ－－原級數的收斂點應先求出－－原級數的發(fā)散點再研究②用公式求收斂半徑應是的系數，否則可作代換或直接利用檢比法或檢根法來確定③求出收斂半徑后必須用常數項級數審斂法判定端點處的斂散性的點的斂散性(3)冪級數的運算a.代數運算性質:b.和函數的分析運算性質:和函數連續(xù)，逐項微分，逐項積分收斂半徑不變⑷冪級數求和函數利用幾個已知的展開式，如通過某些簡單運算而求得?。蓛蓚€冪級數的和，差，積，商ⅱ．作變量代換ⅲ．求導或積分通項形如先微后積通項形如先積后微步驟：①求收斂域②對進行運算保留所有的運算記號的運算結果要具體算出化成易求和的形式③再進行上述運算的逆運算得２．冪級數展開式(1)定義(2)充要條件(3)唯一性(４)展開方法a.直接法(泰勒級數法)步驟:根據唯一性,利用常見展開式,通過變量代換,四則運算,恒等變形,逐項求導,逐項積分等方法,求展開式.b.間接法(５)常見函數展開式(６)應用歐拉公式的展開式，并且要十分熟悉幾何級數及函數間的微分關系２．求函數的冪級數展開式，必須相應地寫出展開式成立的范圍，３．對于不同類型的函數注意采用不同的展開方法和步驟有理分式－－化部分分式，利用幾何級數展開反三角函數或對數函數－－先展開其導數，再逐項積分，但此時必須注意積分的下限注１．幾個基本初等函數須直接展開，其它函數應盡量采用間接展開，但間接展開法必須牢記

二、典型例題例１求收斂域解收斂半徑收斂半徑若則原級數成為由于收斂原級數成為發(fā)散故收斂域為若則收斂收斂發(fā)散收斂原級數成為絕對收斂收斂絕對收斂原級數收斂原級數成為收斂原級數收斂故收斂域為解收斂域例２求和函數

令積分求導令求導積分故注意先微后積，收斂域可能擴張先積后微，收斂域可能收縮例３求級數和解考慮冪級數由乘以

x

求導再乘以x再求導例４解兩邊逐項積分例５解或積分例６解求的冪級數展開式及其收斂半徑并求解由于收斂半徑為且例7設例8設求解一由Leibniz公式令得由得解二故Fourier級數前面兩節(jié)我們討論了一般項是非負整數次冪的冪函數的函數項級數------冪級數，給出了冪級數的收斂半徑和收斂域的求法，討論了函數展開為冪級數的條件及函數展開為冪級數的直接展開法、間接展開法。從本節(jié)開始我們來討論一般項是三角函數的函數項級數------三角級數，重點討論如何把函數展開為三角級數的問題，它的重要應用之一是對周期信號進行頻譜分析，是學習積分變換的基礎，也可利用三角級數展開式求出某些數項級數的和一、問題的提出在自然科學與工程技術問題中，常會遇到周期現(xiàn)象具有周期現(xiàn)象的量，每經過時間

T

后所取的值就重復出現(xiàn)，這樣的量在數學上可表示成時間t的周期函數

f(t+T)=f(t)正弦函數是一類比較簡單的周期函數，而且是應用十分廣泛的一類周期函數。如在簡諧振動和正弦電路電流分析中常遇到正弦型函數但是在實際問題中，除了正弦函數外，還會遇到非正弦周期函數，它們反映了較復雜的周期運動非正弦型周期函數：巨形波如何深入地研究非正弦型周期函數呢？聯(lián)系到前面介紹過的用函數的冪級數展開式表示和討論函數，我們也想將周期函數展開成簡單的周期函數如正弦函數組成的級數不同頻率的正弦波逐個疊加以電路計算為例，往往將以T為周期的函數化成一系列不同頻率的正弦量之和。將周期函數按上述方式展開，其物理意義是很明確的，這就是把一個比較復雜的周期運動看成一系列不同頻率的簡諧振動的疊加二、三角級數三角函數系的正交性1.三角級數諧波分析三角級數2.三角函數系的正交性三角函數系三、函數展開成傅里葉級數問題:1.若能展開,是什么?2.展開的條件是什么?1.傅里葉系數傅里葉系數傅里葉級數問題:以上我們是在f(x)可以展開成三角級數并可以逐項積分的前提下討論問題的，下面我們撇開這個前提只要公式中的積分都存在，就可以定出系數并可唯一地寫出f(x)的F-----級數至于這個級數是否收斂，如收斂是否收斂到f(x)的問題，有以下定理2.狄利克雷(Dirichlet)充分條件(收斂定理)注意:函數展開成傅里葉級數的條件比展開成冪級數的條件低的多.解所給函數滿足狄利克雷充分條件.和函數圖象為所求函數的傅氏展開式為展開步驟①驗證f(x)滿足Dirichlet條件，并確定f(x)的所有間斷點，可作圖，結合圖形進行分析、判斷②根據公式計算Fourier系數③寫出Fourier級數展開式，并注明展開式的成立范圍注求Fourier系數一般要用分部積分法，有時甚至要多次分部積分，較麻煩且容易出錯，此外，某些an,bn需要單獨計算，容易忽略而導致錯誤求函數的Fourier級數展開式，主要的工作是計算Fourier系數，利用函數的奇偶性可簡化Fourier系數計算，當f(x)是奇函數時此時其Fourier級數展開式是只含有正弦項而沒有常數項和余弦項的正弦級數當f(x)是偶函數時此時其Fourier級數展開式是只含有常數項和余弦項而沒有正弦項的余弦級數例2f(x)在一個周期內的表達式為解f(x)如右圖所示滿足收斂定理的條件例3試求其Fourier級數的和函數解f(x)在整個數軸上連續(xù)，其Fourier級數處處收斂于f(x)本身四、小結1.基本概念；2.傅里葉系數；3.狄利克雷充分條件；4.非周期函數的傅氏展開式；5.傅氏級數的意義——整體逼近思考題思考題解答傅氏級數的意義——整體逼近Fourier級數習題課常數項級數函數項級數一般項級數正項級數冪級數三角級數收斂半徑R泰勒展開式數或函數函數數任意項級數傅氏展開式傅氏級數泰勒級數滿足狄氏條件在收斂級數與數條件下相互轉化一、主要內容一、主要內容1。Fourier級數Fourier系數2。收斂定理（Dirichlet充分條件）f(x)在一個周期內①連續(xù)或只有有限個第一類間斷點②只有有限個極值點則Fourier級數收斂，且3。周期為2L的函數展開為Fourier級數若f(x)是奇函數或偶函數，則有簡化的計算公式偶函數奇函數4。非周期函數的展開上有定義的函數f(

x)先在整個數軸上作周期延拓，將延拓后的函數展開成Fourier級數，最后限制自變量的取值范圍，即得f(

x)的

Fourier級數展開式上有定義的函數f(

x)奇延拓——-展開成正弦級數（收斂域一般不包含端點）偶延拓——展開成余弦級數（收斂域一定包含端點）5。強調幾點這部分內容所涉及到的問題，類型不多，有求函數的Fourier級數展開式，討論其和函數，證明三角等式，求某些數項級數的和。解法也比較固定首先是求出Fourier系數，寫出Fourier

級數，然后根據Dirichlet充分條件討論其和函數⑴記住Fourier系數公式。Fourier系數的計算須不止一次地使用分部積分公式，要小心⑵掌握Dirichlet收斂定理的內容⑶求函數的Fourier級數展開式，必須注明展開式的成立范圍——即連續(xù)區(qū)間，也即只要去掉間斷點⑷注意函數的奇偶性、周期性⑸注意函數的定義域，是否需要延拓無論是奇延拓還是偶延拓，在計算展開式的系數時只用到

f(

x)在[0,l]上的值，所以在解題過程中并不需要具體作出延拓函數F(x)，而只須指明采用哪一種延拓方式即可Fourier

級數收斂定理Fourier系數其它展開正弦、余弦級數求和函數的表達式、常數項級數的和二、典型例題例1解同理解關鍵是寫出f(x)在一個周期內的表達式易見f(x)是奇函數解此題是定義在的函數展開成正弦級數為此首先對f(x)作奇延拓在作正弦展開依收斂定理當x是連續(xù)點時s(x)=f(x)當x是間斷點時只須注意端點處的情況例4已知f(x)在[-1,1]上的Fourier級數為該級數的和函數為s(x)則As(1)=1s(2)=4Bs(1)=0.5s(2)=4Cs(1)=0.5s(2)=0Ds(1)=1s(2)=0解對f(x)進行偶延拓令x=0得證明本例實則是將函數f(

x)展開成Fourier級數先展開成余弦級數，須進行偶延拓再展開成余弦級數，須進行奇延拓其它展開一、周期為2L的周期函數展開成

Fourier級數前面我們所討論的都是以展開成Fourier級數，但在科技應用中所遇到的周期函數大都是以T為周期，因此我們需要討論如何把周期為T=2l的函數展開為Fourier級數若f(t)是以T=2l為周期的函數，在[-l,l)上滿足Dirichlet條件代入傅氏級數中定理在連續(xù)點處級數收斂于f(x)本身在間斷點處級數收斂于則有則有證明解二、非周期函數的展開前面我們研究了周期為T=2l的函數展開成Fourier級數，其中所涉及到的函數都是定義在無限區(qū)間上，但在實際應用中卻需要對非周期函數，或定義在有限區(qū)間上的函數展開成Fourier級數，下面我們就來討論這種情況，分兩種情形討論1。周期延拓的情形設函數f(t)在[-l,l)上滿足Dirichlet條件為了將其展開為Fourier級數，需要將f(t)在[-l,l)以外進行周期性延拓，也就是作一個周期為l的函數F(t)使得F(t)在[-l,l)上與f(t)恒等，將F(t)展開成Fourier級數而在[-l,l)的連續(xù)點處，有若t0是[-l,l)內的間斷點，則在該點處，級數收斂于需要注意的是區(qū)間的兩個端點，雖然對f(t)來說，在左端點右連續(xù)，右端點左連續(xù)，但延拓成F(t)以后，在就不一定連續(xù)，由收斂定理，級數收斂于因此若f(t)在[-l,l)上左端點的右極限等于右端點的左極限，即展開式在此時Fourier級數的收斂域包括區(qū)間的端點，否則Fourier級數的收斂域不包括區(qū)間的端點應該指出，這里所要展開的是f(t)要得到的是第二個級數，在實際計算中并不需要得到第一個級數，雖然兩個展開式形式上完全相同，但它們的收斂域不同，F(xiàn)(t)是延拓到整個數軸上的情形，而

f(t)的展開式只局限于[-l,l]，因此在討論f(t)的展開式的收斂域時，不要擴展到f(t)的定義域之外解所給函數滿足狄利克雷充分條件.拓廣的周期函數的傅氏級數展開式在收斂于.所求函數的傅氏展開式為利用傅氏展開式求級數的和解另解2。正弦級數和余弦級數定義非周期函數的周期性開拓如果函數f(t)只是定義在[0,l]上，且在[0,l]上滿足Dirichlet條件，需要展開成Fourier級數，就要先在[-l,0）上補充定義，或者說構造一個新函數F(t)使得在區(qū)間[0,l]上有F(t)=f(t)然后按照周期延拓的方法將F(t)展開成Fourier級數，當限制自變量在[0,l]上時，就得到f(t)的Fourier展開式從理論上講，構造函數F(t)時，所補充的在[-l,0）上有定義的函數可以任意給出，只要它滿足Dirichlet條件，但往往由于所給函數的不同會使得計算變得煩瑣，因此在實際應用中常采用偶延拓和奇延拓的方法則有如下兩種情況奇延拓:偶延拓:解(1)求正弦級數.(2)求余弦級數.一般而言，奇延拓的收斂域不包括端點