高中數(shù)學人教A版4坐標系 一平面直角坐標系

第一講坐標系一、平面直角坐標系A級基礎鞏固一、選擇題1．在平面直角坐標系xOy中，方程(x－1)(x＋1)＝0表示的圖形是()A．圓 B．拋物線C．兩條平行直線 D．兩條相交直線解析：方程(x－1)(x＋1)＝0表示直線x＝1或直線x＝－1，為兩條平行直線．答案：C2．在平面直角坐標系xOy中，方程(x－1)2＋(y－1)2＝0表示的圖形是()A．圓 B．一條直線C．兩條直線 D．一個點答案：D3．將點P(－2，2)變換為P′(－6，1)的伸縮變換公式為()\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,3)x，,y′＝2y)) \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝3y))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,y′＝\f(1,2)y)) \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,y′＝2y))解析：設伸縮變換為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λx，,y′＝μy，))則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－6＝λ·（－2），,1＝μ·2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,μ＝\f(1,2)，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,y′＝\f(1,2)y.))答案：C4．在同一坐標系中，方程x2＋y2＝1經(jīng)過伸縮變換eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝5x，,y′＝4y))后表示的圖形是()A．焦點在x軸上，長軸長為5的橢圓B．焦點在x軸上，長軸長為10的橢圓C．焦點在y軸上，長軸長為5的橢圓D．焦點在y軸上，長軸長為10的橢圓解析：變換公式x＝eq\f(x′,5)，y＝eq\f(y′,4)，代入已知的方程得eq\f(x′2,25)＋eq\f(y′2,16)＝1，該方程表示的圖形是焦點在x軸上，長軸長為10的橢圓．答案：B5．如何由正弦曲線y＝sinx經(jīng)伸縮變換得到y(tǒng)＝eq\f(1,2)sineq\f(1,2)x的圖象()A．將橫坐標縮為原來的eq\f(1,2)，縱坐標也縮為原來的eq\f(1,2)B．將橫坐標縮為原來的eq\f(1,2)，縱坐標伸長為原來的2倍C．將橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標也伸長為原來的2倍D．將橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標縮為原來的eq\f(1,2)解析：設eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λx，,y′＝μy))代入y′＝eq\f(1,2)sineq\f(1,2)x′得μy＝eq\f(1,2)sineq\f(λ,2)x，即y＝eq\f(1,2μ)sineq\f(λ,2)x，與y＝sinx比較知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2μ)＝1，,\f(λ,2)＝1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,μ＝\f(1,2)，))因為λ>1是伸長，0<μ<1是縮短，所以選D.答案：D二、填空題6．在平面直角坐標系xOy中，動點P到點(－1，0)的距離是到點(1，0)的距離的eq\r(2)倍，則動點P的軌跡方程是________________．解析：設P(x，y)，則eq\r(（x＋1）2＋y2)＝eq\r(2)eq\r(（x－1）2＋y2)，即x2＋2x＋1＋y2＝2(x2－2x＋1＋y2)，整理得x2＋y2－6x＋1＝0.答案：x2＋y2－6x＋1＝07．在同一平面直角坐標系中，經(jīng)過伸縮變換eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝4y))后，曲線C變?yōu)榍€eq\f(x′2,4)＋eq\f(y′2,16)＝1，則曲線C的方程是________．解析：把變換公式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝4y))代入方程eq\f(x′2,4)＋eq\f(y′2,16)＝1中，得eq\f(（2x）2,4)＋eq\f(（4y）2,16)＝1，整理得x2＋y2＝1.答案：x2＋y2＝18．在同一平面直角坐標系中，將曲線x2－36y2－8x＋12＝0變成曲線x′2－y′2－4x′＋3＝0，則滿足條件的伸縮變換是________．解析：x2－36y2－8x＋12＝0可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－4,2)))eq\s\up12(2)－9y2＝1.①x′2－y′2－4x′＋3＝0可化為(x′－2)2－y′2＝1.②比較①②，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′－2＝\f(x－4,2)，,y′＝3y，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(x,2)，,y′＝3y.))答案：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(x,2)，,y′＝3y))三、解答題9．已知△ABC是直角三角形，斜邊BC的中點為M，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，證明：|AM|＝eq\f(1,2)|BC|.證明：以Rt△ABC的直角邊AB，AC所在直線為坐標軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．設B，C兩點的坐標分別為(b，0)，(0，c)．則M點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)，\f(c,2))).由于|BC|＝eq\r(b2＋c2)，|AM|＝eq\r(\f(b2,4)＋\f(c2,4))＝eq\f(1,2)eq\r(b2＋c2)，故|AM|＝eq\f(1,2)|BC|.10．在平面直角坐標系中，求下列方程對應的圖形經(jīng)過伸縮變換eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝\f(1,3)y))后的圖形．(1)5x＋2y＝0；(2)x2＋y2＝2；(3)y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))).解：(1)由伸縮變換eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝\f(1,3)y))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2x′，,y＝3y′，))將其代入5x＋2y＝0，得到經(jīng)過伸縮變換后的圖形的方程是5x′＋3y′＝0.所以經(jīng)過伸縮變換eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝\f(1,3)y))后，直線5x＋2y＝0變成直線5x＋3y＝0.(2)將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2x′，,y＝3y′))代入x2＋y2＝2，得到經(jīng)過伸縮變換后的圖形的方程是eq\f(x′2,\f(1,4))＋eq\f(y′2,\f(1,9))＝2，即eq\f(x′2,\f(1,2))＋eq\f(y′2,\f(2,9))＝1.所以經(jīng)過伸縮變換eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝\f(1,3)y))后，圓x2＋y2＝2變成橢圓eq\f(x′2,\f(1,2))＋eq\f(y′2,\f(2,9))＝1.(3)將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2x′，,y＝3y′))代入y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))得3y′＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x′＋\f(π,4)))，即y′＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x′＋\f(π,4)))，所以經(jīng)過伸縮變換eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝\f(1,3)y))后曲線y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))變?yōu)榍€y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).B級能力提升1．在同一平面直角坐標系中經(jīng)過伸縮變換eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝5x，,y′＝3y))后曲線C變?yōu)榍€2x′2＋8y′2＝2，則曲線C的方程為()A．25x2＋36y2＝1 B．9x2＋100y2＝1C．10x＋24y＝1 \f(2,25)x2＋eq\f(8,9)y2＝1解析：將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝5x，,y′＝3y))代入2x′2＋8y′2＝2中，得50x2＋72y2＝2，即25x2＋36y2＝1.答案：A2．在平面直角坐標系中，動點P和點M(－2，0)，N(2，0)滿足|eq\o(MN,\s\up11(→))|·|eq\o(MP,\s\up11(→))|＋eq\o(MN,\s\up11(→))·eq\o(NP,\s\up11(→))＝0，則動點P(x，y)的軌跡方程為__________________．解析：設P(x，y)，由題意可知eq\o(MN,\s\up11(→))＝(4，0)，eq\o(MP,\s\up11(→))＝(x＋2，y)，eq\o(NP,\s\up11(→))＝(x－2，y)，由|eq\o(MN,\s\up11(→))|·|eq\o(MP,\s\up11(→))|＋eq\o(MN,\s\up11(→))·eq\o(NP,\s\up11(→))＝0，可知4eq\r(（x＋2）2＋y2)＋4(x－2)＝0，化簡，得y2＝－8x.答案：y2＝－8x3．已知A，B兩地相距800m，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地聽到晚2s，且聲速為340m/s，解：由聲速及在A地聽到的炮彈聲比在B地晚2s，可知A地與爆炸點的距離比B地與爆炸點的距離遠680m因為|AB|>680m所以爆炸點的軌跡是以A、B為焦點的在靠近