高中數(shù)學(xué)人教A版第三章三角恒等變換 課時提升作業(yè)(三十)(二)

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè)(三十)簡單的三角恒等變換(二)(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1.設(shè)π2<θ<π，且|cosθ|=15，那么sinθA.105 105 155【解析】選D.因為π2<θ<π，所以cosθ<0，所以cosθ=-1因為π4<θ2<π2又cosθ=1-2sin2θ2，所以sin2θ2=1-cosθ所以sinθ2=152.(2023·瀏陽高一檢測)若函數(shù)f(x)=sin2x-2sin2x·sin2x，則f(x)是()A.最小正周期為π2B.最小正周期為π的奇函數(shù)C.最小正周期為2π的偶函數(shù)D.最小正周期為π的偶函數(shù)【解析】選(x)=sin2x(1-2sin2x)=sin2x·cos2x=12最小正周期T=2π4=且f(-x)=12sin4(-x)=-1【補償訓(xùn)練】函數(shù)f(x)=sin2x+3sinxcosx在區(qū)間π4, B.1+32 C.32【解析】選(x)=1-cos2x2+=sin2x-π6又x∈π4所以2x-π6∈π所以f(x)max=1+12=33.(2023·安徽高考)若將函數(shù)f(x)=sin2x+cos2x的圖象向右平移φ個單位，所得圖象關(guān)于y軸對稱，則φ的最小正值是()A.π8 B.π4 C.3π【解析】選C.將函數(shù)f(x)=sin2x+cos2x=2sin2x+π4所得函數(shù)為f(x)=2sin2=2sin2x+所以π4-2φ=π所以φ的最小正值是3π4.(2023·黃岡高一檢測)已知α，β∈0,π2，tanαA.π6 B.π4 C.π3 【解析】選A.由tanα21-tan2因為α∈0,π2所以2sinβ=sinπ3+β=32所以tanβ=33，所以β=π5.函數(shù)y=1-cosxsinxA.kπ2,0C.kπ+π4【解析】選=1-cosxsinx=2sin由x2=k其圖象的對稱中心是(kπ，0)(k∈Z).【誤區(qū)警示】解答本題容易將正切函數(shù)y=tanx的對稱中心誤認(rèn)為只有(kπ，0)(k∈Z)而導(dǎo)致錯誤.二、填空題(每小題5分，共15分)6.若α∈π2,π，且3cos2α=sin【解析】cos2α=sinπ2-2α=2sinπ4-αcos代入原式，得6sinπ4-αcosπ4因為α∈π2,π，所以cosπ4所以sin2α=cosπ=2cos2π4-α-1=-答案：-177.若tanx=2，則2co【解析】原式=cosx-sinxcosx+sinx=1=(1-2)答案：22-38.如圖所示，有一塊正方形的鋼板ABCD，其中一個角有部分損壞，現(xiàn)要把它截成一塊正方形的鋼板EFGH，其面積是原正方形鋼板面積的三分之二，則應(yīng)按角度x=________來截.【解析】設(shè)正方形鋼板的邊長為a，截后的正方形邊長為b，則a2b2=32，又a=GC+CF=bsinx+bcosx，所以sinx+cosx=62，所以sinx+π因為0<x<π2，π4<x+π4所以x+π4=π3或2π3，x=答案：π12或【誤區(qū)警示】解答本題容易忽視角度x的取值范圍，而導(dǎo)致解三角方程時產(chǎn)生漏解.三、解答題(每小題10分，共20分)9.(2023·秦皇島高一檢測)已知A，B，C三點的坐標(biāo)分別為A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα)，α∈π2,3π2.若AC【解析】AC→=(cosα-3，sinα)，由AC→·所以sinα+cosα=23，2sinα·cosα=-5又2sin=2sinαcosα=-59故所求的值為-5910.(2023·天津高考)已知函數(shù)fx=sin2x-sin2(x-π6(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在區(qū)間-π【解析】(1)由已知，有f(x)=1-cos2x2=1212=34sin2x-14cos2x=12所以f(x)的最小正周期T=2π2=(2)因為f(x)在區(qū)間-π3,-π6上是減函數(shù)，在區(qū)間-πf-π6=-12，fπ4=34.所以，f(x)在區(qū)間-【補償訓(xùn)練】1.(2023·承德高一檢測)已知函數(shù)f(x)=4cosxsin(x+π6(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在區(qū)間-π【解析】(1)因為f(x)=4cosxsinx+=4cosx32=3sin2x+2cos2x-1=3sin2x+cos2x=2sin2x+所以f(x)的最小正周期為π.(2)因為-π6≤x≤π4，所以-π6≤2x+π于是，當(dāng)2x+π6=π2，即x=f(x)取得最大值2；當(dāng)2x+π6=-π6，即x=-2.(2023·成都高一檢測)已知函數(shù)f(x)=cosx·cos(x-π3(1)求f2π(2)求使f(x)<14【解析】(1)f2π3=cos2=-cosπ3·cosπ3=-12(2)f(x)=cosx·cosx=cosx·1=12cos2x+3=14(1+cos2x)+3=12cos2x-πf(x)<14等價于12cos2x-π3即cos2x-于是2kπ+π2<2x-π3<2kπ+解得kπ+5π12<x<kπ+故使f(x)<14xkπ+(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1.(2023·蘭州高一檢測)在斜三角形ABC中，sinA=-2cosB·cosC，且tanB·tanC=1-2，則角A的值為()A.π4 B.π3 C.π2【解析】選A.由題意知，sinA=-2cosB·cosC=sin(B+C)=sinB·cosC+cosB·sinC，在等式-2cosB·cosC=sinB·cosC+cosB·sinC兩邊同除以cosB·cosC得tanB+tanC=-2，又tan(B+C)=tanB+tanC即tanA=1，所以A=π42.已知函數(shù)f(x)=sin2x-23sin2x+3+1，那么f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.kπ-B.kπ+C.2kπ-D.2kπ-【解析】選A.因為f(x)=sin2x+3(1-2sin2x)+1=sin2x+3cos2x+1=2sin2x+由正弦函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+即kπ-5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z)時，函數(shù)y=2sin(2x+π【延伸探究】本題中，若x∈-π【解析】因為x∈-π所以2x+π3∈0所以sin2x+所以f(x)=2sin2x+所以f(x)的值域為[1，3].二、填空題(每小題5分，共10分)3.在△ABC中，sin(C-A)=1，sinB=13【解題指南】首先根據(jù)題目條件求角C-A，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理分析角A和角B的關(guān)系，最后先求sin2A【解析】由C-A=π2所以A=π4-B所以sinA=sinπ4-B所以sin2A=12(1-sinB)=又sinA>0，所以sinA=33答案：34.(2023·太原高一檢測)點P在直徑AB=1的半圓上移動，過點P作圓的切線PT，且PT=1，∠PAB=α，則四邊形ABTP的面積最大時α=________.【解析】如圖，連接PB.因為AB為直徑，所以∠APB=90°.因為∠PAB=α，AB=1，所以PB=sinα，PA=cosα.又PT切圓于P點，則∠TPB=∠PAB=α.所以S四邊形ABTP=S△PAB+S△TPB=12PA·PB+12PT·PB·sinα=12cosα·sinα+1=14sin2α+14(1-cos2=24sin2α-π因為0<α<π2，-π4<2α-π4所以當(dāng)2α-π4=π2，即α=答案：38三、解答題(每小題10分，共20分)5.(2023·衡水高一檢測)設(shè)函數(shù)f(x)=cos2x+π3(1)求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期.(2)設(shè)A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，若cosB=13fC2=-1【解析】(1)f(x)=cos2xcosπ3-sin2xsinπ3=12cos2x-32sin2x+12=12-3所以，當(dāng)2x=-π2+2kπ，k∈Z，即x=-π4+kπ(k∈Z)f(x)取得最大值，f(x)max=1+f(x)的最小正周期T=2π2=故函數(shù)f(x)的最大值為1+(2)由fC2=-14，即12-3解得sinC=32，又C為銳角，所以C=π由cosB=13求得sinB=2因此sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=223×12+=226.如圖所示，一個半圓和長方形組成的鐵皮，長方形的邊AD為半圓的直徑，O為半圓的圓心，AB=1，BC=2，現(xiàn)要將此鐵皮剪出一個等腰三角形PMN，其底邊MN⊥BC.(1)設(shè)∠MOD=30°，求三角形鐵皮PMN的面積.(2)求剪下的鐵皮三角形PMN的面積的最大值.【解析】(1)由題意知OM=12AD=12BC=所以MN=OMsin∠MOD+CD=OMsin∠MOD+AB=1×sin30°+1=32BN=OA+OMcos∠MOD=1+1×cos30°=1+32=2所以S△PMN=12MN·BN=12×32×2+3(2)設(shè)∠MOD=x，則0<x≤π，因為BP=12MN≤1所以點P在線段AB上.MN=OMsinx+CD=sinx+