高中數(shù)學(xué)人教A版2第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用【區(qū)一等獎(jiǎng)】

第一章1.2.1、2(一)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．下列結(jié)論不正確的是()A．若y＝3，則y′＝0 B．若y＝eq\f(1,\r(x))，則y′＝－eq\f(\r(x),2)C．若y＝eq\r(x)，則y′＝eq\f(1,2\r(x)) D．若y＝x，則y′＝1解析：對(duì)于A，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零，故A正確；對(duì)于B，y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))′＝－eq\f(1,2)x－eq\f(3,2)＝－eq\f(1,2\r(x3))，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(1,2)))′＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2\r(x))，故C正確；對(duì)于D，y′＝x′＝1，故D正確．答案：B2．過(guò)曲線(xiàn)y＝eq\r(x)上的點(diǎn)(4,2)的切線(xiàn)方程是()A．x＋4y＋4＝0 B．x－4y－4＝0C．x－4y＋4＝0 D．x＋4y－4＝0解析：∵y′＝(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x))，∴y′|x＝4＝eq\f(1,2\r(4))＝eq\f(1,4)，∴切線(xiàn)的斜率k＝eq\f(1,4)，∴所求的切線(xiàn)方程為y－2＝eq\f(1,4)(x－4)，即x－4y＋4＝0.故選C.答案：C3．已知f(x)＝xn，若f′(－1)＝－4，則n的值為()A．4 B．－4C．5 D．－5解析：f′(x)＝nxn－1，f′(－1)＝n×(－1)n－1＝－4，∴n＝4.答案：A4．曲線(xiàn)y＝ex在點(diǎn)(2，e2)處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積為()A．eq\f(9,4)e2 B．2e2C．e2 D．eq\f(e2,2)解析：y′＝ex，曲線(xiàn)y＝ex在點(diǎn)(2，e2)處的切線(xiàn)的斜率為k＝e2，∴切線(xiàn)方程為y－e2＝e2(x－2)，即e2x－y－e2＝0，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝1，∴S＝eq\f(1,2)×1×e2＝eq\f(e2,2).答案：D二、填空題(每小題5分，共10分)5．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求適合f′(x)＋1＝g′(x)的x值為_(kāi)_________.解析：由導(dǎo)數(shù)的公式知，f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2.因?yàn)閒′(x)＋1＝g′(x)，所以2x＋1＝3x2，即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(1,3).答案：1或－eq\f(1,3)6．設(shè)函數(shù)f(x)＝logax，f′(1)＝－1，則a＝________.解析：∵f′(x)＝eq\f(1,xlna)，∴f′(1)＝eq\f(1,lna)＝－1.∴l(xiāng)na＝－1.∴a＝eq\f(1,e).答案：eq\f(1,e)三、解答題(每小題10分，共20分)7．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝lg5；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x；(3)y＝eq\f(x2,\r(x))；(4)y＝2cos2eq\f(x,2)－1.解析：(1)y′＝(lg5)′＝0.(2)y′＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xlneq\f(1,2).(3)∵y＝eq\f(x2,\r(x))＝x2－eq\f(1,2)＝xeq\f(3,2)，∴y′＝(xeq\f(3,2))′＝eq\f(3,2)xeq\f(1,2).(4)∵y＝2cos2eq\f(x,2)－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.8．已知曲線(xiàn)y＝eq\r(x).求：(1)曲線(xiàn)上與直線(xiàn)y＝2x－4平行的切線(xiàn)方程；(2)求過(guò)點(diǎn)P(0,1)且與曲線(xiàn)相切的切線(xiàn)方程．解析：(1)設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，由y＝eq\r(x)，得y′|x＝x0＝eq\f(1,2\r(x0)).∵切線(xiàn)與y＝2x－4平行，∴eq\f(1,2\r(x0))＝2，∴x0＝eq\f(1,16)，∴y0＝eq\f(1,4).則所求切線(xiàn)方程為y－eq\f(1,4)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,16)))，即16x－8y＋1＝0.(2)∵點(diǎn)P(0,1)不在曲線(xiàn)y＝eq\r(x)上，故需設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為M(t，u)，則切線(xiàn)斜率為eq\f(1,2\r(t)).又∵切線(xiàn)斜率為eq\f(u－1,t)，∴eq\f(1,2\r(t))＝eq\f(u－1,t)＝eq\f(\r(t)－1,t)，∴2t－2eq\r(t)＝t，得t＝4或t＝0(舍去)，∴切點(diǎn)為M(4,2)，斜率為eq\f(1,4)，∴切線(xiàn)方程為y－2＝eq\f(1,4)(x－4)，即x－4y＋4＝0.eq\x(尖子生題庫(kù)) ☆☆☆9．(10分)點(diǎn)P是曲線(xiàn)y＝ex上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線(xiàn)y＝x的最小距離．解析：根據(jù)題意設(shè)平行于直線(xiàn)y＝x的直線(xiàn)與曲線(xiàn)y＝ex相切于點(diǎn)P(x0，y0)，該切點(diǎn)即為與y＝x距