高中數(shù)學(xué)人教A版2第二章推理與證明合情推理與演繹推理 優(yōu)質(zhì)課獎(jiǎng)

課題《歸納推理》的教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版·數(shù)學(xué)選修2-2第二章第一節(jié)）福建省永安一中一、教學(xué)設(shè)計(jì)前思為什么很多命題不要求證明，而代之以直觀感知、操作確認(rèn)？為什么很多內(nèi)容不是直抵目標(biāo)，而是螺旋式上升？這些課堂教學(xué)的困惑，需要我們處理好數(shù)學(xué)的抽象性和學(xué)生的理解力之間的矛盾，呼喚我們?nèi)フJ(rèn)真思考教材的編寫意圖，了解學(xué)生的原有知識(shí)儲(chǔ)備，確定相應(yīng)的教學(xué)方法和教學(xué)策略。筆者根據(jù)《歸納推理》的教學(xué)設(shè)計(jì)與反思，談?wù)勅绾翁鼋滩目唇滩?，在把握教材底蘊(yùn)的基礎(chǔ)上，對(duì)教材進(jìn)行再加工。二、教學(xué)設(shè)計(jì)1內(nèi)容和內(nèi)容解析（1）內(nèi)容：人民教育出版社《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)A版·數(shù)學(xué)選修2-2》第74頁(yè)，歸納推理。（2）內(nèi)容解析：本節(jié)課的內(nèi)容無(wú)論在已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，或是在現(xiàn)實(shí)生活中都存在大量的素材，而且有歷史背景支撐，如歌德巴赫猜想，費(fèi)馬猜想等等。許多推理是學(xué)生熟悉的，如醫(yī)生對(duì)病人病情的診斷，氣象學(xué)家對(duì)天氣的推斷等都與推理有關(guān)。因此，需要精選既能反映合情推理數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，又有助于學(xué)生理解的素材。本節(jié)課的教學(xué)的重點(diǎn)是：從理性上認(rèn)識(shí)歸納推理，即了解歸納推理的概念、了解歸納推理的思維過(guò)程、理解歸納推理的特點(diǎn)和作用。2目標(biāo)和目標(biāo)解析（1）目標(biāo)：結(jié)合已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，了解合情推理的含義，能進(jìn)行歸納推理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用。（2）目標(biāo)解析：本節(jié)課的素材較多，很容易設(shè)計(jì)成習(xí)題講評(píng)課的模式，突顯歸納推理的技巧，沖淡從理性上認(rèn)識(shí)歸納推理的主題。合情推理第一課時(shí)的關(guān)鍵是通過(guò)學(xué)生的積極參與，經(jīng)歷歸納推理概念的形成。讓學(xué)生通過(guò)欣賞一些偉大猜想產(chǎn)生的過(guò)程，體會(huì)并認(rèn)識(shí)如何利用歸納推理去猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)一些新的結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生歸納推理的思維方式。體會(huì)歸納推理在日?；顒?dòng)和科學(xué)發(fā)現(xiàn)的作用，養(yǎng)成認(rèn)真觀察事物，善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題以及探求新知識(shí)的習(xí)慣。3教學(xué)問(wèn)題診斷分析數(shù)學(xué)的抽象性與學(xué)生的理解力是一對(duì)矛盾。雖然本節(jié)課的素材學(xué)生比較熟悉，但理性認(rèn)識(shí)不夠，因此，需要通過(guò)調(diào)動(dòng)學(xué)生有價(jià)值的思維活動(dòng)，突出概念的形成過(guò)程，讓學(xué)生參與知識(shí)的建構(gòu)，對(duì)概念進(jìn)行抽象和概括。本節(jié)課的教學(xué)的難點(diǎn)：從理性上認(rèn)識(shí)歸納推理，對(duì)概念進(jìn)行抽象和概括。4教學(xué)支持條件分析本節(jié)課涉及現(xiàn)實(shí)生活中的大量感性素材，因此必須借助信息技術(shù)手段提前將需要再現(xiàn)的素材準(zhǔn)備好，充分利用有限的課堂教學(xué)資源。提前做好移動(dòng)圓環(huán)教具，設(shè)計(jì)好為本節(jié)課服務(wù)的學(xué)案。5教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)與實(shí)踐引言：今天我們所要探索的知識(shí)不僅在數(shù)學(xué)中的作用無(wú)可替代，在今后的生產(chǎn)和生活中可以說(shuō)是無(wú)處不在。請(qǐng)看狄仁杰在江西彭澤縣斷案的一個(gè)片段。設(shè)計(jì)意圖：從現(xiàn)實(shí)生活中感受推理的含義。創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，走進(jìn)現(xiàn)實(shí)生活，讓學(xué)生產(chǎn)生情感共鳴，激勵(lì)學(xué)生的求知欲望，吸引學(xué)生積極參與知識(shí)的再創(chuàng)造和自主建構(gòu)。問(wèn)題1先看下面的幾個(gè)推理案例，分析它們的異同點(diǎn)。=1\*GB2⑴鐵、銅、鋁等金屬容易導(dǎo)電由此猜想：所有的金屬都容易導(dǎo)電。=2\*GB2⑵吃肥肉、花生、芝麻等高脂肪食品容易發(fā)胖。由此猜想：所有吃高脂肪食品的人都容易發(fā)胖=3\*GB2⑶1，3，5，7，…，由此猜想出n第個(gè)數(shù)是2n-1。=4\*GB2⑷地球上有生命，火星具有一些與地球類似的特征，由此猜想：火星上也有生命.=5\*GB2⑸因?yàn)樗腥硕紩?huì)死，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底也會(huì)死.設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)對(duì)熟悉的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例進(jìn)行辨析，能對(duì)推理的內(nèi)容做適當(dāng)?shù)姆诸?，能初步了解合情推理與演繹推理的特點(diǎn)，著重理解歸納推理的含義和特點(diǎn)?；顒?dòng)方式：學(xué)生先獨(dú)立思考，之后小組交流，從中隨機(jī)選一位學(xué)生發(fā)表看法。預(yù)設(shè)結(jié)果：學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)案例=1\*GB2⑴、=2\*GB2⑵、=3\*GB2⑶是特殊到一般，案例=4\*GB2⑷是從特殊到特殊，案例=5\*GB2⑸是從一般到特殊。實(shí)際情況：學(xué)生1：案例=5\*GB2⑸一定是正確的學(xué)生2：前3個(gè)案例是個(gè)別到整體，案例=4\*GB2⑷是一對(duì)一的，案例=5\*GB2⑸是從一般到個(gè)別。緊接著通過(guò)與教科書(shū)概念的對(duì)比，學(xué)生能正確把握歸納推理的概念及特點(diǎn)。問(wèn)題2歸納推理的模式（即歸納推理的一個(gè)算法）設(shè)計(jì)意圖：注重知識(shí)的前后聯(lián)系，將具體的不同的對(duì)象進(jìn)行抽象、概括，統(tǒng)一用字母表示。培養(yǎng)學(xué)生抽象、概括的能力?；顒?dòng)方式：師生共同建構(gòu)，預(yù)設(shè)結(jié)果：學(xué)生對(duì)題意理解有一定的困難。實(shí)際情況：學(xué)生不理解題意，教師舉例一元二次方程求根公式的本質(zhì)是“符號(hào)化”后，學(xué)生才理解題意，教師提出：鐵表示成事物S1，容易導(dǎo)電即具有性質(zhì)P，之后學(xué)生很快完成相應(yīng)的步驟。鐵容易導(dǎo)電；銅容易導(dǎo)電；鐵容易導(dǎo)電；銅容易導(dǎo)電；鋁容易導(dǎo)電?！F、銅、鋁都是金屬由此猜想：金屬容易導(dǎo)電。事物S2具有性質(zhì)P,事物S3具有性質(zhì)P,……S1、S2、S3都是S類事物的對(duì)象結(jié)論：S類事物具有性質(zhì)P。問(wèn)題3（1）根據(jù)所探索的歸納推理知識(shí)完成練習(xí)1和練習(xí)2。練習(xí)1、請(qǐng)同學(xué)們生活中或數(shù)學(xué)中舉出歸納推理的例子。練習(xí)2、已知不等式，試歸納出一般性的結(jié)論（2）根據(jù)練習(xí)2所得到的結(jié)論思考上述的歸納推理是怎樣進(jìn)行的？(即總結(jié)出歸納推理的步驟)設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)完成練習(xí)1幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注身邊的數(shù)學(xué)問(wèn)題。通過(guò)完成練習(xí)2，鞏固所探究的知識(shí)，加深對(duì)知識(shí)的理解，為后繼知識(shí)的學(xué)習(xí)埋下伏筆?；顒?dòng)方式：學(xué)生先獨(dú)立思考，之后小組討論，接著教師從中選出有代表性（正確的和錯(cuò)誤的）的解答，利用展臺(tái)展示，講評(píng)糾錯(cuò)。預(yù)設(shè)結(jié)果：學(xué)生能夠舉出歸納推理的例子,生活中:如一葉落而知天下秋;瑞雪兆豐年等。數(shù)學(xué)中：2，4，6，8，…，由此猜想出第n個(gè)數(shù)是2n。學(xué)生能夠得出多種一般性結(jié)論：或?qū)W生能通過(guò)發(fā)現(xiàn)一般性結(jié)論的過(guò)程中概括出歸納推理的步驟：實(shí)驗(yàn)、觀察概括、推廣猜測(cè)一般性結(jié)論檢驗(yàn)猜想。實(shí)際情況：學(xué)生1：綠豆中含有淀粉，黃豆中含有淀粉，紅豆中含有淀粉，由此猜想所有豆類都含有淀粉。學(xué)生2：我站在站臺(tái)上發(fā)現(xiàn)：第一輛7路車15分鐘后到；第二輛7路車15分鐘后到；第一三輛7路車15分鐘后到；由此猜想7路車每15分鐘發(fā)車一趟。學(xué)生3：2，4，6，8，…，由此猜想出n第個(gè)數(shù)是2n。學(xué)生4：一般性結(jié)論：學(xué)生4認(rèn)為歸納推理的步驟是：觀察----找規(guī)律---概括一般性結(jié)論。問(wèn)題4偶然發(fā)現(xiàn)3＋7=10，5＋11=16，11＋13=24改寫為:10＝3＋7，16＝5＋11，24＝11＋13由此，你能發(fā)現(xiàn)到什么一般性結(jié)論。設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)總結(jié)出歸納推理的步驟，感受哥德巴赫猜想的形成過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的求知欲。不盲從權(quán)威，只要用心學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)家就在我們當(dāng)中?；顒?dòng)方式：學(xué)生先獨(dú)立思考，完成猜想，教師點(diǎn)評(píng)。預(yù)設(shè)結(jié)果：學(xué)生不一定想到質(zhì)數(shù)之和，或許是奇數(shù)之和，但都是一種猜想實(shí)際情況：學(xué)生1：偶數(shù)=奇數(shù)+奇數(shù)學(xué)生2：偶數(shù)=質(zhì)數(shù)+質(zhì)數(shù)學(xué)生3：偶數(shù)=奇質(zhì)數(shù)+奇質(zhì)數(shù)有學(xué)生說(shuō)這就是哥德巴赫猜想，不難想到。接著教師展示200年來(lái)，數(shù)學(xué)家對(duì)哥德巴赫猜想所研究的成果，極大提高了學(xué)生的探索欲望。問(wèn)題5歸納推理的可靠性如何？設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用批判的角度看問(wèn)題，不盲從權(quán)威。通過(guò)學(xué)生熟悉的例子，感受歸納推理的第二個(gè)特點(diǎn)：具有或然性（即不能作為猜測(cè)的依據(jù)）?；顒?dòng)方式：老師通過(guò)生活中的例子和費(fèi)馬猜想，讓學(xué)生感受歸納推理的特點(diǎn)。預(yù)設(shè)結(jié)果：學(xué)生能夠體會(huì)猜測(cè)的一般性結(jié)論不一定成立。實(shí)際情況：學(xué)生1、吃肥肉、花生不一定就會(huì)發(fā)胖。學(xué)生2、火星上不一定有生命。教師再與學(xué)生一起探討費(fèi)馬猜想，達(dá)到對(duì)知識(shí)的建構(gòu)。問(wèn)題6歸納推理所得到的結(jié)論并不可靠，為什么還要學(xué)習(xí)歸納推理呢？設(shè)計(jì)意圖：預(yù)見(jiàn)并幫助學(xué)生解決心理困惑：即推理所得到的結(jié)論并不可靠，為什么還要學(xué)習(xí)歸納推理呢？通過(guò)學(xué)生熟悉的例子，感受歸納推理的作用活動(dòng)方式：通過(guò)課件展示萬(wàn)有引力定律、元素周期律的發(fā)現(xiàn)感受歸納推理的作用。預(yù)設(shè)結(jié)果：學(xué)生能夠體會(huì)到歸納推理可以發(fā)現(xiàn)新的事實(shí)。實(shí)際情況：學(xué)生1：歸納推理可以發(fā)現(xiàn)新的事實(shí)。問(wèn)題7例1已知數(shù)列的首項(xiàng)，且有，試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。設(shè)計(jì)意圖：學(xué)會(huì)應(yīng)用歸納推理解題，進(jìn)一步理解歸納推理得到的結(jié)論不一定正確?；顒?dòng)方式：學(xué)生先獨(dú)立思考，之后利用展臺(tái)展示交流。預(yù)設(shè)結(jié)果：大多數(shù)學(xué)生能夠用歸納推理得到結(jié)論，個(gè)別學(xué)生會(huì)利用數(shù)列的知識(shí)得到結(jié)論。實(shí)際情況：學(xué)生1、，，，，由此猜想：。學(xué)生2、兩邊倒數(shù)，可以構(gòu)造成等差數(shù)列。教師再次強(qiáng)調(diào)，歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，并闡述歸納推理得到的結(jié)論運(yùn)用的是不完全歸納法，結(jié)論的正確性有待與我們后續(xù)知識(shí)的進(jìn)一步研究（完全歸納法），但它的作用是為我們提供了一個(gè)新的研究方向。問(wèn)題8傳說(shuō)在古老的印度有一座神廟，神廟中有三根針和套在一根針上的64個(gè)圓環(huán).古印度的天神指示他的僧侶們按下列規(guī)則,把圓環(huán)從一根針上全部移到另一根針上，第三根針起“過(guò)渡”的作用.1.每次只能移動(dòng)1個(gè)圓環(huán)；2.較大的圓環(huán)不能放在較小的圓環(huán)上面.如果有一天，僧侶們將這64個(gè)圓環(huán)全部移到另一根針上，那么世界末日就來(lái)臨了.請(qǐng)你試著推測(cè)：把1個(gè)圓環(huán)從1號(hào)針移到3號(hào)針,最少需要移動(dòng)多少次?圓環(huán)個(gè)數(shù)最少需要移動(dòng)次數(shù)n=1n=2n=3n=4…n=64設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生合作意識(shí)，共同探究的能力?；顒?dòng)方式：4個(gè)同學(xué)組成一個(gè)小組，利用圓環(huán)教具完成預(yù)設(shè)結(jié)果：當(dāng)n=4時(shí)學(xué)生會(huì)有不同的結(jié)果，但最少的只有15次。通過(guò)小組間的合作與交流，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)結(jié)論。實(shí)際情況：學(xué)生積極參與，當(dāng)n=4時(shí)得到15次的小組不多。有學(xué)生提出世界末日是不是很快就來(lái)了。教師給出解答見(jiàn)以下內(nèi)容反思2六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)作業(yè)：P83習(xí)題A組1，2，3。到圖書(shū)館借閱《數(shù)學(xué)與猜想第一卷》看1-3章。設(shè)計(jì)意圖：鞏固所學(xué)知識(shí)的同時(shí)體現(xiàn)課堂教學(xué)的延伸。二、教學(xué)實(shí)踐心得《歸納推理》的的教學(xué)價(jià)值的挖掘與思考一、關(guān)注學(xué)生原有的知識(shí)儲(chǔ)備與所教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系。通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)實(shí)踐，筆者體會(huì)到教材簡(jiǎn)單不等于教學(xué)簡(jiǎn)單，要關(guān)注學(xué)生原有的知識(shí)儲(chǔ)備，因?yàn)閷W(xué)生是根據(jù)自己已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)建構(gòu)新的知識(shí)體系。在概念的探究中，筆者選用的是學(xué)生熟悉的素材，如鐵、銅、鋁等金屬容易導(dǎo)電由此猜想：所有的金屬都容易導(dǎo)電。以及課前導(dǎo)入環(huán)節(jié)的狄仁杰斷案也是學(xué)生非常興趣的歷史知識(shí)。二、對(duì)學(xué)生可能存在的困惑要有預(yù)見(jiàn)性。數(shù)學(xué)的抽象性與學(xué)生的理解力是一對(duì)矛盾，當(dāng)學(xué)生的理解力還不能在老師的引導(dǎo)下去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)時(shí)，就要發(fā)揮傳統(tǒng)的教學(xué)方法優(yōu)勢(shì)，啟示學(xué)生進(jìn)行模仿和再創(chuàng)造。例如在探索歸納推理的模式時(shí)，筆者估計(jì)學(xué)生對(duì)“模式”的理解存在困惑，這時(shí)教師通過(guò)例舉一元二次方程的求根公式，引導(dǎo)學(xué)生理解歸納推理的模式就是將推理進(jìn)行“符號(hào)化”。再如學(xué)生舉不出諺語(yǔ)中歸納推理的例子時(shí)，三、要時(shí)刻根據(jù)課堂情況進(jìn)行機(jī)智性調(diào)整。要時(shí)刻關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，關(guān)注學(xué)生的認(rèn)識(shí)過(guò)程，隨時(shí)修改自己的教學(xué)設(shè)計(jì)，調(diào)整教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)要求，改變教學(xué)策略，選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法實(shí)施教學(xué)，例如探索哥德巴赫猜想時(shí)學(xué)生困惑于為什么要對(duì)式子“3＋7=10，5＋11=16，11＋13=24””改寫。教師例舉，學(xué)生通過(guò)練習(xí)領(lǐng)悟到，適當(dāng)?shù)母膶懹兄谡乙?guī)律。再比如通過(guò)圓環(huán)實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)論，學(xué)生充滿困惑，感覺(jué)世界末日不久就來(lái)到，教師通過(guò)演算與學(xué)生分析，假如一位熟練的僧侶每秒可以移動(dòng)一片金屬片，日以繼夜不眠不休地工作，那么大概要花上584,942,417,355年，即約5850億年的時(shí)間，學(xué)生的困惑立刻消除。四、要把握教材底蘊(yùn)，對(duì)教材進(jìn)行再加工。將課本的引例“歌德巴赫”猜想做了兩個(gè)變化。（1）把數(shù)據(jù)3＋7=10，7＋13=20，11＋19=30，改為3＋7=10，5＋11=16，11＋13=24。原數(shù)據(jù)容易把學(xué)生引到整十整百數(shù)中，甚至探索個(gè)位為數(shù)之間的關(guān)系，浪費(fèi)了寶貴的課堂資源—時(shí)間。因?yàn)楦璧掳秃帐菙?shù)論的專家，他很自然的會(huì)從素?cái)?shù)的角度中去考慮問(wèn)題。（2）把“歌德巴赫”猜想引例的位置放到歸納推理思維過(guò)程的探索中，這樣既可對(duì)之前探索的知識(shí)作簡(jiǎn)單的應(yīng)用，又可讓學(xué)生體會(huì)成功的喜悅，感覺(jué)數(shù)學(xué)家就在我們身邊，進(jìn)而為滲透數(shù)學(xué)文化作了鋪墊。將課本河內(nèi)塔游戲做了三個(gè)變化。（1）制作圓環(huán)教具，讓學(xué)生小組探究。這樣既降低了教學(xué)難度，又能提高學(xué)生的積極性。做到“寓教育于樂(lè)”（2）題目中增加一個(gè)表格，學(xué)生在數(shù)學(xué)課中就象做物理實(shí)驗(yàn)報(bào)告一樣。（3）放置第一課時(shí)。這樣滲透化歸思想，又為下節(jié)課的類比推理埋下伏筆。五、遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，注重設(shè)計(jì)與生成的結(jié)合。本節(jié)課內(nèi)容層次分明，通過(guò)“問(wèn)題鏈”引發(fā)學(xué)生探究。把握概念的內(nèi)涵和外延，處理好學(xué)生的認(rèn)知沖突，既關(guān)注知識(shí)又關(guān)注學(xué)生。合理利用寶貴的課堂資源（指時(shí)間）讓學(xué)生獨(dú)立思考，合作探究。在活動(dòng)中使學(xué)生從接受知識(shí)到理解知識(shí)。筆者認(rèn)為，教學(xué)設(shè)計(jì)的作用正如牧羊人一般，牧羊人只要將羊領(lǐng)到草地上，接著讓羊自己跑，它們知道哪兒草肥，哪兒草嫰，自己會(huì)吃飽、吃足。關(guān)鍵是要把它們帶到草地上，要是將它們帶到沙漠中，它們就會(huì)餓死、干死。三、專家點(diǎn)評(píng)（點(diǎn)評(píng)教師：唐為民省學(xué)科帶頭人）一、聯(lián)系實(shí)際，滲透文化。首先，創(chuàng)設(shè)導(dǎo)入情境，走進(jìn)現(xiàn)實(shí)生活。一開(kāi)始播放央視熱播的《神探狄仁杰》激發(fā)學(xué)生的求知欲。其次，聯(lián)系生活實(shí)際，搜索現(xiàn)實(shí)素材。展示5個(gè)推理案例，學(xué)生從非常熟悉的推理案例中對(duì)合情推理和演繹推理有一個(gè)整體的把握。再次，追溯歷史背景，突出人文氣息?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》提出：“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”是高中數(shù)學(xué)新課程的一個(gè)基本理