浙江省初中名校發(fā)展共同體2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2023學(xué)年第一學(xué)期浙江省初中名校發(fā)展共同體八年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)一、選擇題1.下列圖形中，屬于軸對(duì)稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要查了軸對(duì)稱圖形．根據(jù)“找軸對(duì)稱圖形是如果沿某一條直線對(duì)折，左右兩邊能完全重合，則這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形”，即可求解．詳解】解：A、屬于軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；B、不屬于軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、不屬于軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、不屬于軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A2.若，則下列結(jié)論成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，根據(jù)不等式的性質(zhì)依次進(jìn)行判斷即可得，掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、，則，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；B、，則，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；C、，則，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；D、，則，選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意；故選：D．3.在中，作BC邊上的高（圖中虛線），下列作法正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了三角形的高，經(jīng)過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)邊所在的直線的垂線段，叫做三角形的高，根據(jù)概念即可得到答案．【詳解】解：A．是邊上的高，故A選項(xiàng)不符合題意；B．作的不是的高，故B選項(xiàng)不符合題意；C．是邊上的高，故C選項(xiàng)不符合題意；D．是邊上高，故D選項(xiàng)符合題意；故選：D．4.下列可以作為命題“若，則”是假命題的反例是（）A.， B.， C.， D.，【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了利用舉反例說(shuō)明一個(gè)命題錯(cuò)誤，要證明一個(gè)例題不成立，可以通過(guò)舉反例：即符合命題條件，但不符合命題結(jié)論．【詳解】解：A．當(dāng)，時(shí)，，而，不能說(shuō)明，但不成立，故A不符合題意；B．當(dāng)，，，而，不能說(shuō)明，但不成立，故B不符合題意；C．當(dāng)，，，而，能夠說(shuō)明，但不成立，故C符合題意；D．，，，而，不能說(shuō)明，但不成立，故D不符合題意．故選：C．5.若等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)為2和5，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為（）A.12 B.9 C.12或9 D.7或15【答案】A【解析】【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行分類討論，然后利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】解：當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?時(shí)，，不能構(gòu)成三角形；當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?時(shí)，，可以構(gòu)成三角形，這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為，故選：A．6.如圖，在中，在邊上取一點(diǎn)P，連結(jié)，在邊上取一點(diǎn)Q，連結(jié)．若，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了全等三角形性質(zhì)，等邊對(duì)等角，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，，，根據(jù)等邊對(duì)等角得，即可得；掌握全等三角形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，，，∴，∴，故選：B．7.在中，它的三邊分別為a，b，c，下列條件：①，②，③，④．其中，能確定是直角三角形的條件為（）A.②③④ B.①③④ C.①②④ D.①②③【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理逆定理，三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，勾股定理逆定理，逐項(xiàng)判斷即可求解．熟練掌握勾股定理逆定理，三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．．【詳解】解：，且，，即，是直角三角形，故①正確；，即，且，，即，是直角三角形，故②正確；，，，，，不是直角三角形，故③正確；，設(shè)，，，，，，即，是直角三角形，故④正確；則能確定是直角三角形的條件為：①②④，故選C．8.如圖，已知鈍角三角形，按以下步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡．步驟：以圓心，為半徑畫?、伲徊襟E：以為圓心，為半徑畫弧②，交?、儆邳c(diǎn)；步驟：連結(jié)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．下列敘述正確的是（）A.平分 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)以及判定定理；連接，先證明，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可得出【詳解】解：連接，由題意得，∴是等腰三角形在和中∴，∴∴是的角平分線，又∵∴故選：D．9.若關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解共有四個(gè)，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出不等式組的解集，再由不等式組的整數(shù)解共有四個(gè)，可得，即可求解．熟練掌握一元一次不等式組的解法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，解不等式①得：，∴不等式組的解集為，∵不等式組的整數(shù)解共有四個(gè)，∴，解得：．故選：A10.如圖1，以直角三角形的各邊分別向外作正方形，再把較小的兩個(gè)正方形按圖2的方式放置在大正方形內(nèi)，記四邊形面積為，四邊形的面積為，四邊形的面積為，四邊形的面積為．若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了勾股定理，設(shè)大正方形的面積為c，中正方形的面積為b，小正方形的面積為a，由圖得，，再利用勾股定理得，進(jìn)而可求解，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)大正方形的面積為c，中正方形的面積為b，小正方形的面積為a，如圖2，，，，，，，知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出，故選B二、填空題11.命題“直角三角形兩銳角互余”的逆命題是：_______．【答案】?jī)蓚€(gè)銳角互余的三角形是直角三角形【解析】【分析】找出原命題的條件和結(jié)論，再把原命題的條件變?yōu)槟婷}的結(jié)論，把原命題的結(jié)論變?yōu)槟婷}的條件即可求解．【詳解】解：命題“直角三角形兩銳角互余”的逆命題是：兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形，故答案為：兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了寫出原命題的逆命題，熟練掌握命題的條件和結(jié)論是解題的關(guān)鍵．12.如圖，B、E、C、F四點(diǎn)在同一直線上，且，，添加一個(gè)條件________，使（寫出一個(gè)即可）．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)全等三角形的判定添加合適的條件即可，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：添加（答案不唯一），證明如下：∵，∴，即，∵，，∴，故答案為：（答案不唯一）13.已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，5和，則整數(shù)x的最大值為________．【答案】4【解析】【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系．根據(jù)“三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，即，解得：，∴整數(shù)x的最大值為4故答案為：414.如圖，中，，，．有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開始沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A后停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為________秒時(shí)，是等腰三角形．【答案】4或【解析】【分析】本題考查的是勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，在解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類討論，不要漏解．當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，沒(méi)有可能；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，分兩種情況進(jìn)行討論．【詳解】解：中，，，，；當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，不存在滿足條件的等腰三角形；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，如圖所示，∵∴，，，，，綜上所述，或秒時(shí)，是等腰三角形．15.如圖，在中，，，，平分，則的面積為________．【答案】【解析】【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理的逆定理．過(guò)作于，證明為直角三角形，再利用角平分線的性質(zhì)定理得出，然后利用等面積法求出，即可求得的面積．【詳解】解：如圖，作于．∵，，，∴，∴，即，∵平分，，，∴，設(shè)，∵，，即，∴，∴，．故答案為．16.如圖，為等腰直角三角形，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，將沿方向平移得到，連接，，則的周長(zhǎng)的最小值為________．【答案】【解析】【分析】作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、、，由平移的性質(zhì)可得：，，證明得到，由對(duì)稱的性質(zhì)可得：，，推出，，則，當(dāng)、、在同一直線上時(shí)，的值最小，為，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得出，由勾股定理計(jì)算出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、、，，由平移的性質(zhì)可得：，，，，，，，由對(duì)稱的性質(zhì)可得：，，，，，當(dāng)、、在同一直線上時(shí)，的值最小，為，為等腰直角三角形，，，，在中，，，，，的最小值為，的周長(zhǎng)的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短、平移的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造三角形全等是解此題的關(guān)鍵．三、解答題17.解下列不等式：，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．【答案】【解析】【分析】不等式兩邊同時(shí)乘以6，然后去括號(hào)、移項(xiàng)合并，即可得出不等式解集.按照不等式解集的表示方法在數(shù)軸上表示即可.【詳解】?jī)蛇呁瑫r(shí)乘以6得：去括號(hào)得：3+3x≤2+4x+6移項(xiàng)得：-x≤5解得：x≥-5將解表示在數(shù)軸上為：【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的解法及解集的表示方法，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.18.如圖，與相交于點(diǎn)O，，．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，，，，，．【詳解】證明：在和中，∴，∴，∴．19.如圖，在的方格紙中，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，僅用無(wú)刻度的直尺，按要求作圖．（1）在圖1中，畫出所有與全等（不包含）的；（2）在圖2中，過(guò)頂點(diǎn)A畫一條直線平分的面積（不寫作法，保留作圖痕跡）．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題考查了全等的性質(zhì)，中線的性質(zhì)．熟練掌握全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，中線等分三角形的面積是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等作圖，如圖1；（2）如圖2，點(diǎn)向右1個(gè)格點(diǎn)為，點(diǎn)向左1個(gè)格點(diǎn)為，連接，交于，則為中點(diǎn)，連接，為中邊上的中線，則平分的面積，即為所求．【小問(wèn)1詳解】解：如圖1，，，即為所求；【小問(wèn)2詳解】解：如圖2，直線即為所求；20.對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，，探究與的大小關(guān)系：（1）嘗試：(用“”，“”或“”填空)①________；②________；③________；④________；…（2）歸納：對(duì)于任意實(shí)數(shù)和，與有怎樣的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）①；②；③；④（2），理由見解析【解析】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，完全平方公式的應(yīng)用；（1）根據(jù)有理數(shù)混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，然后比較大小，即可求解．（2）根據(jù)完全平方公式即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：①；；∴②，；∴；③，∴；④，∴故答案為：①；②；③；④；【小問(wèn)2詳解】解：，理由如下∵，∴21.如圖，在線段的同側(cè)作和，和相交于點(diǎn)O，M、N分別是邊、的中點(diǎn)，連結(jié)PQ，，，．（1）判斷的形狀，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）為直角三角形，理由見解析（2）5【解析】【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理．（1）連結(jié)，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可證，再由等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明即可；（2）先求出和的長(zhǎng)，再利用勾股定理求解即可．【小問(wèn)1詳解】為直角三角形，理由如下：如圖，連結(jié)，∵，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，∴，，∴，又∵N為的中點(diǎn)，∴，∴為直角三角形；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，∵，∴，又∵N為的中點(diǎn)，且，∴，∵，∴，∴，又∵，∴．22.污水治理，保護(hù)環(huán)境，某市治污公司決定購(gòu)買A，B兩種型號(hào)污水處理設(shè)備共12臺(tái)，已知A，B兩種型號(hào)的設(shè)備，每臺(tái)的價(jià)格，月處理污水量如表：經(jīng)調(diào)查：購(gòu)買一臺(tái)A型設(shè)備比購(gòu)買一臺(tái)B型設(shè)備多3萬(wàn)元，購(gòu)買1臺(tái)A型設(shè)備比購(gòu)買3臺(tái)B型設(shè)備少3萬(wàn)元．A型B型價(jià)格（萬(wàn)元/臺(tái)）ab處理污水量（噸/月）220180（1）求a，b的值；（2）經(jīng)預(yù)算：市治污公司購(gòu)買污水處理設(shè)備的資金不超過(guò)50萬(wàn)元，你認(rèn)為該公司有哪幾種購(gòu)買方案；（3）在（2）問(wèn)的條件下，若每月要求處理的污水量不低于2260噸，為了節(jié)約資金，請(qǐng)你為治污公司設(shè)計(jì)一種最省錢的購(gòu)買方案．【答案】（1）（2）有四種購(gòu)買方案：①A型設(shè)備1臺(tái)，B型設(shè)備11臺(tái)；②A型設(shè)備2臺(tái)，B型設(shè)備10臺(tái)；③A型設(shè)備3臺(tái)，B型設(shè)備9臺(tái)．④A型設(shè)備4臺(tái)，B型設(shè)備8臺(tái)（3）選購(gòu)A型設(shè)備3臺(tái)，B型設(shè)備9臺(tái)【解析】【分析】本題考查二元一次方程組和一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意正確列出方程和不等式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)價(jià)格關(guān)系列關(guān)于a，b的二元一次方程組，解方程組即可；（2）設(shè)購(gòu)買污水處理設(shè)備A型設(shè)備x臺(tái)，B型設(shè)備臺(tái)，根據(jù)“資金不超過(guò)50萬(wàn)元”列不等式，求出不等式的正整數(shù)解即可；（3）根據(jù)“每月要求處理的污水量不低于2260噸”列不等式，結(jié)合（2）中結(jié)論，求出x的正整數(shù)解，從中選擇最省錢的方案即可．【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)購(gòu)買污水處理設(shè)備A型設(shè)備x臺(tái)，B型設(shè)備臺(tái)，根據(jù)題意得，，∴，∵x取正整數(shù)，∴，2，3，4，∴，10，9，8，∴有四種購(gòu)買方案：①A型設(shè)備1臺(tái)，B型設(shè)備11臺(tái)；②A型設(shè)備2臺(tái)，B型設(shè)備10臺(tái)；③A型設(shè)備3臺(tái)，B型設(shè)備9臺(tái)；④A型設(shè)備4臺(tái)，B型設(shè)備8臺(tái)；【小問(wèn)3詳解】解：由題意：，∴，又∵，∴，∵x取正整數(shù)，∴x為3，4．當(dāng)時(shí)，購(gòu)買資金為（萬(wàn)元），當(dāng)時(shí)，購(gòu)買資金為（萬(wàn)元），，∴為了節(jié)約資金，應(yīng)選購(gòu)A型設(shè)備3臺(tái)，B型設(shè)備9臺(tái)．23.如圖①，在中，沿的平分線折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿的平分線折疊，剪掉重復(fù)部分……將余下部分沿的平分線折疊，點(diǎn)與點(diǎn)C重合，無(wú)論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，則稱是的好玩角．小馬展示了確定是的好玩角的兩種情形．情形一：如圖②，沿等腰三角形頂角的平分線折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合；情形二：如圖③，沿的平分線折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿的平分線折疊，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)C重合．探究發(fā)現(xiàn)：（1）在中，，，經(jīng)過(guò)兩次折疊，是的好玩角，求的度數(shù)．（2）小馬經(jīng)過(guò)三次折疊發(fā)現(xiàn)了是的好玩角，請(qǐng)?zhí)骄颗c（不妨設(shè)）之間的等量關(guān)系為________．根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過(guò)n次折疊是的好玩角，則與（不妨設(shè)）之間的等量關(guān)系為________．應(yīng)用提升：（3）小馬找到一個(gè)三角形，三個(gè)角分別為，，，發(fā)現(xiàn)和的兩個(gè)角都是此三角形的好玩角．請(qǐng)你完成，如果一個(gè)三角形的最小角是，試求出三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)，使該三角形的三個(gè)角均是此三角形的好玩角．【答案】（1）（2）；（3）和或和【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)好玩角的定義可得，再由三角形外角的性質(zhì)，可得，即可求解；（2）根據(jù)好玩角的定義以及三角形外角的性質(zhì)，即可求解；（3）由題意可設(shè)另外兩個(gè)的度數(shù)分別為和，其中m，n為正整數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：如圖③，設(shè)，∵經(jīng)過(guò)兩次折疊，是的好玩角，∴，又∵是的外角，∴，由題意，又∵，∴，∴，∴；【小問(wèn)2詳解】解：如圖，∵經(jīng)過(guò)三次折疊是的好玩角，∴第三次折疊的，∵，，∴，由此可猜想經(jīng)過(guò)n次折疊是的好玩角，則；故答案為：；；【小問(wèn)3詳解】解：由題意可設(shè)另外兩個(gè)的度數(shù)分別為和，其中m，n為正整數(shù)，根據(jù)題意：，∴，∴m，n均為正整數(shù)，∴有兩種情況：①，，此時(shí)三角形的另外兩個(gè)角的度數(shù)分別為：和；②，，此時(shí)三角形的另外兩個(gè)角的度數(shù)分別為：和；綜上所述：三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)和或和．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問(wèn)題的綜合題，涉及