高中數(shù)學(xué)蘇教版1第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)16_第1頁(yè)
高中數(shù)學(xué)蘇教版1第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)16_第2頁(yè)
高中數(shù)學(xué)蘇教版1第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)16_第3頁(yè)
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學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(十六)函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)(建議用時(shí):45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、填空題1.設(shè)f(x)=lna2x(a>0且a≠1),則f′(1)=________.【解析】∵f(x)=lna2x=2xlna,∴f′(x)=(2xlna)′=(2x)′lna+2x(lna)′=2lna,故f′(1)=2lna.【答案】2lna2.函數(shù)y=(2+x3)2的導(dǎo)數(shù)為_(kāi)_______.【導(dǎo)學(xué)號(hào):24830077】【解析】∵y=(2+x3)2=4+4x3+x6,∴y′=6x5+12x2.【答案】6x5+12x23.函數(shù)y=eq\f(x,ex)的導(dǎo)數(shù)是________.【解析】y′=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,ex)))′=eq\f(x′ex-x·ex′,ex2)=eq\f(1-x,ex).【答案】eq\f(1-x,ex)4.設(shè)f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,則x0的值為_(kāi)_______.【解析】f′(x)=lnx+x·eq\f(1,x)=lnx+1,因?yàn)閒′(x0)=2,所以lnx0+1=2,lnx0=1,x0=e.【答案】e5.函數(shù)f(x)=(x+1)2(x-1)在x=1處的導(dǎo)數(shù)等于________.【解析】f(x)=(x+1)2(x-1)=x3+x2-x-1,f′(x)=3x2+2x-1,f′(1)=3+2-1=4.【答案】46.已知f(x)=x2+2xf′(1),則f′(0)的值為_(kāi)_______.【解析】∵f′(x)=2x+2f′(1),∴f′(1)=2+2f′(1),即f′(1)=-2,∴f′(0)=2f′(1)=-4.【答案】-47.若曲線y=e-x上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x+y+1=0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________.【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),y′=-e-x.又切線平行于直線2x+y+1=0,所以-e-x0=-2,可得x0=-ln2,此時(shí)y0=2,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-ln2,2).【答案】(-ln2,2)8.設(shè)f(x)=ax2-bsinx,且f′(0)=1,f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))=eq\f(1,2),則a=________,b=________.【解析】∵f′(x)=2ax-bcosx,f′(0)=-b=1得b=-1,f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))=eq\f(2,3)πa+eq\f(1,2)=eq\f(1,2),得a=0.【答案】0-1二、解答題9.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=ex·lnx;(2)y=xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2+\f(1,x)+\f(1,x3))).(3)f(x)=eq\f(ex,1+ax2).【解】(1)y′=(ex·lnx)′=exlnx+ex·eq\f(1,x)=exeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx+\f(1,x))).(2)∵y=x3+1+eq\f(1,x2),∴y′=3x2-eq\f(2,x3).(3)f′(x)=ex·eq\f(1+ax2-2ax,1+ax22)10.已知函數(shù)f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲線f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程;(2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,-2)的曲線f(x)的切線方程.【解】(1)∵f′(x)=3x2-8x+5,∴f′(2)=1,又f(2)=-2,∴曲線在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y+2=x-2,即x-y-4=0.(2)設(shè)曲線與經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,-2)的切線相切于點(diǎn)P(x0,xeq\o\al(3,0)-4xeq\o\al(2,0)+5x0-4),∵f′(x0)=3xeq\o\al(2,0)-8x0+5,∴切線方程為y-(-2)=(3xeq\o\al(2,0)-8x0+5)(x-2),又切線過(guò)點(diǎn)P(x0,xeq\o\al(3,0)-4xeq\o\al(2,0)+5x0-4),∴xeq\o\al(3,0)-4xeq\o\al(2,0)+5x0-2=(3xeq\o\al(2,0)-8x0+5)(x0-2),整理得(x0-2)2(x0-2)=0,解得x0=2或1,∴經(jīng)過(guò)A(2,-2)的曲線f(x)的切線方程為x-y-4=0,或y+2=0.[能力提升]1.一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng),由始點(diǎn)起經(jīng)過(guò)ts后的距離為s=eq\f(1,4)t4-4t3+16t2,則速度為零的時(shí)刻是________.【導(dǎo)學(xué)號(hào):24830078】【解析】v=s′=t3-12t2+32t.令v=0,則t=0,4,8.【答案】0s,4s,8s2.已知點(diǎn)P在曲線y=eq\f(4,ex+1)上,α為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角,則α的取值范圍是________.【解析】y′=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,ex+1)))′=eq\f(-4ex,ex+12)=eq\f(-4,ex+\f(1,ex)+2),-1≤eq\f(-4,ex+\f(1,ex)+2)<0,即-1≤tanα<0,由正切函數(shù)圖象得α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4),π)).【答案】eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4),π))3.設(shè)f(x)=(ax+b)sinx+(cx+d)cosx,若已知f′(x)=xcosx,則f(x)=________.【解析】∵f′(x)=[(ax+b)sinx]′+[(cx+d)cosx]′=(ax+b)′sinx+(ax+b)(sinx)′+(cx+d)′cosx+(cx+d)(cosx)′=asinx+(ax+b)cosx+ccosx-(cx+d)sinx=(a-d-cx)sinx+(ax+b+c)cosx.為使f′(x)=xcosx,應(yīng)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a-d=0,,c=0,,a=1,,b+c=0,))解方程組,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=1,,b=0,,c=0,,d=1.))從而可知,f(x)=xsinx+cosx.【答案】xsinx+cosx4.已知函數(shù)f(x)=eq\f(1,3)x3-2x2+3x(x∈R)的圖象為曲線C.(1)求過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍;(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線,求其中一條切線與曲線C的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.【解】(1)由題意得f′(x)=x2-4x+3,則f′(x)=(x-2)2-1≥-1,即過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍是[-1,+∞).(2)設(shè)曲線C的其中一條切線的斜

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