高中數(shù)學(xué)人教A版第二章點直線平面之間的位置關(guān)系第2章5

平面與平面垂直的判定【課時目標(biāo)】1．掌握二面角的概念，二面角的平面角的概念，會求簡單的二面角的大?。?．掌握兩個平面互相垂直的概念，并能利用判定定理判定兩個平面垂直．1．二面角：從一條直線出發(fā)的________________所組成的圖形叫做二面角．________________叫做二面角的棱．________________________叫做二面角的面．2．二面角的平面角如圖：在二面角α－l－β的棱l上任取一點O，以點O為________，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的________叫做二面角的平面角．3．平面與平面的垂直(1)定義：如果兩個平面相交，且它們所成的二面角是________________，就說這兩個平面互相垂直．(2)面面垂直的判定定理文字語言：一個平面過另一個平面的________，則這兩個平面垂直．符號表示：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥β,))?α⊥β．一、選擇題1．下列命題：①兩個相交平面組成的圖形叫做二面角；②異面直線a、b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a、b組成的角與這個二面角的平面角相等或互補；③二面角的平面角是從棱上一點出發(fā)，分別在兩個面內(nèi)作射線所成角的最小角；④二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關(guān)系．其中正確的是()A．①③B．②④C．③④D．①②2．下列命題中正確的是()A．平面α和β分別過兩條互相垂直的直線，則α⊥βB．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)兩條平行線，則α⊥βC．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)兩條相交直線，則α⊥βD．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)無數(shù)條直線，則α⊥β3．設(shè)有直線M、n和平面α、β，則下列結(jié)論中正確的是()①若M∥n，n⊥β，M?α，則α⊥β；②若M⊥n，α∩β＝M，n?α，則α⊥β；③若M⊥α，n⊥β，M⊥n，則α⊥β．A．①②B．①③C．②③D．①②③4．過兩點與一個已知平面垂直的平面()A．有且只有一個B．有無數(shù)個C．有且只有一個或無數(shù)個D．可能不存在5．在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿對角線AC折起，使折起后BD＝eq\f(\r(3),2)，則二面角B－AC－D的余弦值為()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2\r(2),3)D．eq\f(\r(3),2)6．在正四面體P－ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，下面四個結(jié)論中不成立的是()A．BC∥面PDFB．DF⊥面PAEC．面PDF⊥面ABCD．面PAE⊥面ABC二、填空題7．過正方形ABCD的頂點A作線段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，則平面ABP與平面CDP所成的二面角的度數(shù)是________．8．如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，圖中互相垂直的平面有________對．9．已知α、β是兩個不同的平面，M、n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷：①M⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④M⊥α．以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題：________________．三、解答題10．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分別為CD、DA和對角線AC的中點．求證：平面BEF⊥平面BGD．11．如圖所示，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝eq\r(3)．(1)證明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大?。芰μ嵘?2．如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分別是A1B、A1C的中點，點D在B1C1上，A1D⊥求證：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C113．如圖，在三棱錐P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，點D、E分別在棱PB、PC上，且DE∥BC．(1)求證：BC⊥平面PAC．(2)是否存在點E使得二面角A—DE—P為直二面角？并說明理由．1．證明兩個平面垂直的主要途徑(1)利用面面垂直的定義，即如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直，就稱這兩個平面互相垂直．(2)面面垂直的判定定理，即如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．2．利用面面垂直的判定定理證明面面垂直時的一般方法：先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若圖中存在這樣的直線，則可通過線面垂直來證明面面垂直；若圖中不存在這樣的直線，則可通過作輔助線來解決，而作輔助線則應(yīng)有理論依據(jù)并有利于證明，不能隨意添加．3．證明兩個平面垂直，通常是通過證明線線垂直→線面垂直→面面垂直來實現(xiàn)的，因此，在關(guān)于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化．每一垂直的判定都是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直，最終達(dá)到目的的．2．3．2平面與平面垂直的判定答案知識梳理1．兩個半平面這條直線這兩個半平面2．垂足∠AOB3．(1)直二面角(2)垂線a?α作業(yè)設(shè)計1．B[①不符合二面角定義，③從運動的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．故選B．]2．C3．B[②錯，當(dāng)兩平面不垂直時，在一個平面內(nèi)可以找到無數(shù)條直線與兩個平面的交線垂直．]4．C[當(dāng)兩點連線與平面垂直時，有無數(shù)個平面與已知平面垂直，當(dāng)兩點連線與平面不垂直時，有且只有一個平面與已知平面垂直．]5．B[如圖所示，由二面角的定義知∠BOD即為二面角的平面角．∵DO＝OB＝BD＝eq\f(\r(3),2)，∴∠BOD＝60°．]6．C[如圖所示，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF．∴A正確．由BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE．∴DF⊥平面PAE．∴B正確．∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．∴D正確．]7．45°解析可將圖形補成以AB、AP為棱的正方體，不難求出二面角的大小為45°．8．5解析由PA⊥面ABCD知面PAD⊥面ABCD，面PAB⊥面ABCD，又PA⊥AD，PA⊥AB且AD⊥AB，∴∠DAB為二面角D—PA—B的平面角，∴面DPA⊥面PAB．又BC⊥面PAB，∴面PBC⊥面PAB，同理DC⊥面PDA，∴面PDC⊥面PDA．9．①③④?②(或②③④?①)10．證明∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中點，∴BG⊥AC，DG⊥AC，∴AC⊥平面BGD．又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．∵EF?平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．11．(1)證明如圖所示，連接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等邊三角形．因為E是CD的中點，所以BE⊥CD．又AB∥CD，所以BE⊥AB．又因為PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB．又BE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．(2)解由(1)知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，所以PB⊥BE．又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝eq\f(PA,AB)＝eq\r(3)，則∠PBA＝60°．故二面角A—BE—P的大小是60°．12．證明(1)由E、F分別是A1B、A1C的中點知EF∥BC因為EF?平面ABC．BC?平面ABC．所以EF∥平面ABC．(2)由三棱柱ABC—A1B1C1為直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C又A1D?平面A1B1C1，故CC1⊥A1D又因為A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面13．(1)證明∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC．又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥