高中數(shù)學(xué)人教A版第三章不等式基本不等式

3．4基本不等式：（第1課時(shí)）一．【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、知識(shí)與技能1.探索并了解基本不等式的證明過(guò)程；2.了解基本不等式的代數(shù)及幾何背景；3.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（小）值問(wèn)題。2、過(guò)程與方法通過(guò)實(shí)例探究抽象基本不等式，體會(huì)特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)對(duì)基本不等式成立條件的分析，培養(yǎng)分析問(wèn)題的能力及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度。二．【重點(diǎn)難點(diǎn)】1、重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并掌握基本不等式的證明過(guò)程；2、難點(diǎn)：應(yīng)用基本不等式求最值三．【學(xué)習(xí)新知】基本不等式的幾何背景：探究：如圖是在北京召開的第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客?！竞献魈骄俊浚?）問(wèn)題1：這會(huì)標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？問(wèn)題2:我們把“風(fēng)車”造型抽象成圖在正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形.設(shè)直角三角形的長(zhǎng)為、，那么正方形的邊長(zhǎng)為多少？面積S為多少呢？問(wèn)題3：那4個(gè)直角三角形的面積和S’呢？問(wèn)題4：根據(jù)觀察4個(gè)直角三角形的面積和正方形的面積，我們可得容易得到一個(gè)不等式（）？什么時(shí)候這兩部分面積相等呢？結(jié)論：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)、，我們有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。問(wèn)題5：你能給出它的證明嗎？▲注意強(qiáng)調(diào)（1）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),(2)特別地,如果,也可寫成,引導(dǎo)學(xué)生利用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)。(板書,請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)板演):要證:①即證②要證②,只要證③要證③,只要證(-)④顯然,④是成立的,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),④的等號(hào)成立(3)觀察右圖,得到不等式①的幾何解釋探究：課本中的“探究”在右圖中，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，AC=a,BC=b。過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？通常我們把叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，把叫做正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)。所以基本不等式的幾何解釋為。另外，如果把看作是正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)，看作是正數(shù)a、b的等比中項(xiàng)，那么該定理還可以表述為：。四．【典例分析】例1：(1)用籬笆圍成一個(gè)面積為100平方米的矩形菜園,問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？(2)用一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形菜園的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？小結(jié)： 強(qiáng)調(diào)：應(yīng)用基本不等式求最值的條件：變式：如圖，用一段長(zhǎng)為24m的籬笆圍一個(gè)一邊靠墻的矩形花園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，花園的面積最大，最大面積是多少？五．【反思小結(jié)】知識(shí)點(diǎn)：思想方法：六．【當(dāng)堂檢測(cè)】1、已知正數(shù)a、b滿足，則的最小值是（）A、10B、25C、5D、2、已知，則的最大值是（）A、100B、50C、20D、103、下面說(shuō)法正確的是（）.（A）當(dāng)時(shí)，（B）當(dāng)時(shí)，（C）當(dāng)時(shí)，（D）當(dāng)時(shí)，4、已知x＞0，則x＋eq\f(4,x)＋3的最小值為（）.（A）4（B）7（C）8（D