高中數(shù)學蘇教版1第3章導數(shù)及其應(yīng)用3．1導數(shù)的概念學業(yè)分層測評14

學業(yè)分層測評(十四)瞬時變化率—導數(shù)(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、填空題1.若f′(x0)＝1，則當k→0時，eq\f(fx0－k－fx0,2k)趨于常數(shù)________.【解析】由題意，當k→0時，eq\f(fx0－k－fx0,－k)→1，所以eq\f(fx0－k－fx0,2k)＝－eq\f(1,2)·eq\f(fx0－k－fx0,－k)→－eq\f(1,2).【答案】－eq\f(1,2)2.已知函數(shù)y＝f(x)在點(2,1)處的切線與直線x－y＋2＝0平行，則f′(2)等于________.【導學號：24830068】【解析】由題意知k＝1，∴f′(2)等于1.【答案】13.函數(shù)y＝3x＋2在x＝－1處的導數(shù)為________.【解析】eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(3－1＋Δx＋2－3×－1－2,Δx)＝3.當Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)→3.【答案】34.函數(shù)y＝eq\f(4,x2)在x＝x0處的導數(shù)為________.【解析】∵Δy＝eq\f(4,x0＋Δx2)－eq\f(4,x\o\al(2,0))＝－eq\f(4Δx2x0＋Δx,x\o\al(2,0)x0＋Δx2)，∴eq\f(Δy,Δx)＝－4×eq\f(2x0＋Δx,x\o\al(2,0)x0＋Δx2)，當Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)→－eq\f(8,x\o\al(3,0))，即函數(shù)y＝eq\f(4,x2)在x＝x0處的導數(shù)為－eq\f(8,x\o\al(3,0)).【答案】－eq\f(8,x\o\al(3,0))5.一輛汽車按規(guī)律s＝3t2＋1做直線運動(s，單位：m，t，單位：s)，則這輛車在t＝3s時的瞬時速度為________.【解析】這輛汽車從3s到(3＋Δt)s這段時間內(nèi)的位移增量為Δs＝3(3＋Δt)2＋1－28＝3(Δt)2＋18Δt.eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(3Δt2＋18Δt,Δt)＝3Δt＋18，當Δt→0時，3Δt＋18→18.∴t＝3s時瞬時速度為18m/s.【答案】18m/s6.如果某物體的運動的速度為v(t)＝2(1－t2)，那么其在s末的加速度為________.【解析】eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(v＋Δt－v,Δt)＝eq\f(2×－2＋Δt2,Δt)＝－－2Δt，當Δt→0時，eq\f(Δv,Δt)→－.【答案】－7.曲線y＝x3－x＋3在點(1,3)處的切線方程為________.【解析】Δy＝[(1＋Δx)3－(1＋Δx)＋3]－3＝2Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3，則eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx＋3Δx2＋Δx3,Δx)＝2＋3Δx＋(Δx)2，當Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)→2，即k＝2.故切線方程為y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.【答案】2x－y＋1＝08.設(shè)曲線y＝x2在點P處的切線斜率為3，則點P的坐標為________.【解析】設(shè)點P的坐標為(x0，y0)∵eq\f(x0＋Δx2－x\o\al(2,0),Δx)＝eq\f(2x0Δx＋Δx2,Δx)＝2x0＋Δx.當Δx→0時，k＝f′(x0)＝2x0＝3.∴x0＝eq\f(3,2)，將x0＝eq\f(3,2)代入y＝x2得y0＝eq\f(9,4)，∴P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(9,4))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(9,4)))二、解答題9.若一物體運動方程如下：(位移：m，時間：s)s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t2＋2，,29＋3t－32，))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(t≥3，,0≤t<3，))求：(1)物體在t∈[3,5]內(nèi)的平均速度；(2)物體的初速度v0；(3)物體在t＝1時的瞬時速度.【導學號：24830069】【解】(1)∵物體在t∈[3,5]內(nèi)的時間變化量為Δt＝5－3＝2，物體在t∈[3,5]內(nèi)的位移變化量為Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物體在t∈[3,5]上的平均速度為：eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(48,2)＝24(m/s).(2)求物體的初速度v0即求物體在t＝0時的瞬時速度.∵物體在t＝0附近的平均變化率為：eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f0＋Δt－f0,Δt)＝eq\f(29＋3[0＋Δt－3]2－29－30－32,Δt)＝3Δt－18，∴物體在t＝0處的瞬時變化率為：lieq\o(m,\s\do4(,Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝lieq\o(m,\s\do4(,Δt→0))(3Δt－18)＝－18，即物體的初速度為－18m/s.(3)物體在t＝1時的瞬時速度即為函數(shù)在t＝1處的瞬時變化率.∵物體在t＝1附近的平均變化率為：eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f1＋Δt－f1,Δt)＝eq\f(29＋3[1＋Δt－3]2－29－31－32,Δt)＝3Δt－12.∴物體在t＝1處的瞬時變化率為lieq\o(m,\s\do4(,Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝lieq\o(m,\s\do4(,Δt→0))(3Δt－12)＝－12，即物體在t＝1時的瞬時速度為－12m/s.10.求函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(4,x)在x＝eq\f(8,3)處的導數(shù).【解】eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(x0＋Δx＋\f(4,x0＋Δx)－x0－\f(4,x0),Δx)＝1－eq\f(4,x0x0＋Δx)，當Δx→0時得f′(x0)＝1－eq\f(4,x\o\al(2,0))，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)))＝1－eq\f(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)))2)＝1－eq\f(36,64)＝eq\f(28,64)＝eq\f(7,16).∴f(x)在x＝eq\f(8,3)處的導數(shù)為eq\f(7,16).[能力提升]1.曲線y＝eq\f(x,x＋2)在點(－1，－1)處的切線方程為________.【解析】∵點(－1,1)在曲線y＝eq\f(x,x＋2)上，∴先求y＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)在x＝－1處的導數(shù)，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f－1＋Δx－f－1,Δx)＝eq\f(\f(－1＋Δx,1＋Δx)＋1,Δx)＝eq\f(2,1＋Δx)，當Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)→2，故所求切線的斜率為k＝2.∴切線方程為y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.【答案】y＝2x＋12.已知曲線y＝eq\f(3,\r(x))上有一點A(1,3)，則曲線在點A處的切線的斜率為________.【導學號：24830070】【解析】∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(3,\r(1＋Δx))－3,Δx)＝eq\f(\f(3－3\r(1＋Δx),\r(1＋Δx)),Δx)＝eq\f(－9,\r(1＋Δx)·3＋3\r(1＋Δx))，當Δx→0時，得f′(1)＝eq\f(－9,3＋3)＝－eq\f(3,2)，即所求切線的斜率k＝f′(1)＝－eq\f(3,2).【答案】－eq\f(3,2)3.函數(shù)f(x)的圖象如圖3-1-2所示，試根據(jù)函數(shù)圖象判斷0，f′(1)，f′(3)，eq\f(f3－f1,2)的大小關(guān)系為________.圖3-1-2【解析】設(shè)x＝1，x＝3時對應(yīng)曲線上的點分別為A，B，點A處的切線為AT，點B處的切線為BQ，如圖所示.則eq\f(f3－f1,3－1)＝kAB，f′(3)＝kBQ，f′(1)＝kAT，由圖可知切線BQ的傾斜角小于直線AB的傾斜角，直線AB的傾斜角小于切線AT的傾斜角，即kBQ<kAB<kAT，所以0<f′(3)<eq\f(f3－f1,2)<f′(1).【答案】0<f′(3)<eq\f(f3－f1,2)<f′(1)4.已知點P在曲線y＝x2＋1上，若曲線y＝x2＋1在點P處的切線與曲線y＝－2x2－1相切，求點P的坐標.【解】設(shè)點P(x0，y0)，易知曲線y＝x2＋1在點P處的切線的斜率存在，設(shè)為k，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(x0＋Δx2＋1－x\o\al(2,0)－1,Δx)＝2x0＋Δx，當Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)→2x0，即k＝2x0，所以切線方程為y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x＋1－xeq\o\al(2,0)，由題意知此直線與曲線y＝－2x2－1相切.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x0x＋1－x\o\al(2,0),y＝－2x2－1))，得2x2＋2x0x＋2－xeq\o\a