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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知,,分別是三個內(nèi)角,,的對邊,,則()A. B. C. D.2.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,且的圖象關(guān)于對稱,若實數(shù)滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.3.設(shè),是兩條不同的直線,,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是()A.若,,,則B.若,,,則C.若,,,則D.若,,,則4.函數(shù)在上單調(diào)遞減的充要條件是()A. B. C. D.5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸入,則輸出的的值為()A. B. C. D.6.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積()A. B. C. D.7.設(shè)為等差數(shù)列的前項和,若,,則的最小值為()A. B. C. D.8.定義域為R的偶函數(shù)滿足任意,有,且當(dāng)時,.若函數(shù)至少有三個零點,則的取值范圍是()A. B. C. D.9.網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1單位長度,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為()A.1 B. C.3 D.410.如圖,已知平面,,、是直線上的兩點,、是平面內(nèi)的兩點,且,,,,.是平面上的一動點,且直線,與平面所成角相等,則二面角的余弦值的最小值是()A. B. C. D.11.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積等于()cm3A. B. C. D.12.已知拋物線的焦點為,準(zhǔn)線為,是上一點,是直線與拋物線的一個交點,若,則()A. B.3 C. D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)的圖象在處的切線斜率為,則______.14.某高中共有1800人,其中高一、高二、高三年級的人數(shù)依次成等差數(shù)列,現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取60人,那么高二年級被抽取的人數(shù)為________.15.的展開式中所有項的系數(shù)和為______,常數(shù)項為______.16.正方體中,是棱的中點,是側(cè)面上的動點,且平面,記與的軌跡構(gòu)成的平面為.①,使得;②直線與直線所成角的正切值的取值范圍是;③與平面所成銳二面角的正切值為;④正方體的各個側(cè)面中,與所成的銳二面角相等的側(cè)面共四個.其中正確命題的序號是________.(寫出所有正確命題的序號)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某超市在節(jié)日期間進行有獎促銷,規(guī)定凡在該超市購物滿400元的顧客,均可獲得一次摸獎機會.摸獎規(guī)則如下:獎盒中放有除顏色不同外其余完全相同的4個球(紅、黃、黑、白).顧客不放回的每次摸出1個球,若摸到黑球則摸獎停止,否則就繼續(xù)摸球.按規(guī)定摸到紅球獎勵20元,摸到白球或黃球獎勵10元,摸到黑球不獎勵.(1)求1名顧客摸球2次摸獎停止的概率;(2)記X為1名顧客摸獎獲得的獎金數(shù)額,求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.18.(12分)如圖,在三棱柱中,是邊長為2的菱形,且,是矩形,,且平面平面,點在線段上移動(不與重合),是的中點.(1)當(dāng)四面體的外接球的表面積為時,證明:.平面(2)當(dāng)四面體的體積最大時,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.19.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時,解不等式;(2)若的解集為,,求證:.20.(12分)在中,內(nèi)角的對邊分別是,已知.(1)求角的值;(2)若,,求的面積.21.(12分)已知數(shù)列滿足,且,,成等比數(shù)列.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;(2)記數(shù)列的前n項和為,,求數(shù)列的前n項和.22.(10分)設(shè)函數(shù),是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)若,證明在區(qū)間上沒有零點;(2)在上恒成立,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
原式由正弦定理化簡得,由于,可求的值.【詳解】解:由及正弦定理得.因為,所以代入上式化簡得.由于,所以.又,故.故選:C.【點睛】本題主要考查正弦定理解三角形,三角函數(shù)恒等變換等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力,推理論證能力,屬于中檔題.2、C【解析】
根據(jù)題意,由函數(shù)的圖象變換分析可得函數(shù)為偶函數(shù),又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,分析可得,解可得的取值范圍,即可得答案.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度可得函數(shù)的圖象,由于函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,則函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱,即函數(shù)為偶函數(shù),由,得,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,得,解得.因此,實數(shù)的取值范圍是.故選:C.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式,注意分析函數(shù)的奇偶性,屬于中等題.3、D【解析】試題分析:,,故選D.考點:點線面的位置關(guān)系.4、C【解析】
先求導(dǎo)函數(shù),函數(shù)在上單調(diào)遞減則恒成立,對導(dǎo)函數(shù)不等式換元成二次函數(shù),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象,列不等式組求解可得.【詳解】依題意,,令,則,故在上恒成立;結(jié)合圖象可知,,解得故.故選:C.【點睛】本題考查求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法:(1)代換法:就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個角(或),利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解;(2)圖象法:畫出三角函數(shù)的正、余弦曲線,結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間.5、C【解析】
由程序語言依次計算,直到時輸出即可【詳解】程序的運行過程為當(dāng)n=2時,時,,此時輸出.故選:C【點睛】本題考查由程序框圖計算輸出結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題6、C【解析】
畫出幾何體的直觀圖,利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可.【詳解】解:幾何體的直觀圖如圖,是正方體的一部分,P?ABC,正方體的棱長為2,
該幾何體的表面積:.故選C.【點睛】本題考查三視圖求解幾何體的直觀圖的表面積,判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.7、C【解析】
根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的通項公式,判斷出最小時的值,由此求得的最小值.【詳解】依題意,解得,所以.由解得,所以前項和中,前項的和最小,且.故選:C【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式和前項和公式的基本量計算,考查等差數(shù)列前項和最值的求法,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
由題意可得的周期為,當(dāng)時,,令,則的圖像和的圖像至少有個交點,畫出圖像,數(shù)形結(jié)合,根據(jù),求得的取值范圍.【詳解】是定義域為R的偶函數(shù),滿足任意,,令,又,為周期為的偶函數(shù),當(dāng)時,,當(dāng),當(dāng),作出圖像,如下圖所示:函數(shù)至少有三個零點,則的圖像和的圖像至少有個交點,,若,的圖像和的圖像只有1個交點,不合題意,所以,的圖像和的圖像至少有個交點,則有,即,.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)周期性及其應(yīng)用,解題過程中用到了數(shù)形結(jié)合方法,這也是高考??嫉臒狳c問題,屬于中檔題.9、A【解析】
采用數(shù)形結(jié)合,根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐,然后根據(jù)錐體體積公式,可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)三視圖可知:該幾何體為三棱錐如圖該幾何體為三棱錐,長度如上圖所以所以所以故選:A【點睛】本題考查根據(jù)三視圖求直觀圖的體積,熟悉常見圖形的三視圖:比如圓柱,圓錐,球,三棱錐等;對本題可以利用長方體,根據(jù)三視圖刪掉沒有的點與線,屬中檔題.10、B【解析】
為所求的二面角的平面角,由得出,求出在內(nèi)的軌跡,根據(jù)軌跡的特點求出的最大值對應(yīng)的余弦值【詳解】,,,,同理為直線與平面所成的角,為直線與平面所成的角,又,在平面內(nèi),以為軸,以的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系則,設(shè),整理可得:在內(nèi)的軌跡為為圓心,以為半徑的上半圓平面平面,,為二面角的平面角,當(dāng)與圓相切時,最大,取得最小值此時故選【點睛】本題主要考查了二面角的平面角及其求法,方法有:定義法、三垂線定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等,依據(jù)題目選擇方法求出結(jié)果.11、D【解析】解:根據(jù)幾何體的三視圖知,該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體,結(jié)合圖中數(shù)據(jù),計算它的體積為:V=V三棱柱+V半圓柱=×2×2×1+?π?12×1=(6+1.5π)cm1.故答案為6+1.5π.點睛:根據(jù)幾何體的三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體,結(jié)合圖中數(shù)據(jù)計算它的體積即可.12、D【解析】
根據(jù)拋物線的定義求得,由此求得的長.【詳解】過作,垂足為,設(shè)與軸的交點為.根據(jù)拋物線的定義可知.由于,所以,所以,所以,所以.故選:D【點睛】本小題主要考查拋物線的定義,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先對函數(shù)f(x)求導(dǎo),再根據(jù)圖象在(0,f(0))處切線的斜率為﹣4,得f′(0)=﹣4,由此可求a的值.【詳解】由函數(shù)得,∵函數(shù)f(x)的圖象在(0,f(0))處切線的斜率為﹣4,,.故答案為4【點睛】本題考查了根據(jù)曲線上在某點切線方程的斜率求參數(shù)的問題,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
由三個年級人數(shù)成等差數(shù)列和總?cè)藬?shù)可求得高二年級共有人,根據(jù)抽樣比可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)高一、高二、高三人數(shù)分別為,則且,解得:,用分層抽樣的方法抽取人,那么高二年級被抽取的人數(shù)為人.故答案為:.【點睛】本題考查分層抽樣問題的求解,涉及到等差數(shù)列的相關(guān)知識,屬于基礎(chǔ)題.15、3-260【解析】
(1)令求得所有項的系數(shù)和;(2)先求出展開式中的常數(shù)項與含的系數(shù),再求展開式中的常數(shù)項.【詳解】將代入,得所有項的系數(shù)和為3.因為的展開式中含的項為,的展開式中含常數(shù)項,所以的展開式中的常數(shù)項為.故答案為:3;-260【點睛】本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特殊項問題,屬于基礎(chǔ)題.16、①②③④【解析】
取中點,中點,中點,先利用中位線的性質(zhì)判斷點的運動軌跡為線段,平面即為平面,畫出圖形,再依次判斷:①利用等腰三角形的性質(zhì)即可判斷;②直線與直線所成角即為直線與直線所成角,設(shè)正方體的棱長為2,進而求解;③由,取為中點,則,則即為與平面所成的銳二面角,進而求解;④由平行的性質(zhì)及圖形判斷即可.【詳解】取中點,連接,則,所以,所以平面即為平面,取中點,中點,連接,則易證得,所以平面平面,所以點的運動軌跡為線段,平面即為平面.①取為中點,因為是等腰三角形,所以,又因為,所以,故①正確;②直線與直線所成角即為直線與直線所成角,設(shè)正方體的棱長為2,當(dāng)點為中點時,直線與直線所成角最小,此時,;當(dāng)點與點或點重合時,直線與直線所成角最大,此時,所以直線與直線所成角的正切值的取值范圍是,②正確;③與平面的交線為,且,取為中點,則即為與平面所成的銳二面角,,所以③正確;④正方體的各個側(cè)面中,平面,平面,平面,平面與平面所成的角相等,所以④正確.故答案為:①②③④【點睛】本題考查直線與平面的空間位置關(guān)系,考查異面直線成角,二面角,考查空間想象能力與轉(zhuǎn)化思想.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)20.【解析】
(1)1名顧客摸球2次摸獎停止,說明第一次是從紅球、黃球、白球中摸一球,第二次摸的是黑球,即求概率;(2)的可能取值為:0,10,20,30,1.分別求出取各個值時的概率,即可求出分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)1名顧客摸球2次摸獎停止,說明第一次是從紅球、黃球、白球中摸一球,第二次摸的是黑球,所以1名顧客摸球2次摸獎停止的概率.(2)的可能取值為:0,10,20,30,1.,∴隨機變量X的分布列為:X01020301P數(shù)學(xué)期望.【點睛】本題主要考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望,屬于中檔題.18、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)由題意,先求得為的中點,再證明平面平面,進而可得結(jié)論;(2)由題意,當(dāng)點位于點時,四面體的體積最大,再建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量運算即可.【詳解】(1)證明:當(dāng)四面體的外接球的表面積為時.則其外接球的半徑為.因為時邊長為2的菱形,是矩形.,且平面平面.則,.則為四面體外接球的直徑.所以,即.由題意,,,所以.因為,所以為的中點.記的中點為,連接,.則,,,所以平面平面.因為平面,所以平面.(2)由題意,平面,則三棱錐的高不變.當(dāng)四面體的體積最大時,的面積最大.所以當(dāng)點位于點時,四面體的體積最大.以點為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則,,,,.所以,,,.設(shè)平面的法向量為.則令,得.設(shè)平面的一個法向量為.則令,得.設(shè)平面與平面所成銳二面角是,則.所以當(dāng)四面體的體積最大時,平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查平面與平面的平行、線面平行,考查平面與平面所成銳二面角的余弦值,正確運用平面與平面的平行、線面平行的判定,利用好空間向量是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.19、(1);(2)見解析.【解析】
(1)當(dāng)時,將所求不等式變形為,然后分、、三段解不等式,綜合可得出原不等式的解集;(2)先由不等式的解集求得實數(shù),可得出,將代數(shù)式變形為,將與相乘,展開后利用基本不等式可求得的最小值,進而可證得結(jié)論.【詳解】(1)當(dāng)時,不等式為,且.當(dāng)時,由得,解得,此時;當(dāng)時,由得,該不等式不成立,此時;當(dāng)時,由得,解得,此時.綜上所述,不等式的解集為;(2)由,得,即或,不等式的解集為,故,解得,,,,,當(dāng)且僅當(dāng),時取等號,.【點睛】本題考查含絕對值不等式的求解,同時也考查了利用基本不等式證明不等式,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.20、(1);(2)【解析】
(1)由已知條件和正弦定理進行邊角互化得,再根據(jù)余弦定理可求得值.(2)由正弦定理得,,代入得,運用三角形的面積公式可求得其值.【詳解】(1)由及正弦定理得,即由余弦定理得,,.
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