高中數(shù)學蘇教版3第三章統(tǒng)計．2回歸分析 第3章獨立性檢驗

獨立性檢驗1．了解獨立性檢驗的概念，會判斷獨立性檢驗事件．2．能列出2×2列聯(lián)表，會求χ2(卡方統(tǒng)計量的值)．3．能夠利用臨界值，作出正確的判斷．(重點)4．應用獨立性檢驗分析實際問題．(難點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理12×2列聯(lián)表的意義閱讀教材P91～P94“例1”以上部分，完成下列問題一般地，對于兩個研究對象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有兩類取值，即類A和類B(如吸煙與不吸煙)；Ⅱ也有兩類取值，即類1和類2(如患呼吸道疾病和未患呼吸道疾病)．我們得到如下表所示的抽樣數(shù)據(jù)：Ⅱ類1類2合計Ⅰ類Aaba＋b類Bcdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d形如上表的表格稱為2×2列聯(lián)表，2×2列聯(lián)表經(jīng)常用來判斷Ⅰ和Ⅱ之間是否有關(guān)系．下面是一個2×2列聯(lián)表：y1y2合計x1a2173x282533合計b46則表中a，b處的值分別為________．【解析】∵a＋21＝73，∴a＝52.又b＝a＋8＝52＋8＝60.【答案】52,60教材整理2獨立性檢驗閱讀教材P93～P94“例1”以上部分完成下列各題．1．獨立性檢驗2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是樣本數(shù)據(jù)，它只是總體的代表，具有隨機性，結(jié)果并不唯一．因此，由某個樣本得到的推斷有可能正確，也有可能錯誤．為了使不同樣本量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評判標準，統(tǒng)計學中引入下面的量(稱為卡方統(tǒng)計量)：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(*)，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量．用eq\a\vs4\al(χ2)統(tǒng)計量研究這類問題的方法稱為獨立性檢驗(testofindependence)．2．獨立性檢驗的基本步驟要推斷“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”，可按下面的步驟進行：(1)提出假設(shè)H0：Ⅰ與Ⅱ沒有關(guān)系；(2)根據(jù)2×2列聯(lián)表與公式(*)計算χ2的值；(3)查對臨界值(如下表)，作出判斷.P(χ2≥x0)x0P(χ2≥x0)x01．關(guān)于分類變量x與y的隨機變量χ2的觀測值k，下列說法正確的是________．(填序號)(1)k的值越大，“X和Y有關(guān)系”可信程度越??；(2)k的值越小，“X和Y有關(guān)系”可信程度越??；(3)k的值越接近于0，“X和Y無關(guān)”程度越??；(4)k的值越大，“X和Y無關(guān)”程度越大．【解析】k的值越大，X和Y有關(guān)系的可能性就越大，也就意味著X和Y無關(guān)系的可能性就越小．【答案】(2)2．式子|ad－bc|越大，χ2的值就越________．(填“大”或“小”)【解析】由χ2的表達式知|ad－bc|越大，(ad－bc)2就越大，χ2就越大．【答案】大[質(zhì)疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]繪制2×2列聯(lián)表在一項有關(guān)醫(yī)療保健的社會調(diào)查中，調(diào)查的男性為530人，女性為670人，發(fā)現(xiàn)其中男性中喜歡吃甜食的為117人，女性中喜歡吃甜食的為492人，請作出性別與喜歡吃甜食的列聯(lián)表．【精彩點撥】分成兩類，找出不同類情況下的兩個數(shù)據(jù)再列表．【自主解答】作2×2列聯(lián)表如下：喜歡甜食不喜歡甜食合計男117413530女492178670合計60959112001．分清類別是作列聯(lián)表的關(guān)鍵．2．表中排成兩行兩列的數(shù)據(jù)是調(diào)查得來的結(jié)果．3．選取數(shù)據(jù)時，要求表中的四個數(shù)據(jù)a，b，c，d都要不小于5，以保證檢驗結(jié)果的可信度．[再練一題]1．某電視公司為了研究體育迷是否與性別有關(guān)，在調(diào)查的100人中，體育迷75人，其中女生30人，非體育迷25人，其中男生15人，請作出性別與體育迷的列聯(lián)表．【解】體育迷非體育迷合計男451560女301040合計7525100利用χ2值進行獨立性檢驗某礦石粉廠當生產(chǎn)一種礦石粉時，在數(shù)天內(nèi)即有部分工人患職業(yè)性皮膚炎，在生產(chǎn)季節(jié)開始，隨機抽取75名車間工人穿上新防護服，其余仍穿原用的防護服，生產(chǎn)進行一個月后，檢查兩組工人的皮膚炎患病人數(shù)如下：陽性例數(shù)陰性例數(shù)合計新防護服57075舊防護服101828合計1588103問這種新防護服對預防工人患職業(yè)性皮膚炎是否有效？并說明你的理由．【精彩點撥】通過有關(guān)數(shù)據(jù)的計算，作出相應的判斷．【自主解答】提出假設(shè)H0：新防護服對預防皮膚炎沒有明顯效果．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可求得χ2＝eq\f(103×5×18－70×102,75×28×15×88)≈.因為H0成立時，χ2≥的概率約為，而這里χ2≈>，所以我們有%的把握說新防護服比舊防護服對預防工人患職業(yè)性皮膚炎有效．根據(jù)2×2列聯(lián)表，利用公式eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)計算χ2的值，再與臨界值比較，作出判斷．[再練一題]2．在某醫(yī)院，因為患心臟病而住院的665名男性病人中，有214人禿頂；而另外772名不是因為患心臟病而住院的男性病人中，有175人禿頂．根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷男性病人的禿頂與患心臟病是否有關(guān)系？【解】提出假設(shè)H0：男性病人的禿頂與患心臟病沒有關(guān)系．根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表：患心臟病未患心臟病合計禿頂214175389不禿頂4515971048合計6657721437根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可以求得χ2＝eq\f(1437×214×597－175×4512,389×1048×665×772)≈.因為當H0成立時，χ2≥的概率約為，而這里χ2≈>，所以有%的把握認為，男性病人的禿頂與患心臟病有關(guān)系．[探究共研型]獨立性檢驗的綜合應用探究1利用χ2進行獨立性檢驗，估計值的準確度與樣本容量有關(guān)嗎？【提示】利用χ2進行獨立性檢驗，可以對推斷的正確性的概率作出估計，樣本容量n越大，這個估計值越準確，如果抽取的樣本容量很小，那么利用χ2進行獨立性檢驗的結(jié)果就不具有可靠性．探究2在χ2運算后，得到χ2的值為，在判斷變量相關(guān)時，P(χ2≥≈和P(χ2≥≈，哪種說法是正確的？【提示】兩種說法均正確．P(χ2≥≈的含義是在犯錯誤的概率不超過的前提下認為兩個變量相關(guān)；而P(χ2≥≈的含義是在犯錯誤的概率不超過的前提下認為兩個變量相關(guān)．為了調(diào)查某生產(chǎn)線上質(zhì)量監(jiān)督員甲對產(chǎn)品質(zhì)量好壞有無影響，現(xiàn)統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：甲在生產(chǎn)現(xiàn)場時，990件產(chǎn)品中有合格品982件，次品8件；甲不在生產(chǎn)現(xiàn)場時，510件產(chǎn)品中有合格品493件，次品17件．試分別用列聯(lián)表、獨立性檢驗的方法分析監(jiān)督員甲對產(chǎn)品質(zhì)量好壞有無影響．能否在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為質(zhì)量監(jiān)督員甲是否在生產(chǎn)現(xiàn)場與產(chǎn)品質(zhì)量有關(guān)？【精彩點撥】解答本題可先列出2×2列聯(lián)表，然后具體分析．【自主解答】(1)2×2列聯(lián)表如下：合格品數(shù)次品數(shù)合計甲在生產(chǎn)現(xiàn)場9828990甲不在生產(chǎn)現(xiàn)場49317510合計1475251500由列聯(lián)表可得|ad－bc|＝|982×17－493×8|＝12750，相差較大，可在某種程度上認為“質(zhì)量監(jiān)督員甲是否在生產(chǎn)現(xiàn)場與產(chǎn)品質(zhì)量有關(guān)系”．(2)由2×2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計算得到χ2的觀測值為χ2＝eq\f(1500×982×17－493×82,990×510×1475×25)≈>，因此在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為質(zhì)量監(jiān)督員甲是否在生產(chǎn)現(xiàn)場與產(chǎn)品質(zhì)量有關(guān)．判斷兩個變量是否有關(guān)的三種方法[再練一題]3．調(diào)查某醫(yī)院某段時間內(nèi)嬰兒出生的時間與性別的關(guān)系，得到下面的數(shù)據(jù)：出生時間在晚上的男嬰為24人，女嬰為8人；出生時間在白天的男嬰為31人，女嬰為26人．(1)將下面的2×2列聯(lián)表補充完整；晚上白天合計男嬰女嬰合計(2)能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為嬰兒性別與出生時間有關(guān)系？【解】(1)晚上白天合計男嬰243155女嬰82634合計325789(2)由所給數(shù)據(jù)計算χ2的觀測值χ2＝eq\f(89×24×26－31×82,55×34×32×57)≈>.根據(jù)臨界值表知P(χ2≥≈.因此在犯錯誤的概率不超過的前提下認為嬰兒的性別與出生時間有關(guān)系．[構(gòu)建·體系]1．在2×2列聯(lián)表中，若每個數(shù)據(jù)變?yōu)樵瓉淼?倍，則χ2的值變?yōu)樵瓉淼腳_______倍．【解析】由公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)中所有值變?yōu)樵瓉淼?倍，得(χ2)′＝eq\f(2n2a·2d－2b·2c2,2a＋2b2c＋2d2a＋2c2b＋2d)＝2χ2，故χ2也變?yōu)樵瓉淼?倍．【答案】22．下列說法正確的是________．(填序號)①對事件A與B的檢驗無關(guān)，即兩個事件互不影響；②事件A與B關(guān)系越密切，χ2就越大；③χ2的大小是判斷事件A與B是否相關(guān)的唯一數(shù)據(jù)；④若判定兩事件A與B有關(guān)，則A發(fā)生B一定發(fā)生．【解析】對于①，事件A與B的檢驗無關(guān)，只是說兩事件的相關(guān)性較小，并不一定兩事件互不影響，故①錯．②是正確的．對于③，判斷A與B是否相關(guān)的方式很多，可以用列聯(lián)表，也可以借助于概率運算，故③錯．對于④，兩事件A與B有關(guān)，說明兩者同時發(fā)生的可能性相對來說較大，但并不是A發(fā)生B一定發(fā)生，故④錯．【答案】②3．為了判斷高中三年級學生選修文科是否與性別有關(guān)，現(xiàn)隨機抽取50名學生，得到如下2×2列聯(lián)表：理科文科合計男131023女72027合計203050已知P(χ2≥≈，P(χ2≥≈，根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到χ2＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈.則有__________的把握認為選修文科與性別有關(guān)．【答案】95%4．在2×2列聯(lián)表中，兩個比值eq\f(a,a＋b)與________相差越大，兩個分類變量有關(guān)系的可能性越大.【導學號：29440066】【解析】根據(jù)2×2列聯(lián)表可知，比值eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)相差越大，則|ad－bc|就越大，那么兩個分類變量有關(guān)系的可能性就越大．【答案】eq\f(c,c＋d)5．某大學餐飲中心為了解新生的飲食習慣，在全校一年級學生中進行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示：喜歡甜品不喜歡甜品合計南方學生602080北方學生101020合計7030100根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有95%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”．【解】將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(100×60×10－20×102,80×20×70×30)＝eq\f(100,21)≈.因為＞，所以有95%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”．我還有這些不