高中數(shù)學(xué)蘇教版3第三章統(tǒng)計(jì)．2回歸分析 第3章獨(dú)立性檢驗(yàn)

獨(dú)立性檢驗(yàn)1．了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的概念，會(huì)判斷獨(dú)立性檢驗(yàn)事件．2．能列出2×2列聯(lián)表，會(huì)求χ2(卡方統(tǒng)計(jì)量的值)．3．能夠利用臨界值，作出正確的判斷．(重點(diǎn))4．應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)分析實(shí)際問題．(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理12×2列聯(lián)表的意義閱讀教材P91～P94“例1”以上部分，完成下列問題一般地，對(duì)于兩個(gè)研究對(duì)象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有兩類取值，即類A和類B(如吸煙與不吸煙)；Ⅱ也有兩類取值，即類1和類2(如患呼吸道疾病和未患呼吸道疾病)．我們得到如下表所示的抽樣數(shù)據(jù)：Ⅱ類1類2合計(jì)Ⅰ類Aaba＋b類Bcdc＋d合計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d形如上表的表格稱為2×2列聯(lián)表，2×2列聯(lián)表經(jīng)常用來判斷Ⅰ和Ⅱ之間是否有關(guān)系．下面是一個(gè)2×2列聯(lián)表：y1y2合計(jì)x1a2173x282533合計(jì)b46則表中a，b處的值分別為________．【解析】∵a＋21＝73，∴a＝52.又b＝a＋8＝52＋8＝60.【答案】52,60教材整理2獨(dú)立性檢驗(yàn)閱讀教材P93～P94“例1”以上部分完成下列各題．1．獨(dú)立性檢驗(yàn)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是樣本數(shù)據(jù)，它只是總體的代表，具有隨機(jī)性，結(jié)果并不唯一．因此，由某個(gè)樣本得到的推斷有可能正確，也有可能錯(cuò)誤．為了使不同樣本量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，統(tǒng)計(jì)學(xué)中引入下面的量(稱為卡方統(tǒng)計(jì)量)：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(*)，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量．用eq\a\vs4\al(χ2)統(tǒng)計(jì)量研究這類問題的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)(testofindependence)．2．獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本步驟要推斷“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”，可按下面的步驟進(jìn)行：(1)提出假設(shè)H0：Ⅰ與Ⅱ沒有關(guān)系；(2)根據(jù)2×2列聯(lián)表與公式(*)計(jì)算χ2的值；(3)查對(duì)臨界值(如下表)，作出判斷.P(χ2≥x0)x0P(χ2≥x0)x01．關(guān)于分類變量x與y的隨機(jī)變量χ2的觀測(cè)值k，下列說法正確的是________．(填序號(hào))(1)k的值越大，“X和Y有關(guān)系”可信程度越?。?2)k的值越小，“X和Y有關(guān)系”可信程度越??；(3)k的值越接近于0，“X和Y無關(guān)”程度越??；(4)k的值越大，“X和Y無關(guān)”程度越大．【解析】k的值越大，X和Y有關(guān)系的可能性就越大，也就意味著X和Y無關(guān)系的可能性就越?。敬鸢浮?2)2．式子|ad－bc|越大，χ2的值就越________．(填“大”或“小”)【解析】由χ2的表達(dá)式知|ad－bc|越大，(ad－bc)2就越大，χ2就越大．【答案】大[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]繪制2×2列聯(lián)表在一項(xiàng)有關(guān)醫(yī)療保健的社會(huì)調(diào)查中，調(diào)查的男性為530人，女性為670人，發(fā)現(xiàn)其中男性中喜歡吃甜食的為117人，女性中喜歡吃甜食的為492人，請(qǐng)作出性別與喜歡吃甜食的列聯(lián)表．【精彩點(diǎn)撥】分成兩類，找出不同類情況下的兩個(gè)數(shù)據(jù)再列表．【自主解答】作2×2列聯(lián)表如下：喜歡甜食不喜歡甜食合計(jì)男117413530女492178670合計(jì)60959112001．分清類別是作列聯(lián)表的關(guān)鍵．2．表中排成兩行兩列的數(shù)據(jù)是調(diào)查得來的結(jié)果．3．選取數(shù)據(jù)時(shí)，要求表中的四個(gè)數(shù)據(jù)a，b，c，d都要不小于5，以保證檢驗(yàn)結(jié)果的可信度．[再練一題]1．某電視公司為了研究體育迷是否與性別有關(guān)，在調(diào)查的100人中，體育迷75人，其中女生30人，非體育迷25人，其中男生15人，請(qǐng)作出性別與體育迷的列聯(lián)表．【解】體育迷非體育迷合計(jì)男451560女301040合計(jì)7525100利用χ2值進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)?zāi)车V石粉廠當(dāng)生產(chǎn)一種礦石粉時(shí)，在數(shù)天內(nèi)即有部分工人患職業(yè)性皮膚炎，在生產(chǎn)季節(jié)開始，隨機(jī)抽取75名車間工人穿上新防護(hù)服，其余仍穿原用的防護(hù)服，生產(chǎn)進(jìn)行一個(gè)月后，檢查兩組工人的皮膚炎患病人數(shù)如下：陽性例數(shù)陰性例數(shù)合計(jì)新防護(hù)服57075舊防護(hù)服101828合計(jì)1588103問這種新防護(hù)服對(duì)預(yù)防工人患職業(yè)性皮膚炎是否有效？并說明你的理由．【精彩點(diǎn)撥】通過有關(guān)數(shù)據(jù)的計(jì)算，作出相應(yīng)的判斷．【自主解答】提出假設(shè)H0：新防護(hù)服對(duì)預(yù)防皮膚炎沒有明顯效果．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可求得χ2＝eq\f(103×5×18－70×102,75×28×15×88)≈.因?yàn)镠0成立時(shí)，χ2≥的概率約為，而這里χ2≈>，所以我們有%的把握說新防護(hù)服比舊防護(hù)服對(duì)預(yù)防工人患職業(yè)性皮膚炎有效．根據(jù)2×2列聯(lián)表，利用公式eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)計(jì)算χ2的值，再與臨界值比較，作出判斷．[再練一題]2．在某醫(yī)院，因?yàn)榛夹呐K病而住院的665名男性病人中，有214人禿頂；而另外772名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中，有175人禿頂．根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷男性病人的禿頂與患心臟病是否有關(guān)系？【解】提出假設(shè)H0：男性病人的禿頂與患心臟病沒有關(guān)系．根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表：患心臟病未患心臟病合計(jì)禿頂214175389不禿頂4515971048合計(jì)6657721437根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可以求得χ2＝eq\f(1437×214×597－175×4512,389×1048×665×772)≈.因?yàn)楫?dāng)H0成立時(shí)，χ2≥的概率約為，而這里χ2≈>，所以有%的把握認(rèn)為，男性病人的禿頂與患心臟病有關(guān)系．[探究共研型]獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用探究1利用χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，估計(jì)值的準(zhǔn)確度與樣本容量有關(guān)嗎？【提示】利用χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以對(duì)推斷的正確性的概率作出估計(jì)，樣本容量n越大，這個(gè)估計(jì)值越準(zhǔn)確，如果抽取的樣本容量很小，那么利用χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)果就不具有可靠性．探究2在χ2運(yùn)算后，得到χ2的值為，在判斷變量相關(guān)時(shí)，P(χ2≥≈和P(χ2≥≈，哪種說法是正確的？【提示】兩種說法均正確．P(χ2≥≈的含義是在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為兩個(gè)變量相關(guān)；而P(χ2≥≈的含義是在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為兩個(gè)變量相關(guān)．為了調(diào)查某生產(chǎn)線上質(zhì)量監(jiān)督員甲對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量好壞有無影響，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：甲在生產(chǎn)現(xiàn)場時(shí)，990件產(chǎn)品中有合格品982件，次品8件；甲不在生產(chǎn)現(xiàn)場時(shí)，510件產(chǎn)品中有合格品493件，次品17件．試分別用列聯(lián)表、獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法分析監(jiān)督員甲對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量好壞有無影響．能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為質(zhì)量監(jiān)督員甲是否在生產(chǎn)現(xiàn)場與產(chǎn)品質(zhì)量有關(guān)？【精彩點(diǎn)撥】解答本題可先列出2×2列聯(lián)表，然后具體分析．【自主解答】(1)2×2列聯(lián)表如下：合格品數(shù)次品數(shù)合計(jì)甲在生產(chǎn)現(xiàn)場9828990甲不在生產(chǎn)現(xiàn)場49317510合計(jì)1475251500由列聯(lián)表可得|ad－bc|＝|982×17－493×8|＝12750，相差較大，可在某種程度上認(rèn)為“質(zhì)量監(jiān)督員甲是否在生產(chǎn)現(xiàn)場與產(chǎn)品質(zhì)量有關(guān)系”．(2)由2×2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得到χ2的觀測(cè)值為χ2＝eq\f(1500×982×17－493×82,990×510×1475×25)≈>，因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為質(zhì)量監(jiān)督員甲是否在生產(chǎn)現(xiàn)場與產(chǎn)品質(zhì)量有關(guān)．判斷兩個(gè)變量是否有關(guān)的三種方法[再練一題]3．調(diào)查某醫(yī)院某段時(shí)間內(nèi)嬰兒出生的時(shí)間與性別的關(guān)系，得到下面的數(shù)據(jù)：出生時(shí)間在晚上的男嬰為24人，女嬰為8人；出生時(shí)間在白天的男嬰為31人，女嬰為26人．(1)將下面的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整；晚上白天合計(jì)男嬰女嬰合計(jì)(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為嬰兒性別與出生時(shí)間有關(guān)系？【解】(1)晚上白天合計(jì)男嬰243155女嬰82634合計(jì)325789(2)由所給數(shù)據(jù)計(jì)算χ2的觀測(cè)值χ2＝eq\f(89×24×26－31×82,55×34×32×57)≈>.根據(jù)臨界值表知P(χ2≥≈.因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為嬰兒的性別與出生時(shí)間有關(guān)系．[構(gòu)建·體系]1．在2×2列聯(lián)表中，若每個(gè)數(shù)據(jù)變?yōu)樵瓉淼?倍，則χ2的值變?yōu)樵瓉淼腳_______倍．【解析】由公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)中所有值變?yōu)樵瓉淼?倍，得(χ2)′＝eq\f(2n2a·2d－2b·2c2,2a＋2b2c＋2d2a＋2c2b＋2d)＝2χ2，故χ2也變?yōu)樵瓉淼?倍．【答案】22．下列說法正確的是________．(填序號(hào))①對(duì)事件A與B的檢驗(yàn)無關(guān)，即兩個(gè)事件互不影響；②事件A與B關(guān)系越密切，χ2就越大；③χ2的大小是判斷事件A與B是否相關(guān)的唯一數(shù)據(jù)；④若判定兩事件A與B有關(guān)，則A發(fā)生B一定發(fā)生．【解析】對(duì)于①，事件A與B的檢驗(yàn)無關(guān)，只是說兩事件的相關(guān)性較小，并不一定兩事件互不影響，故①錯(cuò)．②是正確的．對(duì)于③，判斷A與B是否相關(guān)的方式很多，可以用列聯(lián)表，也可以借助于概率運(yùn)算，故③錯(cuò)．對(duì)于④，兩事件A與B有關(guān)，說明兩者同時(shí)發(fā)生的可能性相對(duì)來說較大，但并不是A發(fā)生B一定發(fā)生，故④錯(cuò)．【答案】②3．為了判斷高中三年級(jí)學(xué)生選修文科是否與性別有關(guān)，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表：理科文科合計(jì)男131023女72027合計(jì)203050已知P(χ2≥≈，P(χ2≥≈，根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到χ2＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈.則有__________的把握認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)．【答案】95%4．在2×2列聯(lián)表中，兩個(gè)比值eq\f(a,a＋b)與________相差越大，兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性越大.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：29440066】【解析】根據(jù)2×2列聯(lián)表可知，比值eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)相差越大，則|ad－bc|就越大，那么兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性就越大．【答案】eq\f(c,c＋d)5．某大學(xué)餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣，在全校一年級(jí)學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示：喜歡甜品不喜歡甜品合計(jì)南方學(xué)生602080北方學(xué)生101020合計(jì)7030100根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”．【解】將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(100×60×10－20×102,80×20×70×30)＝eq\f(100,21)≈.因?yàn)椋?，所以?5%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”．我還有這些不