高中數(shù)學(xué)北師大版5第二章幾個(gè)重要的不等式 市賽獲獎(jiǎng)

第二章§2一、選擇題1．設(shè)a，b∈R＋，P＝a3＋b3，Q＝a2b＋ab2，則P與Q間的大小關(guān)系是()A．P>Q B．P≥QC．P<Q D．P≤Q答案：B2．(1＋1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))·…·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,61)))·…·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3n－2)))的取值范圍是()A．(21，＋∞) B．(61，＋∞)C．(4，＋∞) D．(3n－2，＋∞)答案：C3．設(shè)x，y，z∈R＋，則eq\f(z2－x2,x＋y)＋eq\f(x2－y2,y＋z)＋eq\f(y2－z2,z＋x)的最小值為()A．0 B．1C．4 D．9答案：A4．已知a1，a2，a3為正整數(shù)，則a1＋eq\f(a2,4)＋eq\f(a3,9)的最大值為()A．3 B．eq\f(1,3)C．eq\f(5,6) D．eq\f(49,36)答案：D二、填空題5．設(shè)正實(shí)數(shù)a1，a2，…，an的任一排列為a1′，a2′，…，an′，則eq\f(a1,a1′)＋eq\f(a2,a2′)＋…＋eq\f(an,an′)的最小值為_(kāi)_______.答案：n6．某班學(xué)生要開(kāi)聯(lián)歡會(huì)，需要買(mǎi)價(jià)格不同的禮品4件，5件和2件．現(xiàn)在選擇商店中單位分別為3元，2元和1元的禮品，則至少要花________元，最多要花________元．答案：19,25三、解答題7．設(shè)c1，c2，…，cn為正數(shù)a1，a2，…，an的某一排列，求證：eq\f(a1,c1)＋eq\f(a2,c2)＋…＋eq\f(an,cn)≥n.證明：不妨設(shè)0<a1≤a2≤…≤an，則eq\f(1,a1)≥eq\f(1,a2)≥…≥eq\f(1,an).∵eq\f(1,c1)，eq\f(1,c2)，…，eq\f(1,cn)是eq\f(1,a1)，eq\f(1,a2)，…，eq\f(1,an)的一個(gè)排列，故由排序原理：反序和≤亂序和得a1·eq\f(1,a1)＋a2·eq\f(1,a2)＋…＋an·eq\f(1,an)≤a1·eq\f(1,c1)＋a2·eq\f(1,c2)＋…＋an·eq\f(1,cn)，即eq\f(a1,c1)＋eq\f(a2,c2)＋…eq\f(an,cn)≥n.8．設(shè)a，b，c∈R＋，求證：eq\f(1,a3＋b3＋abc)＋eq\f(1,b3＋c3＋abc)＋eq\f(1,c3＋a3＋abc)≤eq\f(1,abc).證明：不妨設(shè)a≥b≥c>0，則a2≥b2，∴a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2·b＋b2·a.同理b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)，所以eq\f(1,a3＋b3＋abc)＋eq\f(1,b3＋c3＋abc)＋eq\f(1,c3＋a3＋abc)≤eq\f(1,aba＋b＋abc)＋eq\f(1,bcb＋c＋abc)＋eq\f(1,cac＋a＋abc)＝eq\f(1,a＋b＋c)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ab)＋\f(1,bc)＋\f(1,ca)))＝eq\f(1,abc).9．設(shè)a1，a2，…，an為1,2，…，n的一個(gè)排列，求證：eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)＋…＋eq\f(n－1,n)≤eq\f(a1,a2)＋eq\f(a2,a3)＋…＋eq\f(an－1,an).證明：設(shè)b1，b2，…，bn－1為a1，a2，…，an－1的一個(gè)排列，且b1<b2<…<bn－1，c1，c2，…，cn－1為a2，a3，…，an的一個(gè)排列，且c1<c2<…<cn－1，于是eq\f(1,c1)>eq\f(1,c2)>…>eq\f(1,cn－1)，由排序不等式：亂序和≥反序和，得eq\f(a1,a2)＋eq\f(a2,a3)＋…＋eq\f(an－1,an)≥eq\f(b1,c1)＋eq\f(b2,c2)＋…＋eq\f(bn－1,cn－1) ①由于b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c3≤3，…，cn－1≤n，于是eq\f(b1,c1)＋eq\f(b2,c2)＋…＋eq\f(bn－1,cn－1)≥eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)＋…＋eq\f(