高中數(shù)學(xué)人教A版2第二章推理與證明單元測(cè)試 名師獲獎(jiǎng)

第二章推理與證明第二節(jié)直接證明和間接證明第三課時(shí)反證法一、課前準(zhǔn)備1．課時(shí)目標(biāo)（1）.結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解間接證明的一種基本方法——反證法；（2）.了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn);(3).會(huì)用反證法證明問(wèn)題.2．基礎(chǔ)預(yù)探(1)．反證法.假設(shè)原命題 (即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明 ，從而證明了 ，這種證明方法叫做反證法．(2)．反證法常見(jiàn)矛盾類型.在反證法中，經(jīng)過(guò)正確的推理后“得出矛盾”，所得矛盾主要是指與 矛盾，與 、 、 、 或 矛盾，與

矛盾．（3）應(yīng)用反證法的原則：，即如果一個(gè)命題的結(jié)論難以用直接法證明時(shí)可考慮用反證法．（4）方法實(shí)質(zhì)：反證法是利用的命題具有等價(jià)性來(lái)進(jìn)行證明的，即由一個(gè)命題與其逆否命題同，通過(guò)證明一個(gè)命題的命題的正確，從而肯定原命題真實(shí).二、學(xué)習(xí)引領(lǐng)1.反證法的基本思想反證法的基本思想是：否定結(jié)論就會(huì)導(dǎo)致矛盾．它可以用下面的程序來(lái)表示：“否定———推理———矛盾———肯定．”“否定”———假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，而結(jié)論的反面成立．“推理”———從已知條件和假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用一系列的論據(jù)進(jìn)行推理．“矛盾”———通過(guò)推導(dǎo)，推出與實(shí)際“需要”不符、與“公理”矛盾、與“已知定理”矛盾、與“定義”矛盾、與“題設(shè)”矛盾、自相矛盾等．“肯定”———由于推理過(guò)程正確．故矛盾是由假設(shè)所引起的，因此，假設(shè)是錯(cuò)誤的，從而肯定結(jié)論是正確的．2.反證法證題的基本步驟（1）反設(shè)：假設(shè)原命題的結(jié)論不成立，即其反面成立；（2）歸謬：以命題的條件和所作的假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理，得出矛盾；（3）否定假設(shè)得出欲證結(jié)論：由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確。3．反證法解決的常見(jiàn)題型（1）易導(dǎo)出與已知矛盾的命題；（2）一些基本定理；（3）“否定性”命題；（4）“惟一性”命題；（5）“必然性”命題；（6）“至少”、“至多”命題．三、典例導(dǎo)析題型一否定型命題例1、試證不是有理數(shù)。思路導(dǎo)析:要求證的結(jié)論是以否定的形式出現(xiàn)的，因此可應(yīng)用反正法來(lái)進(jìn)行證明。證明：假設(shè)是有理數(shù)，注意到，可設(shè)（、為互質(zhì)的正整數(shù)，且），兩邊平方，得①，表明，是2的倍數(shù)，因?yàn)槭钦麛?shù)，故當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，令（），則，即是奇數(shù)，與是2的倍數(shù)矛盾。當(dāng)是偶數(shù)，又可設(shè)（），代入①式，整理后得②，②式表明，是2的倍數(shù)。這樣與都是2的倍數(shù)，它們至少有公因數(shù)2，與所作假定、為互質(zhì)的正整數(shù)相矛盾。因此不是有理數(shù)。規(guī)律總結(jié):在應(yīng)用反證法證題時(shí)，必須按“反設(shè)——?dú)w謬——結(jié)論”的步驟進(jìn)行，反正法的難點(diǎn)在于如何從假設(shè)中推出矛盾，從而說(shuō)明假設(shè)不成立。本題從假設(shè)中推出的結(jié)論是與自身相矛盾變式練習(xí)1求證：1，2，不可能是一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)。題型二“至少”、“至多”型命題例2．設(shè)均為實(shí)數(shù)，且，，求證：中至少有一個(gè)大于0。思路導(dǎo)析:如果直接從條件出發(fā)推證，方向不明，思路不清，不移入手，較難，說(shuō)證結(jié)論是以“至少”形式出現(xiàn)，因而可用反證法證明。證明：設(shè)中都不大于0，即而，這與矛盾，故中至少有一個(gè)大于0規(guī)律總結(jié):當(dāng)遇到命題的結(jié)論是以“至多”“至少”等形式給出時(shí)，一般是多用反證法；應(yīng)注意“至少有一個(gè)”“都是”的否定形式分別是“一個(gè)也沒(méi)有”“不都是”，本題是一個(gè)自相矛盾的題目類型。變式練習(xí)2已知，求證：中，至少有一個(gè)數(shù)大于25。題型三“唯一”性命題例3．求證：兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)。思路導(dǎo)析:此題是含有“有且只有一個(gè)”的命題，可考慮用反證法進(jìn)行證明。證明：假設(shè)結(jié)論不成立，則有兩種情況：或者沒(méi)有交點(diǎn)，或者不只一個(gè)交點(diǎn)。如果直線沒(méi)有交點(diǎn)，那么∥，這與已知矛盾；如果直線不只有一個(gè)交點(diǎn)，則至少交于點(diǎn)，這樣經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)就有兩條直線，這與兩點(diǎn)確定以直線矛盾。由（1）和（2）可知，假設(shè)錯(cuò)誤，所以，兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)。規(guī)律總結(jié):此題是證明一個(gè)命題的充要條件，用反證法證明了它的否定，從而獲得結(jié)論正確，也可正面證明，需證明存在性和唯一性。在證明唯一性命題時(shí)，應(yīng)找出除這一個(gè)元素外的其它的所有元素，并逐一推導(dǎo)出矛盾，排除掉。變式練習(xí)3已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)．問(wèn)是否存在常數(shù)，使不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．題型四肯定型命題例4．設(shè)函數(shù)對(duì)定義域上任意實(shí)數(shù)都有，且成立。求證：對(duì)定義域內(nèi)的任意都有。思路導(dǎo)析:這是一個(gè)肯定型命題，可考慮用反正發(fā)來(lái)進(jìn)行證明。證明：假設(shè)滿足體設(shè)條件的任意都有部成立，即存在某個(gè)有，，，又因?yàn)?，這與假設(shè)矛盾。假設(shè)不成立，故對(duì)定義域內(nèi)的任意都有。規(guī)律總結(jié):在反設(shè)命題的結(jié)論時(shí)要注意正確寫出結(jié)論的否定形式是非常重要的。在本體中對(duì)“任意都有”的否定是“存在某個(gè)有”變式練習(xí)4求證：正弦函數(shù)沒(méi)有比小的正周期．四、隨堂練習(xí)一、選擇題1．否定結(jié)論“至多有兩個(gè)解”的說(shuō)法中，正確的是()A．有一個(gè)解B．有兩個(gè)解C．至少有三個(gè)解D．至少有兩個(gè)解2.用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，反設(shè)正確的是()A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60°B．假設(shè)三內(nèi)角都大于60°C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60°D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°3.已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關(guān)系為()A．一定是異面直線B．一定是相交直線C．不可能是平行直線D．不可能是相交直線4.命題“任意多面體的面至少有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形”的結(jié)論的否定是________．5.用反證法證明命題：“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”的過(guò)程歸納為以下三個(gè)步驟：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾，則∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角；③假設(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A＝∠B＝90°.正確順序的序號(hào)排列為_(kāi)___________．6.已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求證：a>0，b>0，c>0.五、課后作業(yè)1.否定“自然數(shù)a、b、c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)的正確反設(shè)為()A．a(chǎn)、b、c都是奇數(shù)B．a(chǎn)、b、c或都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)C．a(chǎn)、b、c都是偶數(shù)D．a(chǎn)、b、c中至少有兩個(gè)偶數(shù)2.用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個(gè)是偶數(shù)”時(shí)，下列假設(shè)正確的是()A．假設(shè)a，b，c都是偶數(shù)B．假設(shè)a、b，c都不是偶數(shù)C．假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)偶數(shù)D．假設(shè)a，b，c至多有兩個(gè)偶數(shù)3.有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了四位歌手，甲說(shuō)：“是乙或丙獲獎(jiǎng)”，乙說(shuō)：“甲、丙都未獲獎(jiǎng)”，丙說(shuō)：“我獲獎(jiǎng)了”，丁說(shuō)：“是乙獲獎(jiǎng)了”，四位歌手的話只有兩句是對(duì)的，則獲獎(jiǎng)的歌手是()A．甲B．乙C．丙D．丁4.用反證法證明命題“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被5整除”，那么反設(shè)的內(nèi)容是________________．5.用反證法證明質(zhì)數(shù)有無(wú)限多個(gè)的過(guò)程如下：假設(shè)______________．設(shè)全體質(zhì)數(shù)為p1、p2、…、pn，令p＝p1p2…pn＋1.顯然，p不含因數(shù)p1、p2、…、pn.故p要么是質(zhì)數(shù)，要么含有______________的質(zhì)因數(shù)．這表明，除質(zhì)數(shù)p1、p2、…、pn之外，還有質(zhì)數(shù)，因此原假設(shè)不成立．于是，質(zhì)數(shù)有無(wú)限多個(gè)．6.已知a，b，c∈(0,1)．求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同時(shí)大于eq\f(1,4).第三課時(shí)反正法答案解析一、基礎(chǔ)預(yù)探（1）答案：不成立；假設(shè)錯(cuò)誤；原命題成立（2）答案：已知條件；數(shù)學(xué)公理；定理；公式；定義；已被證明的結(jié)論；公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)（3）答案：正難則反（4）答案：互為逆否；真假；逆否三．典例導(dǎo)析變式訓(xùn)練1.證明：假設(shè)1，2，是公差為d的等差數(shù)列的第p，q，r項(xiàng)，則，于是。因?yàn)閜，q，r均為整數(shù)，所以等式右邊是有理數(shù)，而等式左邊是無(wú)理數(shù)，二者不可能相等，推出矛盾。所以，1，2，不可能是一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)。2.證明：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即均不大于25，那么，這與已知條件相矛盾。所以，中，至少有一個(gè)數(shù)大于25。3.解：假設(shè)存在符合條件的．的圖象過(guò)，，即．又對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，令，則．，，．．由得據(jù)題意，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，與都成立．對(duì)于，若，則，不合題意；若，欲使的解集為，則需即解得．對(duì)于，再考慮，把代入，得，其解集為．所以，存在滿足條件的，其中．4.證明：假設(shè)是正弦函數(shù)的周期，且，則對(duì)任意實(shí)數(shù)都有成立．令，得，即，從而對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，這與矛盾．所以正弦函數(shù)沒(méi)有比小的正周期．四、隨堂練習(xí)1.C[解析]在邏輯中“至多有n個(gè)”的否定是“至少有n＋1個(gè)”，所以“至多有兩個(gè)解”的否定為“至少有三個(gè)解”，故應(yīng)選C.2.B[解析]“至少有一個(gè)不大于”的否定是“都大于60°”．故應(yīng)選B.3.C[解析]假設(shè)c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線．故應(yīng)選C.4.沒(méi)有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形[解析]“至少有一個(gè)”的否定是“沒(méi)有一個(gè)”．5.③①②[解析]由反證法證明的步驟知，先反證即③，再推出矛盾即①，最后作出判斷，肯定結(jié)論即②，即順序應(yīng)為③①②.6.[證明]用反證法：假設(shè)a，b，c不都是正數(shù)，由abc>0可知，這三個(gè)數(shù)中必有兩個(gè)為負(fù)數(shù)，一個(gè)為正數(shù)，不妨設(shè)a<0，b<0，c>0，則由a＋b＋c>0，可得c>－(a＋b)，又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，這與已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假設(shè)不成立．因此a>0，b>0，c>0成立．五、課后作業(yè)1.B[解析]a，b，c三個(gè)數(shù)的奇、偶性有以下幾種情況：①全是奇數(shù)；②有兩個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)；③有一個(gè)奇數(shù)，兩個(gè)偶數(shù)；④三個(gè)偶數(shù)．因?yàn)橐穸á冢约僭O(shè)應(yīng)為“全是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)”．故應(yīng)選B.2.B[解析]“至少有一個(gè)”反設(shè)詞應(yīng)為“沒(méi)有一個(gè)”，也就是說(shuō)本題應(yīng)假設(shè)為a，b，c都不是偶數(shù)．3.C[解析]因?yàn)橹挥幸蝗双@獎(jiǎng)，所以丙、丁只有一個(gè)說(shuō)對(duì)了，同時(shí)甲、乙中只有一人說(shuō)對(duì)了，假設(shè)乙說(shuō)的對(duì)，這樣丙就錯(cuò)了，丁就對(duì)了，也就是甲也對(duì)了，與甲錯(cuò)矛盾，所以乙說(shuō)錯(cuò)了，從而知甲、丙對(duì)，所以丙為獲獎(jiǎng)歌手．故應(yīng)選C.4.a，b都不能被5整除[解析]“至少有一個(gè)”的否定是“都不能”．5.質(zhì)數(shù)只有有限多個(gè)除p1、p2、…、pn之外[解析]由反證法的步驟可得．6.[證明]證法1：假設(shè)(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都大于eq\f(1,4).∵a、b、c都是小于1的正數(shù)，∴1－a、1－b、1－c都是正數(shù).eq\f((1－a)＋b,2)≥eq\r((1－a)b)＞eq\r(\f(1,4))＝eq\f(1,2)，同理eq\f((1－b)＋c,2)＞eq\f(1,2)，eq\f((1－c)＋a,2)＞eq\f(1,2).三式相加，得eq\f((1－a)＋b,2)＋eq\f((1－b)＋c,2)＋eq\f((1－c)＋a,2)＞eq\f(3,2)，即eq\f(3,2)＞eq\f(3,2)，矛盾．所以(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a不能都大于eq\f(1,4).證法2：假設(shè)三個(gè)式子同時(shí)大于eq\f(1,4)，即(1－a)b>eq\f(1,4)，(1－b)c>eq\f(1,4)，(1－c)a>eq\f(1,4)，三式相乘得(1－