高中數學人教A版第二章點直線平面之間的位置關系（省一等獎）

(本欄目內容，在學生用書中以獨立形式分冊裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．若正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知P，Q分別是棱AA1，CC1的中點，則過點B，P，Q的截面是()A．鄰邊不等的平行四邊形 B．菱形但不是正方形C．鄰邊不等的矩形 D．正方形解析：如圖所示，過點B，P，Q的截面是菱形PBQD1.答案：B2．直線a∥平面α，α內有n條直線交于一點，則這n條直線中與直線a平行的直線有()A．0條 B．1條C．0或1條 D．無數條解析：過直線a與交點作平面β，設平面β與α交于直線b，則a∥b，若所給n條直線中有1條是與b重合的，則此直線與直線a平行；若沒有重合的，則與直線a平行的直線有0條，故選C.答案：C3．已知平面α∥平面β，平面γ∩平面α＝直線a，平面γ∩平面β＝直線b，直線c?β，且c∥b，則下列說法不正確的是()A．c∥a B．a∥bC．b∥β D．c∥α解析：根據題意畫出圖形，如圖所示，由圖易知只有選項C不正確，因為b?β.答案：C4．已知a，b表示兩條不同的直線，α，β表示兩個不重合的平面，給出下列四個命題：①若α∥β，a?α，b?β，則a∥b；②若a∥b，a∥α，b∥β，則α∥β；③若α∥β，a?α，則a∥β；④若a∥α，a∥β，則α∥β.其中正確的個數為()A．1 B．2C．3 D．4解析：對于①，a∥b或a與b是異面直線，故①錯；對于②，也可能是α與β相交，故②錯；對于④，同樣α與β也可能相交，故④錯；只有③正確．答案：A二、填空題(每小題5分，共15分)5．在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是棱A1B1，B1C1的中點，P是棱AD上一點，AP＝eq\f(1,3)，過點P，E，F的平面與棱CD交于Q，則PQ＝________.解析：∵EF∥平面ABCD，PQ＝平面PEF∩平面ABCD，∴EF∥PQ，∴DP＝DQ＝eq\f(2,3)，故PQ＝eq\r(PD2＋DQ2)＝eq\r(2)DP＝eq\f(2\r(2),3).答案：eq\f(2\r(2),3)6．如圖所示，直線a∥平面α，點A在α另一側，點B，C，D∈a.線段AB，AC，AD分別交α于點E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，則EG＝________.解析：A?a，則點A與直線a確定一個平面，即平面ABD.因為a∥α，且α∩平面ABD＝EG，所以a∥EG，即BD∥EG.所以eq\f(AF,AC)＝eq\f(AE,AB).又eq\f(EG,BD)＝eq\f(AE,AB)，所以eq\f(AF,AC)＝eq\f(EG,BD).于是EG＝eq\f(AF·BD,AC)＝eq\f(5×4,5＋4)＝eq\f(20,9).答案：eq\f(20,9)7．已知a，b表示兩條直線，α，β，γ表示三個不重合的平面，給出下列命題：①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，則α∥β；②若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，則α∥β；③若a∥α，a∥β，則α∥β；④若a?α，a∥β，α∩β＝b，則a∥b.其中正確命題的序號是________．解析：①錯誤，α與β也可能相交；②正確，設a，b確定的平面為γ，依題意，得γ∥α，γ∥β，故α∥β；③錯誤，α與β也可能相交；④正確，由線面平行的性質定理可知．答案：②④三、解答題(每小題10分，共20分)8．如圖，幾何體E－ABCD是四棱錐，△ABD為正三角形，CB＝CD，∠BCD＝120°，M為線段AE的中點．求證：DM∥平面BEC.證明：取線段AB的中點N，連接MN，DN，因為MN是△ABE的中位線，所以MN∥BE.又MN?平面BEC，BE?平面BEC，所以MN∥平面BEC.因為△ABD是正三角形，N是線段AB的中點，所以ND⊥AB.因為CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°＋30°＝90°，所以BC⊥AB，所以ND∥BC.又ND?平面BEC，BC?平面BEC，所以ND∥平面BEC.又MN∩ND＝N，所以平面MND∥平面BEC.因為直線DM?平面MND，所以DM∥平面BEC.9．如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：GH∥PA.證明：如圖所示，連接AC交BD于點O，連接MO.∵ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點，又M是PC的中點，∴PA∥MO，而AP?平面BDM，OM?平面BDM，∴PA∥平面BMD，又∵PA?平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.10.如圖，四棱錐S－ABCD的所有的棱長都等于2，E是SA的中點，過C，D，E三點的平面與SB交于點F，則四邊形DEFC的周長為()A．2＋eq\r(3) B．3＋eq\r(3)C．3＋2eq\r(3) D．2＋2eq\r(3)解析：因為CD∥AB，AB?平面SAB，CD?平面SAB，所以CD∥平面SAB.又CD?平面CDEF，平面SAB∩平面CDEF＝EF，所以CD∥EF，所以四邊形CDEF為等腰梯形，且CD＝2，EF＝1，DE＝CF＝eq\r(3)，所以四邊形CDEF的周長為3＋2eq\r(3)，選C.答案：C11.如圖，四邊形ABCD是空間四邊形，E、F、G、H分別是四邊上的點，它們共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，則當四邊形EFGH是菱形時，AE∶EB＝______________.解析：因為AC∥平面EFGH，所以EF∥AC，HG∥AC.所以EF＝HG＝eq\f(BE,BA)·m.同理，EH＝FG＝eq\f(AE,AB)·n.因為四邊形EFGH是菱形，所以eq\f(BE,AB)·m＝eq\f(AE,AB)·n，所以AE∶EB＝m∶n.答案：m∶n12.如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中點，在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB1C1？并證明你的結論．解析：當E為棱AB的中點時，DE∥平面AB1C1.證明如下：如圖所示，取BB1的中點F，連接EF，FD，DE，AC1.因為D，E，F分別為CC1，AB，BB1的中點，所以EF∥AB1.因為AB1?平面AB1C1，EF?平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.同理可證FD∥平面AB1C1.因為EF∩FD＝F，所以平面EFD∥平面AB1C1.因為DE?平面EFD，所以DE∥平面AB1C1.13.如圖所示，四邊形EFGH為空間四面體ABCD的一個截面，若截面為平行四邊形．(1)求證：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍．解析：(1)證明：因為四邊形EFGH為平行四邊形，所以EF∥HG.因為HG?平面ABD，EF?平面ABD，所以EF∥平面ABD.因為EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，所以EF∥AB，所以AB∥平面EFGH.同理，可證CD∥平面EFGH.(2)設EF＝x(0＜x＜4)，由(1)知，eq\f(CF,CB)＝eq\f(x,4).則eq\f(FG,6)＝eq\f