【教案】橢圓難點專項突破教案-2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

橢圓（難點突破）學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程．2．掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率)．3．了解橢圓的簡單應(yīng)用．4．理解數(shù)形結(jié)合的思想．考向預(yù)測·考情分析：橢圓方程，幾何性質(zhì)，如范圍、對稱性、頂點、離心率等，直線與橢圓的位置關(guān)系，定值、定點與存在性等綜合問題，仍是高考考查的熱點，題型仍將是選擇題，填空題，解答題．學(xué)科素養(yǎng)：通過橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程的求解研究橢圓的幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系考查數(shù)學(xué)運算、直觀想象的核心素養(yǎng)．必備知識——基礎(chǔ)落實贏得良好開端一、必記2個知識點1．橢圓的定義條件結(jié)論1結(jié)論2平面內(nèi)的動點M與平面內(nèi)的兩個定點F1，F(xiàn)2M點的軌跡為橢圓________為橢圓的焦點|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)________為橢圓的焦距2.橢圓的簡單幾何性質(zhì)(a2＝b2＋c2)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+y2by2a2+x2b圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對稱性對稱軸：________對稱中心：________頂點A1______，A2______B1______，B2______A1______，A2______B1______，B2______性質(zhì)軸長軸A1A2的長為________短軸B1B2的長為________焦距|F1F2|＝________離心率e＝ca∈a，b，c的關(guān)系________二、必明4個常用結(jié)論1．P是橢圓上一點，F(xiàn)為橢圓的焦點，則|PF|∈[a－c，a＋c]，即橢圓上的點到焦點距離的最大值為a＋c，最小值為a－c.2．橢圓的通徑(過焦點且垂直于長軸的弦)長為2b3．P是橢圓上不同于長軸兩端點的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的兩焦點，則△PF1F2的周長為2(a＋c)．4．設(shè)P，A，B是橢圓上不同的三點，其中A，B關(guān)于原點對稱，則直線PA與PB的斜率之積為定值－b2考點突破掌握類題通法考點一橢圓的定義及應(yīng)用[綜合性][例1](1)已知P是橢圓x2＋5y2＝25上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的左，右焦點，且|PF1|＝7，則|PF2|＝()A．1B．3C．5D．9(2)設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓x249+y224＝1的兩個焦點，P是橢圓上的點，且∠F1PF2＝60°，則△F反思感悟橢圓定義的應(yīng)用技巧橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個方面：一是確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點有關(guān)的軌跡是否為橢圓；二是當(dāng)P在橢圓上時，與橢圓的兩焦點F1，F(xiàn)2組成的三角形通常稱為“焦點三角形”，利用定義可求其周長，利用定義和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通過整體代入可求其面積等．考點二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程[綜合性][例2](1)[江蘇省蘇州中學(xué)月考]已知橢圓C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為33，過F2的直線l交C于A，B兩點，若△AF1BA．x23＋y2＝1B．xC．x212+y28(2)橢圓C的焦點分別為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，直線l與C交于A，B兩點，若AF1＝2F1B，AFA．x22＋y2＝1B．xC．x24+y23反思感悟求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟考點三橢圓的幾何性質(zhì)[綜合性]角度1求橢圓的離心率[例3](1)[安徽蚌埠高三開學(xué)考試]已知橢圓x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的右頂點為A，坐標(biāo)原點為O，若橢圓上存在一點A．33B．22C．63(2)[2022·昆明市云南師大附中高三月考]已知橢圓x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在一點P，使得|PF1|－|PF2A．0，12C．(0，22]D．[22反思感悟求橢圓離心率或其取值范圍的方法(1)求出a，b或a，c的值，代入e2＝c2a2＝a2-(2)先根據(jù)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次等式(不等式)，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次等式(不等式)，然后將該齊次等式(不等式)兩邊同時除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e或e2的方程(不等式)，再解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．角度2最值(或范圍)問題[例4](1)[2021·全國乙卷]設(shè)B是橢圓C：x25＋y2＝1的上頂點，點P在C上，則|PB|的最大值為(A．52B．C．5D．2(2)已知橢圓x24+y2b2＝1(0<b<2)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，若|BF2|＋|AF2|反思感悟求解最值、取值范圍問題的技巧(1)與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要結(jié)合圖形進行分析，即使畫不出圖形，思考時也要聯(lián)想到一個圖形．(2)橢圓的范圍或最值問題常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0<e<1，在求橢圓的相關(guān)量的范圍時，要注意應(yīng)用這些不等關(guān)系．(3)最值問題，將所求列出表達式，構(gòu)造基本不等式或利用函數(shù)單調(diào)性求解．考點四直線與橢圓的位置關(guān)系[綜合性][例5][2020·全國卷Ⅲ]已知橢圓C：x225+y2m2＝1(0<m<5)的離心率為15(1)求C的方程；(2)若點P在C上，點Q在直線x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面積．反思感悟1．判斷直線與橢圓位置關(guān)系的四個步驟第一步：確定直線與橢圓的方程．第二步：聯(lián)立直線方程與橢圓方程．第三步：消元得出關(guān)于x(或y)的一元二次方程．第四步：當(dāng)Δ>0時，直線與橢圓相交；當(dāng)Δ＝0時，直線與橢圓相切；當(dāng)Δ<0時，直線與橢圓相離．2．直線被橢圓截得的弦長公式設(shè)直線與橢圓的交點坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝1+k2x1+x橢圓難點突破專項練習(xí)1．已知焦點在x軸上，中心在原點，離心率為的橢圓經(jīng)過點M（2，1），動點A，B（不與點M重合）均在橢圓上，且直線MA與MB的斜率之和為1．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）證明直線AB經(jīng)過定點，并求這個定點的坐標(biāo)．2．橢圓E：+＝1（a＞b＞0）的焦點到直線x﹣3y＝0的距離為，離心率為，拋物線G：y2＝2px（p＞0）的焦點與橢圓E的焦點重合；斜率為k的直線l過G的焦點與E交于A，B，與G交于C，D．（1）求橢圓E及拋物線G的方程；（2）是否存在常數(shù)λ，使為常數(shù)，若存在，求λ的值，若不存在，說明理由．3．已知橢圓）的右焦點為F，點A（﹣a，0）與點B（0，b）是橢圓的頂點，．（Ⅰ）求橢圓C的離心率e；（Ⅱ）設(shè)以離心率e為斜率的直線l經(jīng)過點A，與橢圓C相交于點P（點P不在坐標(biāo)軸上）（?。┳C明：點F在以線段AP為直徑的圓上；（ⅱ）?+?＝8，求橢圓C的方程．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的離心率e＝，左頂點為A（﹣4，0），過點A作斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓C于點D，交y軸于點E．（1）求橢圓C的方程；（2）已知P為AD的中點，是否存在定點Q，對于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在說明理由；（3）若過O點作直線l的平行線交橢圓C于點M，求的最小值．5．已知橢圓C：（a＞b＞0）的短軸長為4，離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓C的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左，右頂點分別為A，B，點M，N為橢圓C上位于x軸上方的兩點，且F1M∥F2N，記直線AM，BN的斜率分別為k1，k2，若3k1+2k2＝0，求直線F1M的方程．6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＝1（a＞b＞0）的離心率為，直線y＝x被橢圓C截得的線段長為．（1）求橢圓C的方程；（2）過原點的直線與橢圓C交于A、B兩點（A，B不是橢圓C的頂點），點D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線BD與x軸y軸分別交于M，N兩點．①設(shè)直線BD，AM斜率分別為k1，k2，證明存在常數(shù)λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；②求△OMN面積的最大值．7．已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）上的點到它兩個焦點的距離之和為4，以橢圓C的短軸為直徑的圓O經(jīng)過兩個焦點，點A，B分別是橢圓C的左、右頂點．（Ⅰ）求圓O和橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)P，Q分別是橢圓C和圓O上的動點（P，Q位于y軸兩側(cè)），且直線PQ與x軸平行，直線AP，BP分別與y軸交于點M，N，試判斷QM與QN所在的直線是否互相垂直，若是，請證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由．8．已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的短軸的一個頂點與兩個焦點構(gòu)成正三角形，且該三角形的面積為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓C的左右焦點，若橢圓C的一個內(nèi)接平行四邊形的一組對邊過點F1和F2，求這個平行四邊形的面積最大值．9．已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，且F2也是拋物線E：y2＝4x的焦點，P為橢圓C與拋物線E在第一象限的交點，且|PF2|＝．（1）求橢圓C的方程；（2）若直線y＝k（x﹣1）與橢圓C交于R，S兩點，問是否在x軸上存在一點T，使得當(dāng)k變動時，總有∠OTS＝∠OTR？說明理由．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，右頂點為A，直線BC過原點O，且點B在x軸上方，直線AB與AC分別交直線l：x＝a+1于點E、F．（Ⅰ）若點B（），求橢圓C的方程；（Ⅱ）若點B為動點，設(shè)直線AB與AC的斜率分別為k1，k2．①試探究：k1?k2是否為定值？若為定值，請求出；若不為定值，請說明理由；②求△AEF的面積的最小值．11．已知橢圓C1：（a＞b＞0）的上頂點為A，離心率為．拋物線C2：y＝﹣x2+1截x軸所得的線段長為C1的長半軸長．（Ⅰ）求橢圓C1的方程；（Ⅱ）過原點的直線l與C2相交于B，C兩點，直線AB，AC分別與C1相交于P，Q兩點①證明：以BC為直徑的圓經(jīng)過點A；②記△ABC和△APQ的面積分別是S1，S2，求的最小值．12．已知離心率為的橢圓C：（a＞b＞0）經(jīng)過點（2，1）．A，B，M為橢圓上三點，且滿足|MA|＝|MB|．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）當(dāng)A，B關(guān)于原點O對稱時，是否存在定圓，使得AM恒與該定圓相切，若存在，求出該定圓的方程，若不存在，說明理由．13．已知橢圓C的中心在原點，離心率等于，它的一個短軸端點恰好是拋物線x2＝8y的焦點．（1）求橢圓C的方程；（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是橢圓上的兩點，A，B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動點，①若直線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值；②當(dāng)A、B運動時，滿足∠APQ＝∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．14．如圖，已知橢圓（a＞b＞0）的左右頂點分別是A，B，離心率為，設(shè)點P（a，t）（t），連接PA交橢圓于點C，坐標(biāo)原點是O．（1）證明：OP⊥BC；（2）設(shè)三角形ABC的面積為S1，四邊形OBPC的面積為S2，若的最小值為1，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．15．如圖，橢圓的右頂點為A（2，0），左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點A且斜率為的直線與y軸交于點P，與橢圓交于另一個點B，且點B在x軸上的射影恰好為點F1．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點P的直線與橢圓交于M，N兩點（M，N不與A，B重合），若S△PAM＝6S△PBN，求直線MN的方程．16．設(shè)橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，且A（a，0）、B（0，b）滿足條件|AB|＝|F1F2|．（Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）若坐標(biāo)原點O到直線AB的距離為，求橢圓C的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點P（﹣2，1）的直線l與橢圓C交于M、N兩點，且點P恰為線段MN的中點，求直線l的方程．17．已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，離心率為，過橢圓的左焦點F且傾斜角為60°的直線與圓x2+y2＝相切（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若直線l：y＝kx+m與橢圓C交于不同的兩點M，N（M，N是左、右頂點），若以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓C的右頂點A，判斷直線l是否過定點，若是，求出該定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．18．已知平面直角坐標(biāo)系中，點（4，0）到拋物線C1：y2＝2px（p＞0）準(zhǔn)線的距離等于5，橢圓C2：＝1（a＞b＞0）的離心率為，且過點．（1）求C1，C2的方程；（2）如圖，過點E（m，0）（m＞2）作橢圓C2的切線交C1于A，B兩點，在x軸上取點G，使得∠AGE＝∠BGE，試解決以下問題：①證明：點G與點E關(guān)于原點中心對稱；②若已知△ABG的面積是橢圓C2四個頂點所圍成菱形面積的16倍，求切線AB的方程．19．橢圓的中心在坐標(biāo)原點，其左焦點F1與拋物線y2＝﹣4x的焦點重合，過F1的直線l與橢圓交于A、B兩點，與拋物線交于C、D兩點．當(dāng)直線l與x軸垂直時，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求過點F1、O（O為坐標(biāo)原點），并且與直線（其中a為長半軸長，c為橢圓的半焦距）相切的圓的方程；（Ⅲ）求＝時直線l的方程．20．已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0），且橢圓上的點到一個焦點的最短距離為b．（Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）若點M（，）在橢圓C上，不過原點O的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，與直線OM相交于點N，且N是線段AB的中點，求△OAB面積的最大值．21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的離心率為，點（2，1）在橢圓C上．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l與圓O：x2+y2＝2相切，與橢圓C相交于P，Q兩點．①若直線l過橢圓C的右焦點F，求△OPQ的面積；②求證：OP⊥OQ．22．已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的離心率為，左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點A在橢圓C上，△AF1F2的周長為6．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過點A作直線l與橢圓C的另一個交點為B，若以AB為直徑的圓恰好過坐標(biāo)原點O，求證：為定值．23．如圖，橢圓E：+＝1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（0，﹣1），且離心率為．（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）經(jīng)過點（1，1），且斜率為k的直線與橢圓E交于不同兩點P，Q（均異于點A），問直線AP與AQ的斜率之和是否為定值，若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．24．已知橢圓C的中心在原點，離心率等于，它的一個短軸端點恰好是拋物線的焦點．（1）求橢圓C的方程；（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是橢圓上的兩點，A，B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動點．①若直線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值；②當(dāng)A，B運動時，滿足直線PA、PB與X軸始終圍成一個等腰三角形，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．25．橢圓G：+＝1（a＞b＞0）的對稱中心是坐標(biāo)原點O，其短軸的一個端點為B，焦點F（c，0）（c＞0），△OBF為等腰三角形．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）點N（0，3）到橢圓上的點的最遠(yuǎn)距離為5．（i）求此時橢圓G的方程；（ii）設(shè)斜率為k（k≠0）的直線與橢圓G交于互異兩點S，T，Q為線段ST的中點，問S，T兩點能否關(guān)于過點P（0，﹣）和Q的直線對稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，說明理由．參考答案與解析一、1．F1，F(xiàn)2|F1F2|2．x軸，y軸坐標(biāo)原點(－a，0)(a，0)(0，－b)(0，b)(0，－a)(0，a)(－b，0)(b，0)2a2b2c(0，1)c2＝a2－b2考點一例1解析：(1)對橢圓方程x2＋5y2＝25變形得，x225+y2由橢圓的定義可得，|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10，又因為|PF1|＝7，所以|PF2|＝10－7＝3.(2)由題意得，a＝7，b＝26，c＝5，設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，則m＋n＝14，在△F1PF2中，|F1F2|2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，則100＝(m＋n)2－2mn－2mncos60°，解得mn＝32，S△F1PF2＝答案：(1)B(2)83考點二例2解析：(1)由題知：ca=3所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x23(2)因為AF2

·F1F2＝0，所以AF2⊥F1F2，過B由AF1＝2F1B知，AB過點F1，且AF1所以△BCF1∽△AF2F1，設(shè)A(1，y0)，則B-2，代入橢圓方程可得1a2+y02又c＝1，所以b2＝4，所以橢圓的方程為x25答案：(1)B(2)D考點三例3解析：(1)△OAP是等腰直角三角形，則P是直角頂點，所以Pa2所以a24a2+a24b2＝1，a2＝3b2＝3(a2－(2)PF1+PF2=2aPF1-PF2=2b，所以|PF1|＝a＋b，又|PF1|≤a＋c，所以答案：(1)C(2)D例4解析：(1)方法一設(shè)點P(x，y)，則根據(jù)點P在橢圓x25＋y2＝1上可得x2＝5－5y2.易知點B(0，1)，所以根據(jù)兩點間的距離公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝254－(2y＋1當(dāng)2y＋12＝0，即y＝－14(滿足|y|≤1)時，|PB|2取得最大值254，所以PB方法二因為點P在橢圓x25＋y2＝1上，所以可設(shè)點P(5cosθ，sinθ)．易知點B(0，1)，所以根據(jù)兩點間的距離公式得|PB|2＝(5cosθ)2＋(sinθ－1)2＝4cos2θ－2sinθ＋2＝－4sin2θ－2sinθ＋6＝254－(2sinθ＋12)2.易知當(dāng)2sinθ＋12＝0，即sinθ＝－14時，|PB|2取得最大值254，所以(2)由橢圓的方程可知a＝2，由橢圓的定義可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，由橢圓的性質(zhì)可知2b2a＝3.所以b2＝3，即b考點四例5解析：(1)由題設(shè)可得25-m25＝154，得m2＝2516，所以(2)設(shè)P(xP，yP)，Q(6，yQ)，根據(jù)對稱性可設(shè)yQ＞0，由題意知yP＞0.由已知可得B(5，0)，直線BP的方程為y＝－1yQ(x－所以|BP|＝y(tǒng)P因為|BP|＝|BQ|，所以yP＝1，將yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或－3.由直線BP的方程得yQ＝2或8.所以點P，Q的坐標(biāo)分別為P1(3，1)，Q1(6，2)；P2(－3，1)，Q2(6，8)．|P1Q1|＝10，直線P1Q1的方程為y＝13x，點A(－5，0)到直線P1Q1的距離為102，故△AP1Q1的面積為12|P2Q2|＝130，直線P2Q2的方程為y＝79x＋103，點A到直線P2Q2的距離為13026，故△AP2Q2的面積為1綜上，△APQ的面積為52橢圓難點突破練習(xí)1．已知焦點在x軸上，中心在原點，離心率為的橢圓經(jīng)過點M（2，1），動點A，B（不與點M重合）均在橢圓上，且直線MA與MB的斜率之和為1．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）證明直線AB經(jīng)過定點，并求這個定點的坐標(biāo)．（Ⅰ）解：設(shè)橢圓，由離心率為，得，又因為a2＝b2+c2，所以a2＝4b2.由M（2，1）在橢圓上可得，解得b2＝2，a2＝8．所以橢圓G的方程為．（Ⅱ）證明：當(dāng)直線AB與x軸垂直時，設(shè)A（s，t）（s≠1），則B（s，﹣t）．由題意得：，即s＝0．所以直線AB的方程為x＝0．當(dāng)直線AB不與x軸垂直時，可設(shè)直線AB為y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），將y＝kx+m代入得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣8＝0，所以，．由已知可得①，將y1＝kx1+m和y2＝kx2+m代入①，并整理得（2k﹣1）x1x2+（m﹣2k+1）（x1+x2）﹣4m＝0②，將，代入②，并整理得m2+（2k+1）m+4k﹣2＝0，可得（2k+m﹣1）（m+2）＝0，因為直線AB：y＝kx+m不經(jīng)過點M（2，1），所以2k+m﹣1≠0，故m＝﹣2．所以直線AB的方程為y＝kx﹣2，經(jīng)過定點（0，﹣2）．綜上所述，直線AB經(jīng)過定點（0，﹣2）．2．橢圓E：+＝1（a＞b＞0）的焦點到直線x﹣3y＝0的距離為，離心率為，拋物線G：y2＝2px（p＞0）的焦點與橢圓E的焦點重合；斜率為k的直線l過G的焦點與E交于A，B，與G交于C，D．（1）求橢圓E及拋物線G的方程；（2）是否存在常數(shù)λ，使為常數(shù)，若存在，求λ的值，若不存在，說明理由．解：（1）設(shè)E、G的公共焦點為F（c，0），由題意得，．聯(lián)立解得．所以橢圓E：，拋物線G：y2＝8x．（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．直線l的方程為y＝k（x﹣2），與橢圓E的方程聯(lián)立，得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5＝0Δ＝400k4﹣20（5k2+1）（4k2﹣1）＝20（k2+1）＞0．＝．直線l的方程為y＝k（x﹣2），與拋物線G的方程聯(lián)立，得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0．．．＝．要使為常數(shù)，則20+＝4，得．故存在，使為常數(shù)．3．已知橢圓）的右焦點為F，點A（﹣a，0）與點B（0，b）是橢圓的頂點，．（Ⅰ）求橢圓C的離心率e；（Ⅱ）設(shè)以離心率e為斜率的直線l經(jīng)過點A，與橢圓C相交于點P（點P不在坐標(biāo)軸上）（ⅰ）證明：點F在以線段AP為直徑的圓上；（ⅱ）?+?＝8，求橢圓C的方程．解：（Ⅰ）由題意可得F（c，0），A（﹣a，0），B（0，b），所以|AF|＝a+c，|BF|＝＝a，因為，，所以a＝（a+c），解得a＝2c，所以離心率為e＝＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b2＝a2﹣c2＝3c2，所以B（0，c），橢圓的方程為+＝1，因為以離心率e為斜率的直線l經(jīng)過點A，所以直線l的方程為y＝（x+2c），聯(lián)立直線l與橢圓的方程得x2+cx﹣2c2＝0，所以xAxP＝﹣2c2，即﹣2cxP＝﹣2c2，解得xP＝c，所以yP＝（c+2c）＝，所以P（c，），（?。┧裕剑?c，0），＝（0，﹣），所以?＝0．（ⅱ）＝（3c，），＝（c，﹣c），＝（2c，c），＝（c，﹣c），因為?+?＝8，所以3c2﹣c2+2c2+c2﹣3c2＝8，解得c2＝4，所以a2＝4c2＝16，b2＝3c2＝12，所以+＝1．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的離心率e＝，左頂點為A（﹣4，0），過點A作斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓C于點D，交y軸于點E．（1）求橢圓C的方程；（2）已知P為AD的中點，是否存在定點Q，對于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在說明理由；（3）若過O點作直線l的平行線交橢圓C于點M，求的最小值．解：（1）∵橢圓C：＝1（a＞b＞0）的離心率e＝，左頂點為A（﹣4，0），∴a＝4，又，∴c＝2．…（2分）又∵b2＝a2﹣c2＝12，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．…（4分）（2）直線l的方程為y＝k（x+4），由消元得，．化簡得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12）]＝0，∴x1＝﹣4，．…（6分）當(dāng)時，，∴．∵點P為AD的中點，∴P的坐標(biāo)為，則．…（8分）直線l的方程為y＝k（x+4），令x＝0，得E點坐標(biāo)為（0，4k），假設(shè)存在定點Q（m，n）（m≠0），使得OP⊥EQ，則kOPkEQ＝﹣1，即恒成立，∴（4m+12）k﹣3n＝0恒成立，∴，即，∴定點Q的坐標(biāo)為（﹣3，0）．…（10分）（3）∵OM∥l，∴OM的方程可設(shè)為y＝kx，由，得M點的橫坐標(biāo)為，…（12分）由OM∥l，得＝…（14分）＝，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，∴當(dāng)時，的最小值為．…（16分）5．已知橢圓C：（a＞b＞0）的短軸長為4，離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓C的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左，右頂點分別為A，B，點M，N為橢圓C上位于x軸上方的兩點，且F1M∥F2N，記直線AM，BN的斜率分別為k1，k2，若3k1+2k2＝0，求直線F1M的方程．解：（I）由題意可得：2b＝4，＝，a2＝b2+c2．聯(lián)立解得：b＝2，c＝1，a＝3．∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+＝1．（II）A（﹣3，0），B（3，0），F(xiàn)1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），設(shè)F1M的方程為：x＝my﹣1，M（x1，y1），（y1＞0），直線F1M與橢圓的另一個交點為M′（x2，y2）．∵F1M∥F2N，根據(jù)對稱性可得：N（﹣x2，﹣y2）．聯(lián)立，化為：（8m2+9）y2﹣16my﹣64＝0，∴y1+y2＝，y1y2＝，∵3k1+2k2＝0，∴+＝0，即5my1y2+6y1+4y2＝0，聯(lián)立解得：y1＝，y2＝，∵y1＞0，y2＜0，∴m＞0．∴y1y2＝?＝，∴m＝±．又m＞0，∴m＝．∴直線F1M的方程為x＝y(tǒng)﹣1，即2x+y+2＝0．6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＝1（a＞b＞0）的離心率為，直線y＝x被橢圓C截得的線段長為．（1）求橢圓C的方程；（2）過原點的直線與橢圓C交于A、B兩點（A，B不是橢圓C的頂點），點D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線BD與x軸y軸分別交于M，N兩點．①設(shè)直線BD，AM斜率分別為k1，k2，證明存在常數(shù)λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；②求△OMN面積的最大值．解：（1）∵橢圓C：＝1（a＞b＞0）的離心率為，∴，∴＝，∴＝，∴a2＝4b2，①設(shè)直線y＝x與橢圓交于P，Q兩點，設(shè)P是直線與橢圓在第一象限的交點，∵直線y＝x被橢圓C截得的線段長為，∴P（，），∴+＝1，解得a2+b2＝，②聯(lián)立①②，解得a2＝4，b2＝1，∴橢圓方程為＝1．證明：（2）①設(shè)A（x1，y1），（x1y1≠0），D（x2，y2），則B（﹣x1，﹣y1），直線AB的斜率，又AB⊥AD，∴直線AD的斜率k＝﹣，設(shè)直線AD的方程為y＝kx+m，由題意得k≠0，m≠0，聯(lián)立，得（1+4k2）x2+8mkx+4m2﹣4＝0，∴x1+x2＝﹣，y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝，由題意知x1≠﹣x2，∴k1＝＝﹣＝，∴直線BD的方程為y+y1＝（x+x1），令y＝0，得x＝3x1，即M（3x1，0），解得k2＝﹣，∴，則，∴存在常數(shù)λ＝﹣，使結(jié)論成立．解：②直線BD的方程為y+y1＝（x+x1），令x＝0，得y＝﹣，即N（0，﹣），由①知M（3x1，0），得△OMN的面積S＝＝，∵|x1||y1|＝1，當(dāng)且僅當(dāng)＝|y1|＝時，等號成立，此時S取得最大值，∴△OMN面積的最大值為．7．已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）上的點到它兩個焦點的距離之和為4，以橢圓C的短軸為直徑的圓O經(jīng)過兩個焦點，點A，B分別是橢圓C的左、右頂點．（Ⅰ）求圓O和橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)P，Q分別是橢圓C和圓O上的動點（P，Q位于y軸兩側(cè)），且直線PQ與x軸平行，直線AP，BP分別與y軸交于點M，N，試判斷QM與QN所在的直線是否互相垂直，若是，請證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由．解：（Ⅰ）由題意可得，解得a＝2，b＝c＝，所以圓O的方程為x2+y2＝2，橢圓C的方程為+＝1．（Ⅱ）QM⊥QN．證明：設(shè)P（x0，y0）（y0≠0），Q（xQ，y0），則，即，又由AP：y＝（x+2）得M（0，），由BP：y＝（x﹣2），得N（0，﹣），所以＝（﹣xQ，﹣y0）＝（﹣xQ．﹣），＝（﹣xQ．﹣﹣y0）＝（﹣xQ，），所以?＝xQ2+＝2﹣y02+＝0，所以QM⊥QN．8．已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的短軸的一個頂點與兩個焦點構(gòu)成正三角形，且該三角形的面積為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓C的左右焦點，若橢圓C的一個內(nèi)接平行四邊形的一組對邊過點F1和F2，求這個平行四邊形的面積最大值．20．（本小題滿分12分）解：（1）∵橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的短軸的一個頂點與兩個焦點構(gòu)成正三角形，且該三角形的面積為，∴依題意，解得a＝2，b＝，c＝1，∴橢圓C的方程為：．…（5分）（2）設(shè)過橢圓右焦點F2的直線l：x＝ty+1與橢圓交于A，B兩點，則，整理，得：（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，由韋達定理，得：，，∴|y1﹣y2|＝＝＝，∴＝＝，橢圓C的內(nèi)接平行四邊形面積為S＝4S△OAB＝，令m＝≥1，則S＝f（m）＝＝，注意到S＝f（m）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，∴Smax＝f（1）＝6，當(dāng)且僅當(dāng)m＝1，即t＝0時等號成立．故這個平行四邊形面積的最大值為6．…（12分）9．已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，且F2也是拋物線E：y2＝4x的焦點，P為橢圓C與拋物線E在第一象限的交點，且|PF2|＝．（1）求橢圓C的方程；（2）若直線y＝k（x﹣1）與橢圓C交于R，S兩點，問是否在x軸上存在一點T，使得當(dāng)k變動時，總有∠OTS＝∠OTR？說明理由．解：（1）∵F2也是拋物線E：y2＝4x的焦點，∴F2（1，0），∴c＝1，且拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，設(shè)點P（x0，y0）∵|PF2|＝，∴x0+1＝，∴x0＝，∴y0＝＝，∴+＝1，∵a2﹣b2＝c2＝1，解得a2＝4，b2＝3，∴橢圓方程為+＝1，（2）假設(shè)存在T（t，0）滿足∠OTS＝∠OTR．設(shè)R（x1，y1），S（x2，y2）聯(lián)立得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，由韋達定理有x1+x2＝，x1x2＝①，其中Δ＞0恒成立，由∠OTS＝∠OTR（顯然TS，TR的斜率存在），故kTS+kTR＝0即+＝0②，由R，S兩點在直線y＝k（x﹣1）上，故y1＝k（x1﹣1），y2＝k（x2﹣1），代入②整理有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t＝0③，將①代入③即有：＝0④，要使得④與k的取值無關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)“t＝4“時成立，綜上所述存在T（4，0），使得當(dāng)k變化時，總有∠OTS＝∠OTR．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，右頂點為A，直線BC過原點O，且點B在x軸上方，直線AB與AC分別交直線l：x＝a+1于點E、F．（Ⅰ）若點B（），求橢圓C的方程；（Ⅱ）若點B為動點，設(shè)直線AB與AC的斜率分別為k1，k2．①試探究：k1?k2是否為定值？若為定值，請求出；若不為定值，請說明理由；②求△AEF的面積的最小值．解：（I）由題意可得：＝，＝1，a2＝b2+c2，聯(lián)立解得a2＝8，b＝2＝c，∴橢圓C的方程為：+＝1．（II）①k1?k2為定值．設(shè)B（x0，y0），C（﹣x0，﹣y0）.+＝1．由＝，a2＝b2+c2，可得a2＝2b2．則k1?k2＝?＝＝＝﹣＝﹣．②設(shè)直線AB的方程為：y＝k1（x﹣a），直線AC的方程為：y＝k2（x﹣a），令x＝a+1，則yE＝k1，yF＝k2，S△AEF＝|EF|×1＝|k2﹣k1|，由圖形可得：k1＜0，k2＞0，k1?k2＝﹣．∴S△AEF＝（k2﹣k1）×＝，當(dāng)且僅當(dāng)k2＝﹣k1＝時取等號．∴△AEF的面積的最小值為．11．已知橢圓C1：（a＞b＞0）的上頂點為A，離心率為．拋物線C2：y＝﹣x2+1截x軸所得的線段長為C1的長半軸長．（Ⅰ）求橢圓C1的方程；（Ⅱ）過原點的直線l與C2相交于B，C兩點，直線AB，AC分別與C1相交于P，Q兩點①證明：以BC為直徑的圓經(jīng)過點A；②記△ABC和△APQ的面積分別是S1，S2，求的最小值．解：（Ⅰ）已知拋物線C2：y＝﹣x2+1中，令y＝0，解得x＝±1，a＝2，…………（1分）又e＝＝，則c＝，從而b2＝a2﹣c2＝1，∴橢圓C1的方程為：；…………（2分）（Ⅱ）①直線l的斜率顯然存在，設(shè)l方程為y＝mx．由，整理得x2+mx﹣1＝0，設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣1…………（4分）由已知A（0，1），所以＝（x1，y1﹣1），＝（x2，y2﹣1），?＝x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）＝（1+m2）x1x2﹣m（x1+x2）+1＝0，故以BC為直徑的圓經(jīng)過點A；…………（6分）②設(shè)直線AB：y＝kx+1，顯然k≠0，由，解得：x＝0或x＝﹣k，∴B（﹣k，1﹣k2），則|AB|＝＝|k|，…………（8分）由①知AB⊥AC，直線AC：y＝﹣x+1，則|AC|＝||，…………（9分）由，得（1+4k2）x2+8kx＝0，解得x＝0或x＝﹣，P（﹣，），則|AP|＝，…………（11分）由①知，直線AC：y＝﹣+1，|AQ|＝，…………（12分）則＝＝＝（4k2++17）≥，當(dāng)且僅當(dāng)k＝±1時等號成立，即最小值為．…………（14分）12．已知離心率為的橢圓C：（a＞b＞0）經(jīng)過點（2，1）．A，B，M為橢圓上三點，且滿足|MA|＝|MB|．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）當(dāng)A，B關(guān)于原點O對稱時，是否存在定圓，使得AM恒與該定圓相切，若存在，求出該定圓的方程，若不存在，說明理由．解：（Ⅰ）由橢圓的離心率e＝＝＝，則a2＝2b2，將點（2，1）代入橢圓方程：，即，解得：b2＝3，則a2＝6，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（Ⅱ）由①直線AB的斜率不存在時，由對稱性不妨設(shè)直線AM方程為y＝x+，則O到直線AM的距離d＝，同理直線AB的為0時，原點O到直線AM的距離為；②直線AB存在且不為0時，設(shè)直線AB的方程為y＝kx，由|MA|＝|MB|，∴直線OM的方程為y＝﹣x，由，解得：xA2＝，同理可得：xM2＝，設(shè)原點O到直線AM的距離d，直線AM方程為（yM﹣yA）x+（xM﹣xA）y+yAxM﹣xAyM＝0，∴d2＝＝＝＝＝＝2，綜上可知：原點O到直線AM的距離為，∴存在定圓x2+y2＝2，使得AM恒與該定圓相切．13．已知橢圓C的中心在原點，離心率等于，它的一個短軸端點恰好是拋物線x2＝8y的焦點．（1）求橢圓C的方程；（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是橢圓上的兩點，A，B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動點，①若直線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值；②當(dāng)A、B運動時，滿足∠APQ＝∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．解：（Ⅰ）設(shè)C方程為，則．由，得a＝4∴橢圓C的方程為．…（4分）（Ⅱ）①解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為，代入，得x2+tx+t2﹣12＝0由Δ＞0，解得﹣4＜t＜4…（6分）由韋達定理得x1+x2＝﹣t，x1x2＝t2﹣12．∴＝＝．由此可得：四邊形APBQ的面積∴當(dāng)t＝0，．…（8分）②解：當(dāng)∠APQ＝∠BPQ，則PA、PB的斜率之和為0，設(shè)直線PA的斜率為k則PB的斜率為﹣k，直線PA的直線方程為y﹣3＝k（x﹣2）由（1）代入（2）整理得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48＝0∴…（10分）同理直線PB的直線方程為y﹣3＝﹣k（x﹣2），可得∴…（12分）所以AB的斜率為定值．…（14分）14．如圖，已知橢圓（a＞b＞0）的左右頂點分別是A，B，離心率為，設(shè)點P（a，t）（t），連接PA交橢圓于點C，坐標(biāo)原點是O．（1）證明：OP⊥BC；（2）設(shè)三角形ABC的面積為S1，四邊形OBPC的面積為S2，若的最小值為1，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（本小題滿分14分）解：（1）證明：由e＝＝＝，則a2＝2b2，則a＝c，∴橢圓的方程為，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）直線PA的方程為：y＝（x+c），由，整理得：（4c2+t2）x2+2ct2x+2t2c2﹣8c4＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由xA＝﹣c，可得xC＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）則點C的坐標(biāo)是（，），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）故直線BC的斜率為kBC＝﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）由于直線OP的斜率為kOP＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）所以kBC?kOP＝﹣1，所以O(shè)P⊥BC；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（2）由（1）知，S1＝×2c×＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）S2＝S△APB﹣S△AOC＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）＝＝+，t≥，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）所以當(dāng)t＝時，（）min＝+＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴c2＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）所以橢圓方程為．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）15．如圖，橢圓的右頂點為A（2，0），左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點A且斜率為的直線與y軸交于點P，與橢圓交于另一個點B，且點B在x軸上的射影恰好為點F1．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點P的直線與橢圓交于M，N兩點（M，N不與A，B重合），若S△PAM＝6S△PBN，求直線MN的方程．解：（Ⅰ）當(dāng)時，BF1⊥x軸，得到點，所以，所以橢圓C的方程是．（Ⅱ）因為，所以．設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則，有．由（Ⅰ）可知P（0，﹣1），設(shè)MN方程為y＝kx﹣1，聯(lián)解方程得：（4k2+3）x2﹣8kx﹣8＝0．由韋達定理可得，將x1＝﹣3x2代入可得，即．所以，即直線l2的方程為．16．設(shè)橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，且A（a，0）、B（0，b）滿足條件|AB|＝|F1F2|．（Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）若坐標(biāo)原點O到直線AB的距離為，求橢圓C的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點P（﹣2，1）的直線l與橢圓C交于M、N兩點，且點P恰為線段MN的中點，求直線l的方程．解：（Ⅰ）依題意，得|AB|2＝a2+b2，而，…（2分）則有2c2＝a2+b2＝a2+（a2﹣c2），即2a2＝3c2，故，…（3分）∴離心率；…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…（5分）直線AB的截距式方程為，即bx+ay﹣ab＝0，…（6分）依題意，得，…（7分）由，解得．∴橢圓C的方程的方程為；…（10分）（Ⅲ）設(shè)M、N兩點的坐標(biāo)分別為（x1，y1）和（x2，y2），依題意，可知x1≠x2，且，，…（11分）兩式相減，得．…（12分）∵P（﹣2，1）是線段MN的中點，∴x1+x2＝﹣4，y1+y2＝2，則有，即直線l的斜率為，且直線l過點P（﹣2，1），…（13分）故直線l的方程為，即2x﹣3y+7＝0．…（14分）17．已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，離心率為，過橢圓的左焦點F且傾斜角為60°的直線與圓x2+y2＝相切（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若直線l：y＝kx+m與橢圓C交于不同的兩點M，N（M，N是左、右頂點），若以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓C的右頂點A，判斷直線l是否過定點，若是，求出該定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．解：（I）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：＝1（a＞b＞0），則＝．F（﹣c，0），∴過橢圓的左焦點F且傾斜角為60°的直線方程為：y＝（x+c），由于此直線與圓x2+y2＝相切，∴＝，又a2＝b2+c2，聯(lián)立解得：a＝2，c＝1，b＝．∴橢圓C的方程為＝1．（II）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）．聯(lián)立，化為：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，Δ＝64k2m2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化為：3+4k2＞m2．（*）∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∵以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓C的右頂點A（2，0），∴＝（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＝（x1﹣2）（x2﹣2）+（kx1+m）（kx2+m）＝（1+k2）x1x2+（mk﹣2）（x1+x2）+m2+4＝0，∴++m2+4＝0，化為：7m2+16km+4k2＝0，∴7m+2k＝0，或m+2k＝0．都滿足（*）．當(dāng)7m+2k＝0時，直線l化為：y＝k（x﹣），直線l經(jīng)過定點．當(dāng)7m+2k＝0時，直線l化為：y＝k（x﹣2），直線l經(jīng)過定點（2，0），舍去．因此直線l經(jīng)過定點：．18．已知平面直角坐標(biāo)系中，點（4，0）到拋物線C1：y2＝2px（p＞0）準(zhǔn)線的距離等于5，橢圓C2：＝1（a＞b＞0）的離心率為，且過點．（1）求C1，C2的方程；（2）如圖，過點E（m，0）（m＞2）作橢圓C2的切線交C1于A，B兩點，在x軸上取點G，使得∠AGE＝∠BGE，試解決以下問題：①證明：點G與點E關(guān)于原點中心對稱；②若已知△ABG的面積是橢圓C2四個頂點所圍成菱形面積的16倍，求切線AB的方程．（1）解：因為點（4，0）到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離等于5，所以，解得p＝2，所以拋物線C1的方程為y2＝4x；因為橢圓C2的離心率為，且過點，所以，解得a＝2，b＝1，所以橢圓C2的方程為；（2）①證明：因為m＞2，且直線AB與橢圓C2相切，所以直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y＝k（x﹣m），聯(lián)立，得（4k2+1）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣4＝0，因為直線AB與橢圓C2相切，所以Δ＝64k4m2﹣4（4k2+1）（4k2m2﹣4）＝0，即，聯(lián)立，得ky2﹣4y﹣4km＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則；設(shè)G（t，0），因為∠AGE＝∠BGE，所以kAG+kBG＝0，則，即x2y1+x1y2﹣t（y1+y2）＝0，即，又y1+y2≠0，所以，即G（﹣m，0），即點G與點E關(guān)于原點中心對稱；②解：橢圓C2四個頂點所圍成菱形面積為，所以△ABG的面積為16×4＝64，則＝，令，即m2（m2﹣4+m）＝256，即m4﹣4m2+m3﹣256＝0，即（m4﹣256）+m2（m﹣4）＝0，即（m﹣4）[（m2+16）（m+4）+m2]＝0，即（m﹣4）（m3+5m2+16m+64）＝0，因為m＞2，所以m＝4，，；所以直線AB的方程為．19．橢圓的中心在坐標(biāo)原點，其左焦點F1與拋物線y2＝﹣4x的焦點重合，過F1的直線l與橢圓交于A、B兩點，與拋物線交于C、D兩點．當(dāng)直線l與x軸垂直時，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求過點F1、O（O為坐標(biāo)原點），并且與直線（其中a為長半軸長，c為橢圓的半焦距）相切的圓的方程；（Ⅲ）求＝時直線l的方程．解：（Ⅰ）由拋物線方程，得焦點F1（﹣1，0），設(shè)橢圓的方程：，解方程組得C（﹣1，2），D（﹣1，﹣2）．由于拋物線、橢圓都關(guān)于x軸對稱，∴，，∴A（﹣1，）．∴，又a2﹣b2＝1，所以，，解得b2＝1并推得a2＝2，故橢圓的方程為；（Ⅱ）∵a＝，b＝1，c＝1，∴＝2，∵圓過點O、F1，∴圓心M在直線x＝﹣上，設(shè)M（﹣，t），由于圓與橢圓的左準(zhǔn)線相切，則圓半徑r＝|（﹣）﹣（﹣2）|＝，由|OM|＝r，得，解得t＝，∴所求圓的方程為．（Ⅲ）由點F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），①若AB垂直于x軸，則，∴，，與條件不符；②若AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y＝k（x+1），由得，（1+2k2）x2+4k2x+2（k2﹣1）＝0，∵Δ＝8k2+8＞0，∴方程有兩個不等的實數(shù)根．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，，∴＝（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＝（x1﹣1）（x2﹣1）+k2（x1+1）（x2+1）＝（1+k2）x1x2+（k2﹣1）（x1+x2）+1+k2＝++1+k2＝＝，解得k＝，所以直線l的方程為：y＝，即x﹣2y+1＝0或x+2y+1＝0．20．已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0），且橢圓上的點到一個焦點的最短距離為b．（Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）若點M（，）在橢圓C上，不過原點O的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，與直線OM相交于點N，且N是線段AB的中點，求△OAB面積的最大值．（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）由題意，得，…（1分）則，結(jié)合b2＝a2﹣c2，得，即2c2﹣3ac+a2＝0，…（2分）亦即2e2﹣3e+1＝0，結(jié)合0＜e＜1，解得．所以橢圓C的離心率為．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得a＝2c，則b2＝3c2．將代入橢圓方程，解得c＝1．所以橢圓方程為．…（6分）易得直線OM的方程為．當(dāng)直線l的斜率不存在時，AB的中點不在直線上，故直線l的斜率存在．設(shè)直線l的方程為y＝kx+m（m≠0），與聯(lián)立消y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，所以Δ＝64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＝48（3+4k2﹣m2）＞0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，．…（8分）由，得AB的中點，因為N在直線上，所以，解得k＝﹣．…（10分）所以Δ＝48（12﹣m2）＞0，得﹣，且m≠0，|AB|＝|x2﹣x1|＝＝＝．又原點O到直線l的距離d＝，…（12分）所以．當(dāng)且僅當(dāng)12﹣m2＝m2，m＝時等號成立，符合﹣，且m≠0．所以△OAB面積的最大值為：．…（14分）21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的離心率為，點（2，1）在橢圓C上．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l與圓O：x2+y2＝2相切，與橢圓C相交于P，Q兩點．①若直線l過橢圓C的右焦點F，求△OPQ的面積；②求證：OP⊥OQ．解：（1）由題意，得，解得a2＝6，b2＝3．所以橢圓的方程為．（2）①橢圓C的右焦點．設(shè)切線方程為，即，所以，解得，所以切線方程為．由方程組解得或，所以．因為O到直線PQ的距離為，所以△OPQ的面積為．綜上所述，△OPQ的面積為．②（i）若直線PQ的斜率不存在，則直線PQ的方程為或．當(dāng)時，．因為，所以O(shè)P⊥OQ．當(dāng)時，同理可得OP⊥OQ．（ii）若直線PQ的