同濟六版高等數(shù)學第六章第二節(jié)課件

一、平面圖形的面積二、體積§6.2定積分在幾何學上的應用三、平面曲線的弧長下頁鈴結束返回首頁[f上(x)f下(x)]dx,它也就是面積元素.一、平面圖形的面積設平面圖形由上下兩條曲線yf上(x)與yf下(x)及左右兩條直線xa與xb所圍成.

因此平面圖形的面積為在點x處面積增量的近似值為

1.直角坐標情形下頁討論：由左右兩條曲線xj左(y)與xj右(y)及上下兩條直線yd與yc所圍成的平面圖形的面積如何表示為定積分？提示：

面積為面積元素為[j右(y)j左(y)]dy,下頁

例2

計算拋物線y22x與直線yx4所圍成的圖形的面積.

(2)確定在y軸上的投影區(qū)間:(4)計算積分(3)確定左右曲線:[-2,4].

解

(1)畫圖;下頁

例3

因為橢圓的參數(shù)方程為xacost,

ybsint,

所以

解

橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍.于是

ydx,橢圓在第一象限部分的面積元素為下頁曲邊扇形曲邊扇形的面積元素曲邊扇形是由曲線()及射線,

所圍成的圖形.曲邊扇形的面積2.極坐標情形下頁二、體積旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸.

下頁1.旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線yf(x)、直線xa、ab及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.

下頁二、體積1.旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積元素考慮旋轉(zhuǎn)體內(nèi)點x處垂直于x軸的厚度為dx的切片,

用圓柱體的體積[f(x)]2dx作為切片體積的近似值,旋轉(zhuǎn)體的體積

于是體積元素為dV[f(x)]2dx.

例6

連接坐標原點O及點P(h,

r)的直線、直線xh及x軸圍成一個直角三角形.將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構成一個底半徑為r、高為h的圓錐體.計算這圓錐體的體積.

旋轉(zhuǎn)體的體積：

解

下頁

例8

計算由擺線xa(tsint),ya(1cost)的一拱,直線y0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

解所給圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為下頁

例8

計算由擺線xa(tsint),ya(1cost)的一拱,直線y0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

解下頁設曲線左半邊為x=x1(y),右半邊為x=x2(y).

所給圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為63a3

.

設立體在x軸上的投影區(qū)間為[a,

b],立體內(nèi)垂直于x軸的截面面積為A(x).

立體的體積元素為立體的體積為下頁2.平行截面面積為已知的立體的體積A(x)dx.A(x)三、平面曲線的弧長設曲線弧由直角坐標方程yf(x)(axb)給出,其中f(x)在區(qū)間[a,

b]上具有一階連續(xù)導數(shù).現(xiàn)在來計算這曲線弧的長度.

在曲率一節(jié)中,我們已經(jīng)知道弧微分的表達式為這也就是弧長元素.因此,曲線弧的長度為下頁直角坐標情形

例11

長度.

因此,所求弧長為

解

曲線yf(x)(axb)的弧長：

下頁設曲線弧由參數(shù)方程x(t)、y(t)(t)給出,其中(t)、(t)在[,

]上具有連續(xù)導數(shù).于是曲線弧的長為下頁曲線yf(x)(axb)的弧長：

參數(shù)方程情形設曲線弧由極坐標方程()()給出,其中()在[,

]上具有連續(xù)導數(shù).因為x(q)cosq,

y(q)sinq(),

所以弧長元素為曲線弧的長為下頁極坐標情形曲線yf(x)(axb)的弧長：

曲線x(t)、y(t)(t)的弧長：曲線()()的弧長：

例14

求阿基米德螺線a(a>0)相應于從0到2

一段的弧長.

解

于是所求弧長為結束弧長元素為曲線yf(x)(axb)的弧長：

曲線x(t)、y(t)(t