新誤差理論講課

測(cè)量與誤差一~1測(cè)量一~1.1直接測(cè)量？一~1.2間接測(cè)量？一~2測(cè)量誤差~2.1測(cè)量誤差=測(cè)量值一真值（絕對(duì)誤差）2.2相對(duì)誤差=測(cè)量誤差/真值2.3百分誤差=（測(cè)量值一公認(rèn)值）/公認(rèn)值~3誤差來源：一~3.1模型問題~3.2儀器問題~3.3隨機(jī)問題二測(cè)量不確定度和測(cè)量結(jié)果的表示二1測(cè)量不確定度不確定度是指由于測(cè)量誤差的存在而對(duì)被測(cè)量值不能肯定的程度它給出測(cè)量結(jié)果的不能確定程度的評(píng)判范圍。u二1.1不確定度的A類分量（A類不確定度）計(jì)為a（隨機(jī)問題通?？紤]正態(tài)分布）:在相同的條件下，對(duì)某物理量作在相同的條件下，對(duì)某物理量作n次獨(dú)立測(cè)量，得到的x值為％， X2，5u5u(x)=t (n-1)/(X-X)2i=1(n-1)（土旦頂 服從 t（n-1））分布）5⑴1nX=_ZXnii=1式中的0/2（n-1）就稱為“t因子''，它與測(cè)量次數(shù)和“置信概率”有關(guān)。所謂“置信概率”是指真值落在X士ua（X）范圍內(nèi)的概率。t因子的數(shù)值可以根據(jù)測(cè)量次數(shù)和置信概率查表得到，例如n=16,n-1=15查t005/2(n-1)=2.131貝UnIZ(尤-X)2真值落在X土2.131￥，=n(n-1)概率為95%*P=(1-0.05)=0.95n〕z(x-x)2又t(0.1/2)(n-1)=1-753真值落在X土1〃53''%(n-1)概率為90%當(dāng)測(cè)量次數(shù)較少或置信概率較高時(shí)，t>1；當(dāng)測(cè)量次數(shù)n」0且置信概率為68.3%時(shí)，t」；在大多數(shù)普通物理教學(xué)實(shí)驗(yàn)中，為了簡(jiǎn)便，一般就取t=1.二~1.2B類不確定度計(jì)為就B若對(duì)某物理量x進(jìn)行單次測(cè)量，那么B類不確定度由測(cè)量不確定度UB1(X)和儀器不確定度UB2(x)兩部分組成。測(cè)量不確定度u(X)是由估讀引起的，通常取儀器分度值B1d的土或5，有時(shí)也取J，視具體情況而定；特殊情況下，可取u=d，即：d/10d/5d/2d/10d/5d/2通常取儀器分度值d有時(shí)甚至更大。例如用分度值為1mm的米尺測(cè)量物體長(zhǎng)度時(shí)，在較好地消除視差的情況下，測(cè)量不確定度可取儀器分度值的［，即10UB1（X）=土*1mm=0.1mm；但在示波器上讀電壓值時(shí)，如果熒光線條比較寬、且可能有微小抖動(dòng)，則測(cè)量不確定度可取儀器分度值的1，若分度值為0.2V，那么測(cè)量不確定度u2 B1（X）=1*0.2V=0.1V。又如，用肉眼觀察遠(yuǎn)處物體成像的方2法粗測(cè)透鏡的焦距，雖然所用鋼尺的分度值只有1mm，但此時(shí)測(cè)量不確定度uB1（X）可取數(shù)毫米，甚至更大。儀器不確定度u（x）是由儀器本身的特性所決定的，它定B2為：（2）其中，a是儀器說明書上所標(biāo)明的“最大誤差”或“不確定度限值”，C是一個(gè)與儀器不確定度的概率分布特性有關(guān)的常數(shù)，稱為“置信因子”。儀器不確定度的概率分布通常有正態(tài)分布、均勻分布和三角分布以及反正弦分布、兩點(diǎn)分布等。對(duì)于正態(tài)分布、均勻分布和三角分布，置信因子C分別取3、J廠和J廠。如果儀器說明書上只給出不確定限值(即最大誤差)，卻沒有關(guān)于不確定度概率分布的信息，則一般u⑴=a可用均勻分布處理，即 B2 J3。有些儀器說明書沒有直接給出其不確定限值，但給出了儀器的準(zhǔn)確度等級(jí)，則其不確定度限值a需經(jīng)計(jì)算才能得到。如指針式電表的不確定度限值等于其滿量程值乘以等級(jí)，例如滿量程為10V的指針式電壓表，其等級(jí)為1級(jí)，則其不確定度限值a=10V*1%=0.1V。又如電阻箱的不確定度限值等于示值乘以等級(jí)再加上零值電阻，由于電阻箱各檔的等級(jí)是不同的，因此在計(jì)算時(shí)應(yīng)分別計(jì)算，例如常用的ZX21型電阻箱，其示值為360.5q，零值電阻為0.02q，則其不確定限值a=(300*0.1%+60*0.2%+0*0.5%+0.5*5%+0.02)q=0.47q

表：某些常用實(shí)驗(yàn)儀器的a儀器名稱量程最小分度值a150mm1mm0.1mm鋼板尺500mm1mm0.15mm1000mm1mm0.20mm鋼卷尺1m2m1mm1mm0.8mm1.2mm游標(biāo)卡尺125mm0.02mm0.02mm螺旋測(cè)微計(jì)0~25mm0.01mm0.004mm分析天平200g0.1mg1.3mg（滿量程）1.0mg（半量程）0.7mg（1|3程）二~1.3不確定度的合成u(X)=/u2(丁)+u2(r)單次測(cè)量B B1 B2u(X)=u2(x)+u2(x)(3)多次測(cè)量 A B2(3)二~1.4測(cè)量結(jié)果的表示測(cè)量結(jié)果常表示為X=X土u（X）u=u（XX100%二~1.5不確定度傳遞在間接測(cè)量時(shí)，待測(cè)量（即復(fù)合量）是由直接測(cè)量的量通過；+曹而坦質(zhì)蕓y=f（x,x,x,...,x）日攵v始石貓古計(jì)算而得的，有23，，n，，且各xi相互獨(dú)立，

則測(cè)量結(jié)果y的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（y）的傳遞公式為：2u2(七)(4)仔12u2(七)(4)IoxJi=1yi/由（4）式可以得到一些常用的不確定度傳遞公式如下:加減法：y=氣±七，u2(y)=u2(x)+u2(x)2對(duì)乘除法：y對(duì)乘除法：y=%'七，或Xy=里X，2u(y)J2=["(氣)]對(duì)乘方（或開方）：y=X〃，則I罕］2+-羅:2測(cè)量結(jié)果也表示為:f=f+u(f)u=M(?X100%we=(9.1093897土0.0000054)x10-31kgu=0.59x10-6x100%二2.2有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)則除了以上兩種常用的不確定度表示法外，還有一種更為簡(jiǎn)略的表示法，叫做不確定度的有效數(shù)字表示法。所謂有效數(shù)字，是指一個(gè)數(shù)值中，從第一個(gè)非0數(shù)字算起的所有數(shù)字。例如，x=0.0035中的3是第一個(gè)非0數(shù)字，因此I有兩位有效數(shù)字：3和5,小數(shù)點(diǎn)前后的三個(gè)0都是表示數(shù)量級(jí)的，不是有效數(shù)字。又如，x=土500有四位有效數(shù)字3,5,0，0都是有效數(shù)字，其中的兩個(gè)0雖然對(duì)該數(shù)的大小并無意義，但它卻表示這個(gè)數(shù)的準(zhǔn)確程度可達(dá)到小數(shù)點(diǎn)后的第三位，即-的值約在3.495和3.504之間，它與X=3.5是顯然不同的。后者表示小數(shù)點(diǎn)后的第一位數(shù)(即5)就是可疑的，不確定的。測(cè)量最后結(jié)果的不確定度，一般只取一位有效數(shù)字，而測(cè)量結(jié)果的末位有效數(shù)字應(yīng)與不確定度的有效數(shù)字對(duì)齊,即測(cè)量結(jié)果的末位有效數(shù)字是不確定的(特殊情況下，不確定度的有效數(shù)字可取兩位，即測(cè)量值的末兩位有效數(shù)字都是不確定的）。這樣，根據(jù)測(cè)量值的不確定度，可以決定測(cè)量值的有效數(shù)字位數(shù)。在計(jì)算數(shù)據(jù)時(shí)，當(dāng)有效數(shù)字位數(shù)確定后，須進(jìn)行數(shù)字修約，修約規(guī)則為：四舍六入五成雙“五成雙”的意思是遇到被舍數(shù)字恰為“50”或只有“5”一位數(shù)字時(shí)，則“5”有時(shí)入，有時(shí)不入，應(yīng)使有效數(shù)字末位保持為偶數(shù)，這樣可使舍和入的機(jī)會(huì)均等，從而避免在處理較多數(shù)據(jù)時(shí)因入比舍多而帶來的問題。例如：經(jīng)計(jì)算所得的長(zhǎng)度值為x=3.5482瓠，若不確定度為0.0003m，則應(yīng)取測(cè)量值的結(jié)果為x=3.5482m；若不確定度為0.002m，則應(yīng)取測(cè)量值的結(jié)果為X=3.548m；若不確定度為0.05m，則應(yīng)取測(cè)量值的結(jié)果為x=3.5切；若不確定度為O.lm，則應(yīng)取測(cè)量值的結(jié)果為x=3.5m（如以毫米為單位，則應(yīng)寫成3.5x103mm,不可寫成3500mm）.這樣，從測(cè)量值的有效數(shù)字，就可大約知道它的不確定度，這就是不確定度的有效數(shù)字表示法，顯然，這只是一種簡(jiǎn)略的表示法，在嚴(yán)格的定量實(shí)驗(yàn)中，應(yīng)采用有確定度的一般表示法或百分比表示法。雖然測(cè)量最后結(jié)果的不確定度，一般只取一位有效數(shù)字，但在運(yùn)算過程中，不確定度一般要取兩位或更多，中間過程測(cè)量值的有效數(shù)字也應(yīng)適當(dāng)多取一些，以免過早舍入，造成不合理的結(jié)果。

有效數(shù)字的運(yùn)算有一定的規(guī)則，最簡(jiǎn)單和常用的規(guī)則是:當(dāng)兩個(gè)數(shù)相加減時(shí)，有效數(shù)字的位數(shù)應(yīng)對(duì)齊；當(dāng)兩個(gè)數(shù)相乘除時(shí)，有效數(shù)字的位數(shù)應(yīng)與有效數(shù)字少的一致。例如，尤=1.832m（共有4位有效數(shù)字，末位在小數(shù)點(diǎn)后第3位），y=L69m（共有3位有效數(shù)字，末位在小數(shù)點(diǎn)第2位）貝°：*+>=3.5為（末位取小數(shù)點(diǎn)后第2位）；工-y=0」物（末位取小數(shù)點(diǎn)后第2位）；%V=3」Om2（共取3位有效數(shù)字）y=1?°8（共取3?/位有效數(shù)字）不確定度的計(jì)算樣例例題單擺法測(cè)重力加速度42T=1.4445s2T=T=1.4445s2T=1.4475s3T=1.4425si,2（T）=0.00{s）

卜3(T-T)2uA(T)=jJ=13(3‘m=0.0015(s)u(T)=u2(T)+u2(T)=0.0018s)\：A B2T=(1.4448土0.0018)(s)L1=52.64(cm)L2=52.68(cm)L3=52.70(皿)uB2(L)=0.01(cm)'1(L-'1(L-L)2-iii=13(3-1)=0.018(cm)u(L)=*a2(L)+uB22(L)=0.021cm)L=52.671±0.021(cm)1.908(cm)d1=1.910(cm) d〔=1.908(1.908(cm)u/d)=a/妒=0.002/妒(cm)3 - -z(d一d)2iuA(d)=]i=13(3]) =0.00067(cm)u(d)=u2(d)+u―2(d)=0.0013(cm