新誤差理論講課

測量與誤差一~1測量一~1.1直接測量？一~1.2間接測量？一~2測量誤差~2.1測量誤差=測量值一真值（絕對誤差）2.2相對誤差=測量誤差/真值2.3百分誤差=（測量值一公認(rèn)值）/公認(rèn)值~3誤差來源：一~3.1模型問題~3.2儀器問題~3.3隨機(jī)問題二測量不確定度和測量結(jié)果的表示二1測量不確定度不確定度是指由于測量誤差的存在而對被測量值不能肯定的程度它給出測量結(jié)果的不能確定程度的評判范圍。u二1.1不確定度的A類分量（A類不確定度）計為a（隨機(jī)問題通常考慮正態(tài)分布）:在相同的條件下，對某物理量作在相同的條件下，對某物理量作n次獨立測量，得到的x值為％， X2，5u5u(x)=t (n-1)/(X-X)2i=1(n-1)（土旦頂 服從 t（n-1））分布）5⑴1nX=_ZXnii=1式中的0/2（n-1）就稱為“t因子''，它與測量次數(shù)和“置信概率”有關(guān)。所謂“置信概率”是指真值落在X士ua（X）范圍內(nèi)的概率。t因子的數(shù)值可以根據(jù)測量次數(shù)和置信概率查表得到，例如n=16,n-1=15查t005/2(n-1)=2.131貝UnIZ(尤-X)2真值落在X土2.131￥，=n(n-1)概率為95%*P=(1-0.05)=0.95n〕z(x-x)2又t(0.1/2)(n-1)=1-753真值落在X土1〃53''%(n-1)概率為90%當(dāng)測量次數(shù)較少或置信概率較高時，t>1；當(dāng)測量次數(shù)n」0且置信概率為68.3%時，t」；在大多數(shù)普通物理教學(xué)實驗中，為了簡便，一般就取t=1.二~1.2B類不確定度計為就B若對某物理量x進(jìn)行單次測量，那么B類不確定度由測量不確定度UB1(X)和儀器不確定度UB2(x)兩部分組成。測量不確定度u(X)是由估讀引起的，通常取儀器分度值B1d的土或5，有時也取J，視具體情況而定；特殊情況下，可取u=d，即：d/10d/5d/2d/10d/5d/2通常取儀器分度值d有時甚至更大。例如用分度值為1mm的米尺測量物體長度時，在較好地消除視差的情況下，測量不確定度可取儀器分度值的［，即10UB1（X）=土*1mm=0.1mm；但在示波器上讀電壓值時，如果熒光線條比較寬、且可能有微小抖動，則測量不確定度可取儀器分度值的1，若分度值為0.2V，那么測量不確定度u2 B1（X）=1*0.2V=0.1V。又如，用肉眼觀察遠(yuǎn)處物體成像的方2法粗測透鏡的焦距，雖然所用鋼尺的分度值只有1mm，但此時測量不確定度uB1（X）可取數(shù)毫米，甚至更大。儀器不確定度u（x）是由儀器本身的特性所決定的，它定B2為：（2）其中，a是儀器說明書上所標(biāo)明的“最大誤差”或“不確定度限值”，C是一個與儀器不確定度的概率分布特性有關(guān)的常數(shù)，稱為“置信因子”。儀器不確定度的概率分布通常有正態(tài)分布、均勻分布和三角分布以及反正弦分布、兩點分布等。對于正態(tài)分布、均勻分布和三角分布，置信因子C分別取3、J廠和J廠。如果儀器說明書上只給出不確定限值(即最大誤差)，卻沒有關(guān)于不確定度概率分布的信息，則一般u⑴=a可用均勻分布處理，即 B2 J3。有些儀器說明書沒有直接給出其不確定限值，但給出了儀器的準(zhǔn)確度等級，則其不確定度限值a需經(jīng)計算才能得到。如指針式電表的不確定度限值等于其滿量程值乘以等級，例如滿量程為10V的指針式電壓表，其等級為1級，則其不確定度限值a=10V*1%=0.1V。又如電阻箱的不確定度限值等于示值乘以等級再加上零值電阻，由于電阻箱各檔的等級是不同的，因此在計算時應(yīng)分別計算，例如常用的ZX21型電阻箱，其示值為360.5q，零值電阻為0.02q，則其不確定限值a=(300*0.1%+60*0.2%+0*0.5%+0.5*5%+0.02)q=0.47q

表：某些常用實驗儀器的a儀器名稱量程最小分度值a150mm1mm0.1mm鋼板尺500mm1mm0.15mm1000mm1mm0.20mm鋼卷尺1m2m1mm1mm0.8mm1.2mm游標(biāo)卡尺125mm0.02mm0.02mm螺旋測微計0~25mm0.01mm0.004mm分析天平200g0.1mg1.3mg（滿量程）1.0mg（半量程）0.7mg（1|3程）二~1.3不確定度的合成u(X)=/u2(丁)+u2(r)單次測量B B1 B2u(X)=u2(x)+u2(x)(3)多次測量 A B2(3)二~1.4測量結(jié)果的表示測量結(jié)果常表示為X=X土u（X）u=u（XX100%二~1.5不確定度傳遞在間接測量時，待測量（即復(fù)合量）是由直接測量的量通過；+曹而坦質(zhì)蕓y=f（x,x,x,...,x）日攵v始石貓古計算而得的，有23，，n，，且各xi相互獨立，

則測量結(jié)果y的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（y）的傳遞公式為：2u2(七)(4)仔12u2(七)(4)IoxJi=1yi/由（4）式可以得到一些常用的不確定度傳遞公式如下:加減法：y=氣±七，u2(y)=u2(x)+u2(x)2對乘除法：y對乘除法：y=%'七，或Xy=里X，2u(y)J2=["(氣)]對乘方（或開方）：y=X〃，則I罕］2+-羅:2測量結(jié)果也表示為:f=f+u(f)u=M(?X100%we=(9.1093897土0.0000054)x10-31kgu=0.59x10-6x100%二2.2有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)則除了以上兩種常用的不確定度表示法外，還有一種更為簡略的表示法，叫做不確定度的有效數(shù)字表示法。所謂有效數(shù)字，是指一個數(shù)值中，從第一個非0數(shù)字算起的所有數(shù)字。例如，x=0.0035中的3是第一個非0數(shù)字，因此I有兩位有效數(shù)字：3和5,小數(shù)點前后的三個0都是表示數(shù)量級的，不是有效數(shù)字。又如，x=土500有四位有效數(shù)字3,5,0，0都是有效數(shù)字，其中的兩個0雖然對該數(shù)的大小并無意義，但它卻表示這個數(shù)的準(zhǔn)確程度可達(dá)到小數(shù)點后的第三位，即-的值約在3.495和3.504之間，它與X=3.5是顯然不同的。后者表示小數(shù)點后的第一位數(shù)(即5)就是可疑的，不確定的。測量最后結(jié)果的不確定度，一般只取一位有效數(shù)字，而測量結(jié)果的末位有效數(shù)字應(yīng)與不確定度的有效數(shù)字對齊,即測量結(jié)果的末位有效數(shù)字是不確定的(特殊情況下，不確定度的有效數(shù)字可取兩位，即測量值的末兩位有效數(shù)字都是不確定的）。這樣，根據(jù)測量值的不確定度，可以決定測量值的有效數(shù)字位數(shù)。在計算數(shù)據(jù)時，當(dāng)有效數(shù)字位數(shù)確定后，須進(jìn)行數(shù)字修約，修約規(guī)則為：四舍六入五成雙“五成雙”的意思是遇到被舍數(shù)字恰為“50”或只有“5”一位數(shù)字時，則“5”有時入，有時不入，應(yīng)使有效數(shù)字末位保持為偶數(shù)，這樣可使舍和入的機(jī)會均等，從而避免在處理較多數(shù)據(jù)時因入比舍多而帶來的問題。例如：經(jīng)計算所得的長度值為x=3.5482瓠，若不確定度為0.0003m，則應(yīng)取測量值的結(jié)果為x=3.5482m；若不確定度為0.002m，則應(yīng)取測量值的結(jié)果為X=3.548m；若不確定度為0.05m，則應(yīng)取測量值的結(jié)果為x=3.5切；若不確定度為O.lm，則應(yīng)取測量值的結(jié)果為x=3.5m（如以毫米為單位，則應(yīng)寫成3.5x103mm,不可寫成3500mm）.這樣，從測量值的有效數(shù)字，就可大約知道它的不確定度，這就是不確定度的有效數(shù)字表示法，顯然，這只是一種簡略的表示法，在嚴(yán)格的定量實驗中，應(yīng)采用有確定度的一般表示法或百分比表示法。雖然測量最后結(jié)果的不確定度，一般只取一位有效數(shù)字，但在運(yùn)算過程中，不確定度一般要取兩位或更多，中間過程測量值的有效數(shù)字也應(yīng)適當(dāng)多取一些，以免過早舍入，造成不合理的結(jié)果。

有效數(shù)字的運(yùn)算有一定的規(guī)則，最簡單和常用的規(guī)則是:當(dāng)兩個數(shù)相加減時，有效數(shù)字的位數(shù)應(yīng)對齊；當(dāng)兩個數(shù)相乘除時，有效數(shù)字的位數(shù)應(yīng)與有效數(shù)字少的一致。例如，尤=1.832m（共有4位有效數(shù)字，末位在小數(shù)點后第3位），y=L69m（共有3位有效數(shù)字，末位在小數(shù)點第2位）貝°：*+>=3.5為（末位取小數(shù)點后第2位）；工-y=0」物（末位取小數(shù)點后第2位）；%V=3」Om2（共取3位有效數(shù)字）y=1?°8（共取3?/位有效數(shù)字）不確定度的計算樣例例題單擺法測重力加速度42T=1.4445s2T=T=1.4445s2T=1.4475s3T=1.4425si,2（T）=0.00{s）

卜3(T-T)2uA(T)=jJ=13(3‘m=0.0015(s)u(T)=u2(T)+u2(T)=0.0018s)\：A B2T=(1.4448土0.0018)(s)L1=52.64(cm)L2=52.68(cm)L3=52.70(皿)uB2(L)=0.01(cm)'1(L-'1(L-L)2-iii=13(3-1)=0.018(cm)u(L)=*a2(L)+uB22(L)=0.021cm)L=52.671±0.021(cm)1.908(cm)d1=1.910(cm) d〔=1.908(1.908(cm)u/d)=a/妒=0.002/妒(cm)3 - -z(d一d)2iuA(d)=]i=13(3]) =0.00067(cm)u(d)=u2(d)+u―2(d)=0.0013(cm