立體幾何動點(diǎn)問題

立體幾何與平面解析幾何的交匯問題在教材中，立體幾何與解析幾何是互相獨(dú)立的兩章，彼此分離不相聯(lián)系，實(shí)際上，從空間維數(shù)看，平面幾何是二維的，立體幾何是三維的，因此，立體幾何是由平面幾何升維而產(chǎn)生；另一方面，從立體幾何與解析幾何的聯(lián)系看，解析幾何中的直線是空間二個平面的交線，圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）是平面截圓錐面所產(chǎn)生的截線；從軌跡的觀點(diǎn)看、空間中的曲面（曲線）是空間中動點(diǎn)運(yùn)動的軌跡，正因?yàn)槠矫鎺缀闻c立體幾何有這么許多千絲萬縷的聯(lián)系，因此，在平面幾何與立體幾何的交匯點(diǎn)，新知識生長的土壤特別肥沃，創(chuàng)新型題型的生長空間也相當(dāng)寬廣，這一點(diǎn)，在高考卷中已有充分展示，應(yīng)引起我們在更習(xí)中的足夠重視。一、動點(diǎn)軌跡問題這類問題往往是先利用題中條件把立幾問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，再判斷動點(diǎn)軌跡。例1定點(diǎn)A和B都在平面a內(nèi)，定點(diǎn)尸史二，C是夕內(nèi)異于A和B的動點(diǎn)，且尸C'AC。那么，動點(diǎn)C在平面°內(nèi)的軌跡是（）A.一條線段，但要去掉兩個點(diǎn)B.一個圓，但要去掉兩個點(diǎn)C.一個橢圓，但要去掉兩個點(diǎn)D.半圓，但要去掉兩個點(diǎn)例2若三棱錐A-BCD的側(cè)面ABC內(nèi)一動點(diǎn)P到平面BCD距離與到棱AB距離相等，則動點(diǎn)P的軌跡與△ABC組成的圖形可能是（）解：設(shè)二面角A—BC—D大小為6,作PRJL面BCD,R為垂足,PQ_LBC于Q,PT±AB于T,則NPQR=6,且由條件PT=PR二PQ?sin6,???尸又為小于1的常數(shù)，故軌跡圖形應(yīng)選（D）o二、幾何體的截痕例3：球在平面上的斜射影為橢園：已知一巨型廣告汽球直徑6米，太陽光線與地面所成角為60。，求此廣告汽球在地面上投影橢圓的離心率和面積（橢圓面積公式為S=nab,其中a,b為長、短半軸長）。故廣告球的投影橢園等價于以廣告球直徑為直徑的圓柱截面橢園：此時Rb=R,a=cos60=2…離心率心）^投影面枳S=nab=R-k-2R=2nR2=18no三、動點(diǎn)與某點(diǎn)（面）的距離問題例4.正方體ABCO-ABCA中，棱長為故廣告球的投影橢園等價于以廣告球直徑為直徑的圓柱截面橢園：此時Rb=R,a=cos60=2…離心率心）^投影面枳S=nab=R-k-2R=2nR2=18no三、動點(diǎn)與某點(diǎn)（面）的距離問題例4.正方體ABCO-ABCA中，棱長為a,E是他的中點(diǎn),3在對角面8紇。1°上找一動點(diǎn)m,使AM+ME最小工二四、常見的軌跡問題（1）軌跡類型識別此類問題最為常見，求解時，關(guān)注幾何體的特征，靈活選擇幾何法與代數(shù)法.例5、（北京）平面a的斜線AB交a于點(diǎn)B,過定點(diǎn)A的動直線I與AB垂直，且交a于點(diǎn)c,則動點(diǎn)c的軌跡是0A.一條直線B.一個圓C.一個橢圓D.雙曲線的一支【解析】直線I運(yùn)動后形成的軌跡剛好為線段AB的垂面，由公理二易知點(diǎn)C剛好落在平面a與線段AB的垂面的交線上，所以動點(diǎn)C的軌跡是一條直線.選擇A.總結(jié)：空間的軌跡最簡單的一直存在形式就是兩個平面的交線，處理問題中注意識別即可.例6、如圖，在正方體ABCDAiBiCiDi中，若四邊形AiBCDi內(nèi)一動點(diǎn)P到ABi和BC的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡為（）A.橢圓的一部分B.圓的一部分C.一條線段D.拋物線的一部分【解析】由于AB1平面ABCD11,連接0P,此即為點(diǎn)P到AB1的距離，由此，動點(diǎn)P到AB1和BC的距離相等轉(zhuǎn)化為在平面內(nèi)到定點(diǎn)（定直線外）的距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡問題,符合拋物線的定義，所以本題選D.總結(jié)：立體幾何中的距離問題，往往需要借助線面垂直轉(zhuǎn)化；涉及到動點(diǎn)的軌跡問題，優(yōu)先考慮定義法.例7、（浙江）如圖，AB是平面。的斜線段...，A為斜足，若點(diǎn)P在平面0內(nèi)運(yùn)動，使得4ABP的面積為定值，則動點(diǎn)P的軌跡是（）A.圓B.橢圓C.一條直線D.兩條平行直線【解析】考慮到三角形的面枳為定值，結(jié)合線段AB固定，易知動點(diǎn)P到線段AB的距離為定值，結(jié)合前文定義，在空間到定直線距離為定值的點(diǎn)的軌跡為以定直線為軸的圓柱面，可以得到P點(diǎn)在此圓柱面上，又點(diǎn)P在平面a內(nèi)運(yùn)動，所以點(diǎn)P在平面a與圓柱面的截線上，由于AB是平面a的斜線段...，所以平面a與圓柱面斜交，由命題1，可以得到動點(diǎn)P的軌跡是橢圓總結(jié)：“動中尋靜”，充分挖掘不變量，是解決此類問題的關(guān)鍵，另外需注意圓柱面的生成過程.例8、如圖，在矩形ABCD中，E為邊AD上的動點(diǎn)，將4ABE沿著直線BE翻轉(zhuǎn)成4ABE1,使平面ABE1_L平面ABCD,則點(diǎn)A1的軌跡是（）A.線段B.圓弧C.橢圓的一部分D.以上都不是【解析】將4ABE沿著直線BE翻轉(zhuǎn)成ABE1的過程中，AB1的長度始終是保持不變的，這樣，點(diǎn)4在以B為球心，以AB為半徑的球面上，所以點(diǎn)A1的形成軌跡為圓弧，選擇B.AB總結(jié):在空間，到定點(diǎn)的距離為定長的點(diǎn)的軌跡為球，球的概念生成的兩個必要條件為定點(diǎn)與定長，解題時注意把控.例9、已知正方體ABCDAiBiCiDi的棱長為1,點(diǎn)P是平面ABCD內(nèi)的動點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線A】Di的距離等于點(diǎn)P到直線CD的距離，則動點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是（）A.拋物線B.雙曲線C.橢圓D.直線【解析】本題從幾何的角度很難找到突破II,可以嘗試從代數(shù)的角度處理：如圖，建立直角坐標(biāo)系xDy，設(shè)Pxy,,則Xy21lx化簡可得：x2-y2=1,即動點(diǎn)P的軌跡所在的曲線為雙曲線，選擇B.總結(jié)：從幾何角度不好入手時，可以嘗試從代數(shù)的角度，利用解析法求解出相應(yīng)軌跡（2）與軌跡相關(guān)的度量

與軌跡相關(guān)的度量，具體涉及到軌跡長度，軌跡面的面枳，軌跡體的體積，以及與軌跡相關(guān)的角度、距離、周長等.例10、在校長為1的正方體ABCDAiBCDi中，MN分別為AJ、AiBi的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動，則總能使MP與BN垂直的點(diǎn)P所構(gòu)成的軌跡的周長為.【解析】依照題意，只需過點(diǎn)M作直線BN的垂面即可，垂面與正方體表面的交線即為動點(diǎn)P的軌跡.D1分別取CC1、DD1中點(diǎn)G、H，易知BN平面AGHD，過M作平面AGHD的平行平面EFGH，點(diǎn)P所構(gòu)成的軌跡即為四邊形EFq/H,其周長與四邊形AGHD的周長相等，所以點(diǎn)P所構(gòu)成的軌跡的周長為25.總結(jié)：本題中面面的交線（截痕）即為動點(diǎn)P的軌跡，處理問題的關(guān)健抓住線面垂直，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化.例11.已知邊長為1的正方體ABCD—AiBiCiDi，在正方體表面上距A為三一（在空間）的點(diǎn)的軌跡是正方體表面上的一條曲線，求這條曲線的長度。解：此問題的實(shí)質(zhì)是以A為球心、為半徑的球在正方體ABCD-A1B1C1D1,各個面上交線的長度計算，正方體的各個面根據(jù)與球心位置關(guān)系分成二類：ABCD,7T,故各段弧圓心角為萬.二這條曲線長度為AA1DD1,AA1BB1為過球心的截面，截痕為大圓弧，各弧圓心角為石，A1B1C1D1,B1BCC1,D1DCC1為與球心距離為1的截面，截痕為小圓弧，由于截面圓半徑為7T,故各段弧圓心角為萬.二這條曲線長度為7T2^/5萬用_5席.汗63236例12、已知直線l_L平面0,垂足為0,在矩形中ABCD,AD=1,AB=2,若點(diǎn)A在I上移動，點(diǎn)B在平面0上移動，則O、D兩點(diǎn)間距離的最大值為（Q2+1【解析】點(diǎn)A在I上移動，點(diǎn)B在平面0上移動過程中，AB的中點(diǎn)M到O點(diǎn)的距離始終保持不變，即AB的中點(diǎn)始終在以O(shè)為球心，1為半徑的球面上.由此可以采用幾何法處理，如圖，連接OD、MO、MD,易知OM+MD>OD,所以O(shè)D的最大值為C本題亦可采用代數(shù)法求解，如圖所示建立坐標(biāo)系,

總結(jié)：利用幾何法解決問題，關(guān)鍵抓住幾何要素，本題中線段的中點(diǎn)在球面上是幾何法解決問題的突破口.利用代數(shù)法解決問題時，選擇合適的建系方案，盡可能的簡化運(yùn)算.例13（2015上海13校聯(lián)考）直線m_L平面夕，垂足為O,正四面體ABCD的棱長是4.點(diǎn)C在平面0上運(yùn)動，點(diǎn)B在直線m上運(yùn)動，則點(diǎn)O到直線AD的距離的取值范圍是（2也+1）五、練習(xí).如圖，正方體ABCD-AiBiJDi的棱長為1,線段BM上有兩個動點(diǎn)E,F,且EF=2,則下列結(jié)論中錯誤的個數(shù)是（）AC±BE.（2）若P為AAi上的一點(diǎn)，則P到平面BEF的距離為2.（3）三棱錐A-BEF的體積為定值.（4）在空間與DDi,AC,BiCi都相交的直線有無數(shù)條.⑸過CJ的中點(diǎn)與直線AJ所成角為40并且與平面BEF所成角為50的直線有2條.“、EF=—2.如圖，正方體的8一44.2的棱長為1,線段紇°】上有兩個動點(diǎn)瓦產(chǎn)，且=石，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A.AC±BEB.石尸〃平面人8coC.三棱錐A—尸的體積為定值D.4AEF與ABEF的面積相等3?關(guān)于圖中的正方體A8S-A4a下列說法正確的有：①P點(diǎn)在線段5。上運(yùn)動，棱錐°一442體積不變；②尸點(diǎn)在線段50上運(yùn)動，二面角「一旦.一“不變；③一個平面0截此正方體，如果截面是三角形，則必為銳角三角形；④一個平面0截此正方體，如果截面是四邊形，則必為平行四邊形；⑤平面0截正方體得到一個六邊形（如圖所示），則截面°在平面

A3。與平面6°G間平行移動時此六邊形周長先增大，后減小。4、如圖,正方體488-的枝長為1,P為BC的中點(diǎn),Q為線段CG上的動點(diǎn)，過點(diǎn)a,p,q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是（寫出所有正確命題的編號）.0<CQ<-①當(dāng)2時,s為四邊形；CQ=-②當(dāng)2時,s不為等腰梯形；31CQ=-rnC1R=_③當(dāng)4時,s與優(yōu)生的交點(diǎn)r滿足3.3-<Cg<l④當(dāng)4時,s為六邊形；正⑤當(dāng)c°=i時,s的面積為2.①⑤.在正方體ABC?！狝與GR