廣東省中山市廣東博文學(xué)校2021年高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

廣東省中山市廣東博文學(xué)校2021年高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知偶函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，且f(1)=3，那么不等式f(x)<3的解集為（

）A.

B.

C.(-1,1)

D.參考答案：D2.已知平面α∥平面β，直線m?平面α，那么直線m與平面β的關(guān)系是（）A．直線m在平面β內(nèi) B．直線m與平面β相交但不垂直C．直線m與平面β垂直 D．直線m與平面β平行參考答案：D【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定．【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)得到直線m與平面β沒(méi)有公共點(diǎn)，由線面平行的定義可得．【解答】解；因?yàn)槠矫姒痢纹矫姒?，直線m?平面α，所以直線m與平面β沒(méi)有公共點(diǎn)，所以直線m∥平面β；故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了面面平行的性質(zhì)以及線面平行的判定，運(yùn)用了線面平行的定義，屬于基礎(chǔ)題．3.設(shè)隨機(jī)變量，滿足：，，若，則（

）A．4

B．5

C．6

D．7參考答案：A4.在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若使該三角形繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的體積是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）．【分析】所形成的幾何體是以ACD為軸截面的圓錐中挖去了一個(gè)以ABD為軸截面的小圓錐后剩余的部分，故用大圓錐的體積減去小圓錐的體積，即為所求．【解答】解：如圖：△ABC中，繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體是以ACD為軸截面的圓錐中挖去了一個(gè)以ABD為軸截面的小圓錐后剩余的部分．∵AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，∴AE=ABsin60°=，BE=ABcos60°=1，V1==，V2==π，∴V=V1﹣V2=，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐的體積公式的應(yīng)用，判斷旋轉(zhuǎn)體的形狀是解題的關(guān)鍵．5.若a，b，c均為單位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，則|a＋b－c|的最大值為()A．－1

B．1C．

D．2參考答案：B6.已知點(diǎn),且,則實(shí)數(shù)的值是

A.或

B.或

C.或

D.或參考答案：D7.設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是（）A．若,,,則 B．若,,,則C．若,,,則 D．若,,,則參考答案：D8.已知全集U=R，集合A={x|x2＞4}，則?UA=（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．[﹣2，2] C．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） D．[﹣4，4]參考答案：B【考點(diǎn)】補(bǔ)集及其運(yùn)算．【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義，求出A在U中的補(bǔ)集即可．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2＞4}=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），所以?UA=[﹣2，2]．故選：B9.直線2x﹣y=7與直線3x+2y﹣7=0的交點(diǎn)是（）A．（3，﹣1） B．（﹣1，3） C．（﹣3，﹣1） D．（3，1）參考答案：A【考點(diǎn)】?jī)蓷l直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．【專題】計(jì)算題．【分析】要求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立兩條直線的方程求出解集即可得到．【解答】解：聯(lián)立直線方程得：解得即交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣1）故選A【點(diǎn)評(píng)】考查學(xué)生會(huì)根據(jù)兩條直線的方程求交點(diǎn)坐標(biāo)，此題比較簡(jiǎn)單．10.某人在打靶中,連續(xù)射擊2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是

(

)

A.至多有一次中靶

B.兩次都中靶

C.兩次都不中靶

D.只有一次中靶參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.參數(shù)方程所表示的曲線的普通方程為

．參考答案：略12.學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長(zhǎng)方體ABCD–A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中O為長(zhǎng)方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，，3D打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為_(kāi)__________g.參考答案：118．8【分析】根據(jù)題意可知模型的體積為四棱錐體積與四棱錐體積之差進(jìn)而求得模型的體積，再求出模型的質(zhì)量.【詳解】由題意得，，四棱錐O?EFG的高3cm，∴．又長(zhǎng)方體的體積為，所以該模型體積為，其質(zhì)量為．【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的體積問(wèn)題，理解題中信息聯(lián)系幾何體的體積和質(zhì)量關(guān)系，從而利用公式求解．13.要使的圖像不經(jīng)過(guò)第一象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍__________．參考答案：14.甲乙丙丁四個(gè)人參加某項(xiàng)比賽,只有一人獲獎(jiǎng),甲說(shuō):是乙或丙獲獎(jiǎng),乙說(shuō):甲丙都未獲獎(jiǎng),丙說(shuō):我獲獎(jiǎng)了,丁說(shuō):是乙獲獎(jiǎng).已知四人中有且只有一人說(shuō)了假話,則獲獎(jiǎng)的人為_(kāi)_______.參考答案：乙【分析】本題首先可根據(jù)題意中的“四人中有且只有一人說(shuō)了假話”將題目分為四種情況，然后對(duì)四種情況依次進(jìn)行分析，觀察四人所說(shuō)的話是否沖突，最后即可得出結(jié)果?！驹斀狻咳艏渍f(shuō)了假話，則乙丙丁說(shuō)的是真話，但是丙丁所說(shuō)的話沖突，故不正確；若乙說(shuō)了假話，則甲丙丁說(shuō)的是真話，但是丙丁所說(shuō)的話沖突，故不正確；若丙說(shuō)了假話，則甲乙丁說(shuō)的是真話且丙未獲獎(jiǎng)，由“是乙或丙獲獎(jiǎng)”、“甲丙都未獲獎(jiǎng)”、“丙未獲獎(jiǎng)”以及“是乙獲獎(jiǎng)”可知，獲獎(jiǎng)?wù)呤且?；若丁說(shuō)了假話，則甲乙丙說(shuō)的是真話，但是乙丙所說(shuō)的話沖突，故不正確，綜上所述，獲獎(jiǎng)?wù)呤且?。【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)簡(jiǎn)單的合情推理題，能否根據(jù)“四人中有且只有一人說(shuō)了假話”將題目所給條件分為四種情況并通過(guò)推理判斷出每一種情況的正誤是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，是簡(jiǎn)單題。15.若曲線上任意一點(diǎn)處的切線的傾斜角都是銳角,則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.參考答案：16.過(guò)點(diǎn)（1，2）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是_________________.參考答案：17.若函數(shù)f(x)=2|x－a|(a∈R)滿足f(1+x)=f(1－x)，且f(x)在[m,+∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的最小值等于_______．參考答案：1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=e2x﹣1﹣2x﹣kx2（Ⅰ）當(dāng)k=0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若x≥0時(shí)，f（x）≥0恒成立，求k的取值范圍．（Ⅲ）試比較與（n∈N*）的大小關(guān)系，并給出證明：（）參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)恒成立問(wèn)題；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用．【分析】（I）求得函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；（II）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），再求導(dǎo)數(shù)f''（x），討論k的范圍，①當(dāng)2k≤4即k≤2時(shí)，②當(dāng)2k＞4即k＞2時(shí)，求出導(dǎo)數(shù)符號(hào)，確定單調(diào)性，即可得到所求范圍；（Ⅲ）由（II）知，e2x≥1+2x+2x2，令x=1，2，…，n﹣1，可得n﹣1個(gè)不等式，累加，運(yùn)用不等式的性質(zhì)和求和公式，即可得到所求大小關(guān)系．【解答】解：（I）函數(shù)f（x）=e2x﹣1﹣2x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2（e2x﹣1），∵x＞0時(shí)f′（x）＞0，x＜0時(shí)f′（x）＜0，∴單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，0）；（II）f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2e2x﹣2﹣2kx，f''（x）=4e2x﹣2k，①當(dāng)2k≤4即k≤2時(shí)，f''（x）＞0?f′（x）單調(diào)遞增?f′（x）≥0?f（x）單調(diào)遞增?f（x）≥f（0）=0恒成立，∴k≤2使原式成立；②當(dāng)2k＞4即k＞2時(shí)，?x0＞0使x∈[0，x0）時(shí)f''（x）＜0?f′（x）單調(diào)遞減?f′（x）≤f′（0）=0?f（x）單調(diào)遞減?f（x）＜f（0）=0不滿足條件．綜上可得，k≤2；（Ⅲ）由（II）知，當(dāng)k=2時(shí)，e2x﹣1﹣2x﹣kx2≥0成立，即e2x≥1+2x+2x2，取x=n得e2n＞1+2n+2n2，e2＞1+2+2，e4＞1+2×2+2×22，e6＞1+2×3+2×32，…e2（n﹣1）＞1+2（n﹣1）+2（n﹣1）2，∴＞n+2[1+2+3+…+（n﹣1）]+2[12+22+…+（n﹣1）2]=．所以≥（n=1時(shí)取等號(hào)）．19.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面積為，求cosA與a的值．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；解三角形．【分析】利用三角形的面積公式，求出sinA=，利用平方關(guān)系，求出cosA，利用余弦定理求出a的值．【解答】解：∵b=3，c=1，△ABC的面積為，∴=，∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的面積公式、余弦定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．20.在直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)實(shí)施變換后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，給出以下命題：①圓上任意一點(diǎn)實(shí)施變換后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡仍是圓；②若直線上每一點(diǎn)實(shí)施變換后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程仍是則；③橢圓上每一點(diǎn)實(shí)施變換后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡仍是離心率不變的橢圓；④曲線：上每一點(diǎn)實(shí)施變換后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是曲線，是曲線上的任意一點(diǎn)，是曲線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為．以上正確命題的序號(hào)是____▲____（寫(xiě)出全部正確命題的序號(hào)）．參考答案：①③④略21.（10分）如圖，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，點(diǎn)P為DD1的中點(diǎn)．（1）求證：直線BD1∥平面PAC；（2）求證：平面PAC⊥平面BDD1B1；（3）求CP與平面BDD1B1所成的角大小．參考答案：（1）

證明：設(shè)AC和BD交于點(diǎn)O，連PO，由P，O分別是DD1，BD的中點(diǎn)，故PO∥BD1，

.......................1分∵PO平面PAC，BD1平面PAC，所以，直線BD1∥平面PAC．.........3分（2）長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，底面ABCD是正方形，則AC⊥BD，又DD1⊥面ABCD，則DD1⊥AC．

............................5分∵BD平面BDD1B1，D1D平面BDD1B1，BD∩D1D=D，∴AC⊥面BDD1B1．∵AC平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDD1B1．

...............7分（3）由（2）已證：AC⊥面BDD1B1，∴CP在平面BDD1B1內(nèi)的射影為OP，∴∠CPO是CP與平面BDD1B1所成的角