有理數(shù)的規(guī)律題

已知：13=1=』x12x22；13+23=9=」x22x32；13+23+33=36=」x324 4 4x42；13+23+33+43=100=1x42x52；?.?4猜想填空：13+23+33+-+(n-1)3+n3=1x()2x( )2；4計(jì)算：13+23+33+…+993+1003；23+43+63+…+983+1003。1 11 1 1 1 111 =一—— =——— =———1x212 2x3 2 3 3x434計(jì)算：1計(jì)算：2004x2005111111 1 — 200420053342004=2005二一一——+——一—+———+…+ — 200420053342004=20051221=1 2005理解以上方法的真正含義，計(jì)算:1 1 1(1) + 10x1111x12+...+ 100x1011 1(2) + +1x33x5+ 2005x2007TOC\o"1-5"\h\z13 5 7一列數(shù)—，+，一，+— 寫(xiě)出第n個(gè)數(shù)是 2 4 8 16已知數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，試化簡(jiǎn)Ia-c|-|a+b+c|-Ib-a|+Ib+c|的值27.(本題共8分)從2開(kāi)始，連續(xù)的偶數(shù)相加，它們的和的情況如下表:加數(shù)的個(gè)數(shù)m 和(S) 2=1X2 2+4=6=2X3 2+4+6=12=3X4 2+4+6+8=20=4X5 2+4+6+8+10=30=5X6按這個(gè)規(guī)律，當(dāng)m=6時(shí)，和為；

從2開(kāi)始，m個(gè)連續(xù)偶數(shù)相加，它們的和S與m之間的關(guān)系，用公式表示出來(lái)為:①2+4+6——200②202+204+206——300(3)應(yīng)用上述公式計(jì)算:①2+4+6——200②202+204+206——300觀察、猜想、驗(yàn)證、求值.從2開(kāi)始，連續(xù)偶數(shù)相加，它們的和的情況如下表(加數(shù)的個(gè)數(shù)為n,和為s)：2=1x22+4=6=2x32+4+6=12=3x42+4+6+8=20=4X52+4+6+8+10=30=5x6當(dāng)n個(gè)連續(xù)偶數(shù)相加時(shí)，它們的和s與n之間有什么樣的關(guān)系?請(qǐng)用公式表示出來(lái)，并由此計(jì)算2+4+6+???+202的值.探索規(guī)律：根據(jù)下圖中箭頭指向的規(guī)律，從2004到2005再到2006,箭頭的方向是( )探索規(guī)律：用棋子按下面的方式擺出正方形(2) (3)①按圖示規(guī)律填寫(xiě)下表：圖形編號(hào)12345 棋子個(gè)數(shù) ②按照這種方式擺下去，擺第10個(gè)正方形需要多少個(gè)棋子？求1+2+22+23+,??+22012的值，可令S=1+2+22+23+,??+22012，貝2S=2+22+23+24+,??+22013，因此2S-S=22013-1.仿照以上推理，計(jì)算出1+3+32+33+???+32013的值為符號(hào)“ ”表示一種運(yùn)算，它對(duì)一些數(shù)的運(yùn)算結(jié)果如下：f(x)=0,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=3,…TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 1 1、f(-)=-2,f(-)=-3,f(-)=-4,f(-)=-5，…3 4 51利用以上規(guī)律計(jì)算f(^―)+f(2010)= .2010 如圖所示，一個(gè)點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)開(kāi)始，先向右移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度，可以看到終點(diǎn)表示是-3，已知A、B是數(shù)軸上的點(diǎn)，請(qǐng)參照如圖并思考，完成下列各題.如果點(diǎn)A表示的數(shù)-1,將點(diǎn)A向右移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，那么終點(diǎn)B表示的數(shù)是.A、B兩點(diǎn)間的距離是 。如果點(diǎn)A表示的數(shù)2,將點(diǎn)A向左移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，那么終點(diǎn)B表示的數(shù)是A、B兩點(diǎn)間的距離是 。如果點(diǎn)A表示的數(shù)m，將點(diǎn)A向右移動(dòng)n個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)p個(gè)單位長(zhǎng)度，那么請(qǐng)你猜想終點(diǎn)B表示的數(shù)是A、B兩點(diǎn)間的距離是 第一列第二列第三列第四列弟—仃L4第一列第二列第三列第四列弟—仃L4-NX .■■；—涕一仃23615NX .■■：—弟二仃98714第四行10111213第五行Ifffitfrtl1將正整數(shù)按以下規(guī)律排列:與有序數(shù)對(duì)(3,1)第五列17表中數(shù)9在第三行第一列，對(duì)應(yīng)，數(shù)5與(1,3)對(duì)應(yīng)，數(shù)14與(3,圖2圖2的形狀，這樣我們可以算出圖1中所有圓圈的個(gè)數(shù)為4)對(duì)應(yīng)，根據(jù)這一規(guī)律，數(shù)2014對(duì)應(yīng)的有序數(shù)對(duì)為 ▲圖1是由若干個(gè)小圓圈堆成的一個(gè)形如等邊三角形的圖案，最上面一層有一個(gè)圓圈，以下各層均比上一層多一個(gè)圓圈，一共堆了n層.將圖1倒置后與原圖拼成1+2+3+?『二^)2如圖1,當(dāng)有11層時(shí)，圖中共有▲個(gè)圓圈我們自上往下堆12層，在每個(gè)圓圈中都按圖3的方式填上一串連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，4，…，則最底層最左邊這個(gè)圓圈中的數(shù)是▲我們自上往下堆12層，在每個(gè)圓圈中都按圖4的方式填上一串連續(xù)的整數(shù)-20，-19，-18，…，求圖4所有圓圈中各數(shù)之積與各數(shù)之和.觀察表1，尋找規(guī)律.表2是從表l中截取的一部分，其中?，b，c的值分別為( )1+2+1=22=41+2+3+2+1=32=91+2+3+4+3+2+1=42=16聰明的你一定能找出其中的規(guī)律，請(qǐng)利用其規(guī)律填空，1+2+3+???+99+100+99+???+3+2+1==(2‘)由此，我們又可利用上式得到求若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)和的方法，思考后請(qǐng)運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題求1+2+3+???+99+100的值(2，)由此可得：1+2+3+-+n=。(2，)觀察下面的一列數(shù)：7?，—二，；，一由 請(qǐng)你找出其中排列的規(guī)律，并按此規(guī)律填2 6 12 20空.第5個(gè)數(shù)是 ，第10個(gè)數(shù)是 .1、有若干個(gè)數(shù)，第一個(gè)數(shù)記為。］，第二個(gè)數(shù)記為a2，…，第n個(gè)數(shù)記為an。若a1=|，從第二個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都等于“1與它前面那個(gè)數(shù)的差的倒數(shù)”。試計(jì)算：a2=，a3=，a4=，a5=。由你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請(qǐng)計(jì)算a2004是多少？(6分)閱讀下題解答：

(1)115(+———+—+k42)237k計(jì)算:k24)分析：利用倒數(shù)的意義，先求出原式的倒數(shù)，再得原式的值.計(jì)算:k24)分析：利用倒數(shù)的意義，先求出原式的倒數(shù)，再得原式的值.(1\(237)———+—

k348)所以原式=—119根據(jù)閱讀材料提供的方法，完成下面的計(jì)算:解:x(—24)=—16+18-21=—19TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 1 1 1數(shù)學(xué)問(wèn)題：計(jì)算一+——+——+…+——(其中m，n都是正整數(shù)，且m32，n31).mm2m3 mn探究問(wèn)題：為解決上面的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過(guò)不斷地分割一個(gè)面積為1的正方形，把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來(lái)，并采取一般問(wèn)題特殊化的策略來(lái)進(jìn)行探究.\o"CurrentDocument"1 1 1 1探究一：計(jì)算2+公+五I+五、 1第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為；C 1 1第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影部分的面積之和為：+-2 22第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，…；第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為\o"CurrentDocument"111 1 、1+—+—+…+—，最后空白部分的面積是1——.22223 2n 2n\o"CurrentDocument"1 1 1 1 1根據(jù)第"次分割圖可得等式：2+22+23+…+京*京1探究二：計(jì)算3指+安+…+攵第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為322第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，陰影部分的面積之和為3+^；第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，…;第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分，所有陰影部分的面積之和為2 2 2 一1—+——+…+~，最后空白部分的面積是1——.3233 3n 3n2 2 2 一1根據(jù)第n次分割圖可得等式：打+廠+廠+…+丁=1—32 33 3n3n兩邊同除以2得1兩邊同除以2得1+1+1+…+332 3311 1 —

3n2 2X3n探究二:（仿照上述方法，只畫(huà)出第n次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并寫(xiě)出探究過(guò)程）第用次分割解決問(wèn)題：計(jì)算-+—+—+…+—TOC\o"1-5"\h\zmm2m3 mn（只需畫(huà)出第n次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并完成以下填空）根據(jù)第n次分割圖可得等式：，\o"CurrentDocument"1 1 1 1所以，一+——+——+…+——=mm2m3 mn, 5—1, 5—1拓廣應(yīng)用：計(jì)算一―+52—1 53—1 + 52 535n—1+…+——5n已知下列式子：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,...觀察個(gè)位數(shù)的變化情況，2201的個(gè)位數(shù)字 .20.已知整數(shù)a1，口2,土3，財(cái)…滿足下列條件:a1=0，a2=Tq]+1I，灼=_1^2+21，a4=-|。3+31，…，依次類推，則a2014的值為.點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為IAB|.當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)，如圖1，|AB|=|OB|=|b|=|a—bI；當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)，如圖2，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊|AB|=|OB|—|OA|=|b|—|a|=b—a=|a—b|；如圖3，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊，|AB|=|OB|—|OA|=|b|—|a|=—b—(—a)=|a—b|；

如圖4,點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩邊，IAB1=1OB|+|OA|=|q|+|》|=a+(—b)=Ia—b|；O(AO(A) B? ?0圖1b?0?a圖2?bBOA?b?0圖4?aOA b回答下列問(wèn)題：數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是 ，數(shù)軸上表示一2和一5的兩點(diǎn)之間的距離是 ，數(shù)軸上表示1和一3的兩點(diǎn)之間的距離；數(shù)軸上表示x和3的兩點(diǎn)A和B之間的距離是 ,如果|AB|=2,那么x為；當(dāng)式子|x+1|+|x—3|取最小值時(shí)，相應(yīng)的x的取值范圍觀察下列數(shù)字的排列規(guī)律，然后在橫線上填入適當(dāng)?shù)臄?shù)：3,-7,11，15，19,-23,探索規(guī)律:觀察下面由※組成的圖案和算式，解答問(wèn)題:9濃淤淤淤淤7淤淤淤淤淤5濃濃淤洪淤3淤淤淤淤淤1淤濃淤淤淤;(1分);(1分)1+3+5=9=321+3+5+7=19=421+3+5+7+9=25=52請(qǐng)猜想1+3+5+7+9+…+29=請(qǐng)猜想1+3+5+7+9+…+(2n-1)+(2n+1)=；(2分)請(qǐng)用上述規(guī)律計(jì)算:(3分)41+43+45+……+77+79探索規(guī)律將連續(xù)的偶2,4,6,8,…，排成如下表:2 4 6 8 1012 14 16 18 20TOC\o"1-5"\h\z22 2426 28 3032 3436 38 40… …（1） 十字框中的五個(gè)數(shù)的和與中間的數(shù)和16有什么關(guān)系？（2） 設(shè)中間的數(shù)為x，用代數(shù)式表示十字框中的五個(gè)數(shù)的和.（3） 若將十字框上下左右移動(dòng)，可框住另外的五位數(shù)，其它五位數(shù)的和能等于2010嗎?如能，寫(xiě)出這五位數(shù)，如不能，說(shuō)明理由。閱讀以下材料，完成相關(guān)的填空和計(jì)算。（1） （2分）根據(jù)倒數(shù)的定義我們知道，若（a+b）：c=一3，貝M：（。+b）=,11 1、，1、（2） （4分）計(jì)算：（一+- ）（—-）9412 36（2）（2分）根據(jù)以上信息可知（一奇）4_（一舛+頂—；？）=36 9412定義一種新運(yùn)算：觀察下列式子：1⑥3=1x4+3=7 30(—1)=3x4—1=11504=5x4+4=24 40（—3）=4x4一3=13（1） 請(qǐng)你想一想：a0b=；（2） 若a豐b,那么a0bb0a（填入“="或“尹"）（3） 若［a0（一6）］03=30a，請(qǐng)求出a的值。一張長(zhǎng)方形桌子可坐6人，按下圖方式講桌子拼在一起。2張桌子拼在一起可坐人；（1分）3張桌子拼在一起可坐人；（1分）n張桌子拼在一起可坐人。（2分）一家餐廳有40張這樣的長(zhǎng)方形桌子按照上圖方式每5張桌子拼成1張大桌子，則40張桌子可拼成8張大桌子，共可坐人。（2分）（1）猜想并寫(xiě)出:（1）猜想并寫(xiě)出:1n\n一1)2 23344aa已知2—=22X—,3+—=32X—，4+一=42X—,10+—=102X ，則a+b=3 3881515bb11(5分)==1--1_1——1— 1_1——1，?…將以上二二個(gè)等式兩邊分別相加得:1x2 22x3233x43411111111131 1—1—+- 1 —1———1x22x33x42233444用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問(wèn)題:（2）直接寫(xiě)出下列各式的計(jì)算結(jié)果:H 2010x2011①上+上+上+1x22H 2010x201111TOC\o"1-5"\h\z② 1 H1x22x33x4探究并計(jì)算：H 2010x2012\o"CurrentDocument"H 2010x2012\o"CurrentDocument" 1 1 F2x44x66x813222132223則(1'.(1')ac…34=a?d—b?c,例如=3X5—2X4=7bd251、讓我們規(guī)定一種新運(yùn)算2、觀察下列幾個(gè)等式:1+2+1=22=41+2+3+2+1=32=9

聰明的你一定能找出其中的規(guī)律，請(qǐng)利用其規(guī)律填空，1+2+3+???+99+100+99+???+3+2+1==(2')由此，我們又可利用上式得到求若十個(gè)連續(xù)自然數(shù)和的方法，思考后請(qǐng)?zhí)羁?+2+3+???+99+100=(1')由此可得：1+2+3+…+^。(1')觀察下列數(shù)111111/Mj"Iyu>^a：1，—，一，—，一，— 23 45 6、這列數(shù)的2014個(gè)數(shù)是多少；、如果這列數(shù)無(wú)限排列下去，會(huì)與越來(lái)越接近。觀察下面一列數(shù)的規(guī)律并填空：0，—3,8,—15,24,—35,……則第100個(gè)數(shù)是閱讀理解：讀一讀：式子“1+2+3+4+5+……+100”表示1開(kāi)始的100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和.