廣東省惠州市康達(dá)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

廣東省惠州市康達(dá)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知,若,則=(

)A．0.2

B．0.3 C．0.7

D．0.8參考答案：D略2.若直線y=k（x+4）與曲線x=有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A．[﹣，] B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）參考答案：A考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系．專題：計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；直線與圓．分析：求得直線恒過定點(diǎn)（﹣4，0），曲線x=即為右半圓x2+y2=4，作出直線和曲線，通過圖象觀察，即可得到直線和半圓有交點(diǎn)時(shí)，k的范圍．解答：解：直線y=k（x+4）恒過定點(diǎn)（﹣4，0），曲線x=即為右半圓x2+y2=4，當(dāng)直線過點(diǎn)（0，﹣2）可得﹣2=4k，解得k=﹣，當(dāng)直線過點(diǎn)（0，2）可得2=4k，解得k=．由圖象可得當(dāng)﹣≤k≤時(shí)，直線和曲線有交點(diǎn)．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．3.設(shè)全集是實(shí)數(shù),,則（

）A．

B.

C.

D.參考答案：A略4.命題：若，則與的夾角為鈍角.命題：定義域?yàn)镽的函數(shù)在及上都是增函數(shù)，則在上是增函數(shù).下列說法正確的是（

）A.是真命題

B.是假命題

C.為假命題

D.為假命題參考答案：B略5.(本小題滿分12分)已知關(guān)于的不等式的解集為，（1）求的值；（2）解關(guān)于的不等式：參考答案：（1）由題意知且和3是方程的兩個(gè)根------3分

------------------------------------------------------------6分

------------------------------------------------------------7分（2）由（1）知不等式可化為

-------------------8分即

-------------------10分原不等式的解集為

----------------12分6.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰好為一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn),則該橢圓的離心率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A7.如圖所示是的導(dǎo)數(shù)的圖像，下列四個(gè)結(jié)論：①在區(qū)間上是增函數(shù)； ②是的極小值點(diǎn)；③在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)；④是的極小值點(diǎn)．

其中正確的結(jié)論是A．①②③

B．②③ C．③④

D．①③④參考答案：B8.過橢圓內(nèi)的一點(diǎn)P（2，﹣1）的弦，恰好被P點(diǎn)平分，則這條弦所在的直線方程是(

)A．5x﹣3y﹣13=0 B．5x+3y﹣13=0 C．5x﹣3y+13=0 D．5x+3y+13=0參考答案：A考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)；中點(diǎn)坐標(biāo)公式．專題：計(jì)算題．分析：設(shè)過點(diǎn)P的弦與橢圓交于A1，A2兩點(diǎn)，并設(shè)出他們的坐標(biāo)，代入橢圓方程聯(lián)立，兩式相減，根據(jù)中點(diǎn)P的坐標(biāo)可知x1+x2和y1+y2的值，進(jìn)而求得直線A1A2的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式求得直線的方程．解答：解：設(shè)過點(diǎn)P的弦與橢圓交于A1（x1，y1），A2（x2，y2）兩點(diǎn)，則，且x1+x2=4，y1+y2=﹣2，∴（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）=0，∴kA1A2==．∴弦所在直線方程為y+1=（x﹣2），即5x﹣3y﹣13=0．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)和直線與橢圓的位置關(guān)系．涉及弦長的中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化9.是直線y=kx﹣1與曲線x2﹣y2=4僅有一個(gè)公共點(diǎn)的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】把直線y=kx﹣1方程代入曲線x2﹣y2=4，化為：（k2﹣1）x2﹣2kx+5=0，由△=0，解得k=．此時(shí)直線與雙曲線有唯一公共點(diǎn)．當(dāng)k=±1時(shí)，直線y=kx﹣1與曲線x2﹣y2=4僅有一個(gè)公共點(diǎn)．j即可判斷出結(jié)論．【解答】解：把直線y=kx﹣1方程代入曲線x2﹣y2=4，化為：（k2﹣1）x2﹣2kx+5=0，由△=4k2﹣20（k2﹣1）=0，解得k=．此時(shí)直線與雙曲線有唯一公共點(diǎn)．當(dāng)k=±1時(shí)，直線y=kx﹣1與曲線x2﹣y2=4僅有一個(gè)公共點(diǎn)．∴是直線y=kx﹣1與曲線x2﹣y2=4僅有一個(gè)公共點(diǎn)的充分不必要條件．故選：A．10.數(shù)列前n項(xiàng)的和為（ ）A．

B．C．

D． 參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點(diǎn)A（－3，1，2），則點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為

；AB的長為

；參考答案：B（3，-1，-2）,|AB|=略12.下列命題（為虛數(shù)單位）中正確的是①已知，則a＝b是為純虛數(shù)的充要條件；②當(dāng)z是非零實(shí)數(shù)時(shí)，恒成立；③復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都是－2；④如果，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是；⑤復(fù)數(shù)，則其中正確的命題的序號(hào)是

。（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）。參考答案：②③④13.已知F是拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)，A,B是C上的兩個(gè)點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M（2,2），則△ABF的面積等于________.參考答案：214.各邊長為1的正四面體，內(nèi)切球表面積為，外接球體積為

．參考答案：【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】畫出圖形，確定兩個(gè)球的關(guān)系，通過正四面體的體積，求出兩個(gè)球的半徑的比值，即可求棱長為1的正四面體的外接球體積、內(nèi)切球的表面積．【解答】解：設(shè)正四面體為PABC，兩球球心重合，設(shè)為O．設(shè)PO的延長線與底面ABC的交點(diǎn)為D，則PD為正四面體PABC的高，PD⊥底面ABC，且PO=R，OD=r，OD=正四面體PABC內(nèi)切球的高．設(shè)正四面體PABC底面面積為S．將球心O與四面體的4個(gè)頂點(diǎn)PABC全部連接，可以得到4個(gè)全等的正三棱錐，球心為頂點(diǎn)，以正四面體面為底面．每個(gè)正三棱錐體積V1=?S?r而正四面體PABC體積V2=?S?（R+r）根據(jù)前面的分析，4?V1=V2，所以，4??S?r=?S?（R+r），所以，R=3r，因?yàn)槔忾L為1，所以AD=，所以PD=，所以R=，r=所以棱長為1的正四面體的外接球體積為π?（）2=、內(nèi)切球的表面積為4π?（）2=，故答案為：，【點(diǎn)評(píng)】本題是中檔題，考查正四面體的內(nèi)切球與外接球的表面積，找出兩個(gè)球的球心重合，半徑的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力，計(jì)算能力．15.已知幾何體的三視圖如圖所示,它的表面積是

．參考答案：16.擇優(yōu)班)．函數(shù)y＝a1－x(a>0，a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx＋ny－1＝0(m，n>0)上，則的最小值為________．參考答案：417.已知各項(xiàng)都為正項(xiàng)的等比數(shù)列的任何一項(xiàng)都等于它后面相鄰兩項(xiàng)的和，則該數(shù)列的公比

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.點(diǎn)，是橢圓：上兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足.（1）若點(diǎn)M在橢圓上，求證：；（2）若，求點(diǎn)M到直線距離的取值范圍.參考答案：（1）詳見解析；（2）.【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，由，可得，，由點(diǎn)橢圓上，∴，代入可得證明；（2）由（1）和，可得點(diǎn)在橢圓上.，設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線方程為，整理可得的值，可得點(diǎn)到直線距離的取值范圍.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，由，可得：，即.

①（1）∵點(diǎn)在橢圓上，∴.將①代入上式得，展開并整理得.∵點(diǎn)，在橢圓上，∴且.∴，即.（2），即點(diǎn)M在橢圓上.設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線方程為.消去并整理得，令判別式，即，解得.點(diǎn)到直線距離的最大值為，最小值為，∴點(diǎn)M到直線距離的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)及向量與橢圓的綜合，及直線與橢圓的位置關(guān)系，相對(duì)較復(fù)雜，需注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.19.已知函數(shù)①求函數(shù)的最大值和最小值；②求的單調(diào)遞區(qū)間.參考答案：略20.已知二次函數(shù)(其中,t為常數(shù)）,的圖象如圖所示.

（1）根據(jù)圖象求a、b、c的值；

（2）求陰影面積S關(guān)于t的函數(shù)S(t)的解析式；

（3）若問是否存在實(shí)數(shù)m，使得的圖象與的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．參考答案：解：（1）由圖形知：

解之,得∴函數(shù)f（x）的解析式為

（2）由

得

∵，∴∴直線l1與f（x）的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為

由定積分的幾何意義知：.

（3）令因?yàn)閤＞0，要使函數(shù)與函數(shù)有且僅有2個(gè)不同的交點(diǎn)，則函數(shù)的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

.當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，是減函數(shù)；當(dāng)x∈（3，+∞）時(shí)，是增函數(shù)；

當(dāng)x=1或x=3時(shí)，.∴.又因?yàn)楫?dāng)x無限趨近于零時(shí)，當(dāng)x無限大時(shí),所以要使有且僅有三個(gè)不同的正根，必須且只須

，即

故∴時(shí)，函數(shù)與的圖象有且只有三個(gè)不同交點(diǎn)略21.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，射線y=x（x≥0）和y=0（x≥0）上分別依次有點(diǎn)A1、A2，…，An，…，和點(diǎn)B1，B2，…，Bn…，其中，，．且，（n=2，3，4…）．（1）用n表示|OAn|及點(diǎn)An的坐標(biāo)；（2）用n表示|BnBn+1|及點(diǎn)Bn的坐標(biāo)；（3）寫出四邊形AnAn+1Bn+1Bn的面積關(guān)于n的表達(dá)式S（n），并求S（n）的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列與解析幾何的綜合；數(shù)列遞推式．【分析】（1）由，能求出．（2）由，知，由此能用n表示|BnBn+1|及點(diǎn)Bn的坐標(biāo)．（3）由，寫出四邊形AnAn+1Bn+1Bn的面積關(guān)于n的表達(dá)式S（n），并求出S（n）的最大值．【解答】解：（1）∵…∴…（2）…，∴…（3），∴…∵，∴n≥4時(shí)，S（n）單調(diào)遞減．又，