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廣東省惠州市藍(lán)田民族中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.非零向量滿足;,則與夾角的大小為(
)A.135°
B.120°
C.60°
D.45°參考答案:A因?yàn)?,即,因?yàn)?,可得,整理可得,所以有,設(shè)與的夾角為,則有,又因?yàn)?,所以,故選A.
2.函數(shù)的圖象大致是(
)參考答案:D3.已知集合,.若,則實(shí)數(shù)的值是(
)A.
B.
C.或
D.或或參考答案:C4.已知為等差數(shù)列,若,則的值為(
) A. B. C. D.參考答案:D略5.在函數(shù)①,②,③,④中,最小正周期為的所有函數(shù)為A.①②③
B.①③④
C.②④
D.①③參考答案:A:由是偶函數(shù)可知,最小正周期為,即①正確;y=|cosx|的最小正周期也是p,即②也正確;最小正周期為,即③正確;的最小正周期為,即④不正確.即正確答案為①②③,選A6.設(shè)復(fù)數(shù)(其中為虛數(shù)單位),則的虛部為A.
B.
C.
D.
參考答案:D7.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),對(duì)任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+2f(3),且f(0)=3,則f=(
)A.1 B.2 C.3 D.4參考答案:C考點(diǎn):函數(shù)奇偶性的性質(zhì).專題:計(jì)算題;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析:令x=﹣3可求f(3),然后代入可得f(x+6)=f(x)即函數(shù)是以6為周期的函數(shù),結(jié)合已知可求函數(shù)值.解:f(x+6)=f(x)+2f(3),且f(x)是定義在R上的偶函數(shù)令x=﹣3可得f(3)=f(﹣3)+2f(3)且f(﹣3)=f(3)∴f(﹣3)=f(3)=0∴f(x+6)=f(x),即函數(shù)是以6為周期的函數(shù)∵f(0)=3∴f=f(0)=3故選:C.點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的周期性和奇偶性的應(yīng)用,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的S值為(
)A.3 B.﹣6 C.10 D.﹣15參考答案:C【考點(diǎn)】循環(huán)結(jié)構(gòu);選擇結(jié)構(gòu).【專題】計(jì)算題.【分析】分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是利用循環(huán)判斷i是否為奇數(shù)求出S的值,并輸出最后的S值.【解答】解:程序運(yùn)行過程中,各變量的值如下表示:
是否繼續(xù)循環(huán)
i
S
循環(huán)前
1
0
第一圈
是
2﹣1
第二圈
是
3
3第三圈
是
4﹣6第四圈
是
5
10第五圈
否故最后輸出的S值為10故選C.【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)流程圖寫程序的運(yùn)行結(jié)果,是算法這一模塊最重要的題型,其處理方法是從流程圖中既要分析出計(jì)算的類型,又要分析出參與計(jì)算的數(shù)據(jù),選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型解答.9.如果執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的數(shù)S不可能是()A.0.7 B.0.75 C.0.8 D.0.9參考答案:A【考點(diǎn)】程序框圖.【分析】模擬執(zhí)行程序,可得此程序框圖的功能是計(jì)算并輸出S=+的值,結(jié)合選項(xiàng),只有當(dāng)S的值為0.7時(shí),n不是正整數(shù),由此得解.【解答】解:模擬執(zhí)行程序,可得此程序框圖執(zhí)行的是輸入一個(gè)正整數(shù)n,求+的值S,并輸出S,由于S=+=1+…+﹣=1﹣=,令S=0.7,解得n=,不是正整數(shù),而n分別輸入2,3,8時(shí),可分別輸出0.75,0.8,0.9.故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖,解題的關(guān)鍵是判斷程序框圖功能,屬于基礎(chǔ)題.10.在直三棱柱A1B1C1-ABC中,∠BAC=,AB=AC=AA1=1.已知G與E分別為A1B1和CC1的中點(diǎn),D與F分別為線段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn)).若GD⊥EF,則線段DF的長(zhǎng)度的取值范圍為A.[,1)
B.[,2)
C.[1,)
D.[,)
參考答案:A解:建立直角坐標(biāo)系,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB為x軸,AC為y軸,AA1為z軸,則F(t1,0,0)(0<t1<1),E(0,1,),G(,0,1),D(0,t2,0)(0<t2<1).所以=(t1,-1,-),=(-,t2,-1).因?yàn)镚D⊥EF,所以t1+2t2=1,由此推出0<t2<.又=(t1,-t2,0),=\s\do4(12=\s\do4(22=,從而有≤<1.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.己知數(shù)列,數(shù)列的前n項(xiàng)和記為,則_________.參考答案:12.對(duì)于函數(shù),現(xiàn)給出四個(gè)命題:ks5u①時(shí),為奇函數(shù)②的圖象關(guān)于對(duì)稱③時(shí),方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根④方程至多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根其中正確命題的序號(hào)為
.參考答案:①②③若,則,為奇函數(shù),所以①正確。由①知,當(dāng)時(shí),為奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,的圖象由函數(shù)向上或向下平移個(gè)單位,所以圖象關(guān)于對(duì)稱,所以②正確。當(dāng)時(shí),,當(dāng),得,只有一解,所以③正確。取,,由,可得有三個(gè)實(shí)根,所以④不正確,綜上正確命題的序號(hào)為①②③。13.的展開式中的系數(shù)為10,則實(shí)數(shù)=
.參考答案:4由二項(xiàng)式定理得,令,則,所以的系數(shù)為,所以,.14.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是
. 參考答案:略15.函數(shù)的定義域是
.參考答案:[-3,1]要使函數(shù)f(x)有意義,則,即,解得﹣3≤x≤1,故函數(shù)的定義域?yàn)閇﹣3,1],
16.若兩個(gè)非零向量滿足,則向量與的夾角為__________。參考答案:略17.設(shè)的值為.參考答案:80【考點(diǎn)】DC:二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.【分析】由題意可得a3的值即為x6的系數(shù),利用其通項(xiàng)公式即可得出.【解答】解:由題意可得a3的值即為x6的系數(shù),故在的通項(xiàng)公式中,令r=3,即可求得.故答案為:80.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)(1)若對(duì)任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(2)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值.參考答案:【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義;函數(shù)恒成立問題.【專題】分類討論;轉(zhuǎn)化法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.【分析】(1)由題意可得x2+2x+a>0在x∈[1,+∞)恒成立,即有﹣a<x2+2x的最小值,運(yùn)用二次函數(shù)的單調(diào)性,即可得到最小值,進(jìn)而得到a的范圍;(2)求得f(x)的導(dǎo)數(shù),討論0<a<1,a≥1,求出單調(diào)性,即可得到最小值.【解答】解:(1)對(duì)任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,即為x2+2x+a>0在x∈[1,+∞)恒成立,即有﹣a<x2+2x的最小值,而x2+2x=(x+1)2﹣1在x∈[1,+∞)遞增,即有x=1,取得最小值3,則﹣a<3,解得a>﹣3:(2)a>0時(shí),f(x)=x++2的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=1﹣=,當(dāng)≥1,即a≥1時(shí),f(x)在[1,)遞減,(,+∞)遞增,即有x=處取得最小值,且為2+2;當(dāng)<1即0<a<1時(shí),f(x)在[1,+∞)遞增,即有x=1時(shí)取得最小值,且為3+a.綜上可得,0<a<1時(shí),f(x)的最小值為a+3;a≥1時(shí),f(x)的最小值為2+2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的最值的求法,注意運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和分類討論的思想方法,同時(shí)考查不等式恒成立問題的解法,屬于中檔題.19.(本小題滿分14分)數(shù)列中,已知,且,(Ⅰ)若成等差數(shù)列,求實(shí)數(shù)的值;(Ⅱ)數(shù)列能為等比數(shù)列嗎?若能,試求出滿足的條件;若不能,請(qǐng)說明理由。
參考答案:解.(Ⅰ)……2分因?yàn)?,所以,得…?分(Ⅱ)因?yàn)?,所以,得:,故是以為首?xiàng),-1為公比的等比數(shù)列,……8分所以,得:……10分………………12分為等比數(shù)列為常數(shù),易得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),為常數(shù)?!?4分
20.已知在等比數(shù)列中,,且是和的等差中項(xiàng).(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)若數(shù)列滿足b1+++……+=n(nN*),求的通項(xiàng)公式;(Ⅲ)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.參考答案:(I),q0,q=2,………………4分(Ⅱ)當(dāng)b1+++……+=n
①b1+++……+=n-1②①-②得當(dāng)時(shí),不適合上式………….9分(Ⅲ)令
①
②
①-②得
………………….14分
略21.如圖1,△ABC為等腰直角三角形,∠B=90°,將△ABC沿中位線DE翻折,得到如圖2所示的空間圖形(∠ADB為銳角).(1)求證:BC⊥平面ABD;(2)若BC=2,當(dāng)三棱錐A﹣BCE的體積為時(shí),求∠ABD的大小.參考答案:【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定;棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積.【分析】(1)證明:DE⊥平面ADB,DE∥BC,即可證明BC⊥平面ABD;(2)求出A到平面BCE的距離,即可求∠ABD的大小.【解答】(1)證明:由題意,DE∥BC,∵DE⊥AD,DE⊥BD,AD∩BD=D,∴DE⊥平面ADB,∴BC⊥平面ABD;(2)解:由題意,S△BCE==1,設(shè)A到平面BCE的距離為h,則=,∴h=∵AD=1,∴sin∠ABD=,∴∠ABD=60°.22.已知圓E:x2+(y﹣)2=經(jīng)過橢圓C:(a>b>0)的左右焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2,且與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為A,且F1,E,A三點(diǎn)共線,直線l交橢圓C于M,N兩點(diǎn),且=λ(λ≠0)(1)求橢圓C的方程;(2)當(dāng)三角形AMN的面積取得最大值時(shí),求直線l的方程.參考答案:【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系;橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【分析】(1)由題意把焦點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程求出c,再由條件得F1A為圓E的直徑求出|AF1|=3,根據(jù)勾股定理求出|AF2|,根據(jù)橢圓的定義和a2=b2+c2依次求出a和b的值,代入橢圓方程即可;(2)由(1)求出A的坐標(biāo),根據(jù)向量共線的條件求出直線OA的斜率,設(shè)直線l的方程和M、N的坐標(biāo),聯(lián)立直線和橢圓方程消去y,利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求出|MN|,由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)A到直線l的距離,代入三角形的面積公式求出△AMN的面積S的表達(dá)式,化簡(jiǎn)后利用基本不等式求出面積的最大值以及對(duì)應(yīng)的m,代入直線l的方程即可.【解答】解:(1)如圖圓E經(jīng)過橢圓C的左右焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2,∴c2+(0﹣)2=,解得c=,…∵F1,E,A三點(diǎn)共線,∴F1A為圓E的直徑,則|AF1|=3,∴AF2⊥F1F2,∴=﹣=9﹣8=1,∵2a=|AF
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