廣東省揭陽(yáng)市業(yè)余中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析

廣東省揭陽(yáng)市業(yè)余中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某空間幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體是（

）A.三棱柱 B.三棱錐 C.四棱柱 D.四棱錐參考答案：D【分析】根據(jù)三視圖知該幾何體是一個(gè)立放的四棱錐．【詳解】根據(jù)三視圖知，該幾何體是一個(gè)立放的四棱錐，如圖所示；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三視圖，要求根據(jù)三視圖復(fù)原幾何體，屬于基礎(chǔ)題．2.正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，存在兩項(xiàng)am、an使得=4a1，且a6=a5+2a4，則的最小值是（）A． B．2 C． D．參考答案：A考點(diǎn)： 基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用；等比數(shù)列的性質(zhì)．專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列；不等式的解法及應(yīng)用．分析： 由a6=a5+2a4，求出公比q，由=4a1，確定m，n的關(guān)系，然后利用基本不等式即可求出則的最小值．解答： 解：在等比數(shù)列中，∵a6=a5+2a4，∴，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），∵=4a1，∴，即2m+n﹣2=16=24，∴m+n﹣2=4，即m+n=6，∴，∴=（）=，當(dāng)且僅當(dāng)，即n=2m時(shí)取等號(hào)．故選：A．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查等比數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，要求熟練掌握基本不等式成立的條件．3.若{a，b，c}為空間的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能構(gòu)成基底的一組向量是()A．a(chǎn)，a＋b，a－b

B．b，a＋b，a－bC．c，a＋b，a－b

D．a(chǎn)＋b，a－b，a＋2b參考答案：C略4.已知：，則下列關(guān)系一定成立的是（

）A．A，B，C三點(diǎn)共線

B．A，B，D三點(diǎn)共線C．C，A，D三點(diǎn)共線

D．B，C，D三點(diǎn)共線參考答案：C5.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x+4),當(dāng)x>2時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，如果x1+x2<4,且(x1-2)(x2–2)<0,則f(x1)+f(x2)的值為（

）A.恒小于0

B.恒大于0

C.可能為0

D.可正可負(fù)參考答案：A6.若為△ABC的內(nèi)角，則下列函數(shù)中一定取正值的是(

)A.

B.

C. D.參考答案：A7.過(guò)兩圓：x2+y2+6x+4y=0及x2+y2+4x+2y–4=0的交點(diǎn)的直線的方程（A）x+y+2=0

（B）x+y-2=0

（C）5x+3y-2=0

（D）不存在參考答案：A因?yàn)檫^(guò)兩圓：x2+y2+6x+4y=0及x2+y2+4x+2y–4=0的交點(diǎn)的直線的方程就是將兩個(gè)圓的方程作差得到，那么可知為x+y+2=0，選A

8.用反證法證明命題“若自然數(shù)a，b，c的積為偶數(shù)，則a，b，c中至少有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)，對(duì)結(jié)論正確的反設(shè)為（

）

A、a，b，c中至多有一個(gè)偶數(shù)

B、a，b，c都是奇數(shù)

C、a，b，c至多有一個(gè)奇數(shù)

D、a，b，c都是偶數(shù)參考答案：B

【考點(diǎn)】反證法與放縮法【解答】解：用反證法法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，應(yīng)先假設(shè)要證的命題的反面成立，即要證的命題的否定成立，

而命題：“自然數(shù)a，b，c中至少有一個(gè)是偶數(shù)”的否定為：“a，b，c中一個(gè)偶數(shù)都沒(méi)有”，

即a，b，c都是奇數(shù)，

故選：B．

【分析】用反證法法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，應(yīng)先假設(shè)命題的反面成立，求出要證的命題的否定，即為所求．

9.今有甲、乙、丙、丁四人通過(guò)“拔河”進(jìn)行“體力”較量。當(dāng)甲、乙兩人為一方，丙、丁兩人為另一方時(shí)，雙方勢(shì)均力敵；當(dāng)甲與丙對(duì)調(diào)以后，甲、丁一方輕而易舉地戰(zhàn)勝了乙、丙一方；而乙憑其一人之力便戰(zhàn)勝了甲、丙兩人的組合。那么，甲、乙、丙、丁四人的“體力”由強(qiáng)到弱的順序是

A．丁、乙、甲、丙

B．乙、丁、甲、丙

C．丁、乙、丙、甲

D．乙、丁、丙、甲參考答案：A略10.已知雙曲線的離心率，則它的漸近線方程為 (

)A.

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.觀察下列各式：，...，則

．參考答案：

123;

12.若直線與曲線滿足下列兩個(gè)條件：（）直線在點(diǎn)處與曲線相切；（）曲線在點(diǎn)附近位于直線的兩側(cè)，則稱直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線．下列命題正確的是__________．（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）①直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線；②直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線；③直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線；④直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線．參考答案：①③①∵，，∴，∴曲線在點(diǎn)處切線為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即曲線在點(diǎn)附近位于直線的兩側(cè)，①正確；②設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，在是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在是增函數(shù)，∴，即在上恒成立，∴曲線總在直線下方，不合要求，②不正確；③∵，，∴，∴曲線在點(diǎn)處切線為，設(shè)，，∴是減函數(shù)，又∵，∴當(dāng)時(shí)，，即，曲線在切線的下方，當(dāng)，，即，曲線在切線的上方，③正確；④設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，∴，即在上是恒成立，∴總在直線上方，不合要求，④不正確．綜上，正確命題有①③．13.已知、是過(guò)拋物線（）的焦點(diǎn)的直線與拋物線的交點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足，，則的值為

．參考答案：14.若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是

．參考答案：5【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】將方程變形，代入可得3x+4y=（3x+4y）（）=×3，然后利用基本不等式即可求解．【解答】解：∵x+3y=5xy，x＞0，y＞0∴∴3x+4y=（3x+4y）（）=×3=5當(dāng)且僅當(dāng)即x=2y=1時(shí)取等號(hào)故答案為：515.圓x2+y2=9的切線MT過(guò)雙曲線﹣=1的左焦點(diǎn)F，其中T為切點(diǎn)，M為切線與雙曲線右支的交點(diǎn)，P為MF的中點(diǎn)，則|PO|﹣|PT|=．參考答案：2﹣3【考點(diǎn)】圓與圓錐曲線的綜合；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由雙曲線方程，求得c=，根據(jù)三角形中位線定理和圓的切線的性質(zhì)，可知|PO|=|PF′|，|PT|=|MF|﹣|FT|，并結(jié)合雙曲線的定義可得|PO|﹣|PT|=|FT|﹣（|PF|﹣|PF′|）=2﹣3．【解答】解：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F′，則PO是△PFF′的中位線，∴|PO|=|PF′|，|PT|=|MF|﹣|FT|，根據(jù)雙曲線的方程得：a=3，b=2，c=，∴|OF|=，∵M(jìn)F是圓x2+y2=9的切線，|OT|=3，∴Rt△OTF中，|FT|==2，∴|PO|﹣|PT|=|PF′|﹣（|MF|﹣|FT|）=|FT|﹣（|PF|﹣|PF′|）=2﹣3，故答案為：2﹣3．16.已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線平行于直線l：y=2x+10，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2=20x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程易得其準(zhǔn)線方程為x=﹣5，可得雙曲線的左焦點(diǎn)為（﹣5，0），再根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的漸近線方程平行于直線l：y=2x+10，得a、b的另一個(gè)方程，求出a、b，即可得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：因?yàn)閽佄锞€y2=20x的準(zhǔn)線方程為x=﹣5，所以由題意知，點(diǎn)F（﹣5，0）是雙曲線的左焦點(diǎn)，所以a2+b2=c2=25，①又雙曲線的一條漸近線平行于直線l：y=2x+10，所以=2，②由①②解得a2=5，b2=20，所以雙曲線的方程為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．17.直線y=2b與雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左支、右支分別交于B，C兩點(diǎn)，A為右頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠AOC=∠BOC，則該雙曲線的離心率為．參考答案：

【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】利用條件得出∠AOC=60°，C（b，2b），代入雙曲線﹣=1，可得﹣4=1，b=a，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠AOC=∠BOC，∴∠AOC=60°，∴C（b，2b），代入雙曲線﹣=1，可得﹣4=1，∴b=a，∴c==a，∴e==，故答案為．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知△ABC的三角A，B，C成等差數(shù)列，三邊a，b，c成等比數(shù)列．（1）求角B的度數(shù)．（2）若△ABC的面積S=，求邊b的長(zhǎng)．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由△ABC的三角A，B，C成等差數(shù)列，2B=A+C，又A+B+C=180°，即可得出．（2）由三邊a，b，c成等比數(shù)列．可得b2=ac，利用余弦定理可得：cos60°=，可得a=c．再利用等邊三角形的面積計(jì)算公式即可得出．【解答】解：（1）∵△ABC的三角A，B，C成等差數(shù)列，∴2B=A+C，又A+B+C=180°，∴B=60°．（2）∵三邊a，b，c成等比數(shù)列．∴b2=ac，由余弦定理可得：cos60°=，∴=，化為a=c．∴△ABC是等邊三角形．∴△ABC的面積S==×b2，解得b=2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余弦定理、三角形內(nèi)角和定理、三角函數(shù)求值、等邊三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19.已知橢圓的離心率為，且a2=2b．（1）求橢圓的方程；（2）若直線l：x﹣y+m=0與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在圓x2+y2=5上，求m的值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）由題意列關(guān)于a，b，c的方程組，求解得到a，b，c的值，則橢圓方程可求；（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得A、B中點(diǎn)的坐標(biāo)，代入圓的方程求得m的值．【解答】解：（1）由題意，得，解得．∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點(diǎn)M（x0，y0），聯(lián)立，得3x2+2mx+m2﹣2=0．則，，．∴M（）．∵M(jìn)在圓x2+y2=5上，∴（﹣）2+（）2=5，解得：m=±3．20.某工廠用7萬(wàn)元錢購(gòu)買了一臺(tái)新機(jī)器，運(yùn)輸安裝費(fèi)用2千元，每年投保、動(dòng)力消耗的費(fèi)用也為2千元，每年的保養(yǎng)、維修、更換易損零件的費(fèi)用逐年增加，第一年為2千元，第二年為3千元，第三年為4千元，依此類推，即每年增加1千元．問(wèn)這臺(tái)機(jī)器最佳使用年限是多少年？并求出年平均費(fèi)用的最小值．參考答案：解:設(shè)這臺(tái)機(jī)器最佳使用年限是n年,則n年的保養(yǎng)、維修、更換易損零件的總費(fèi)用為：，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)答：這臺(tái)機(jī)器最佳使用年限是12年，年平均費(fèi)用的最小值為1.55萬(wàn)元．略21.（本題滿分12分）設(shè)向量＝，＝，為銳角．（1）若∥，求tanθ的值；（2）若·＝，求sin＋cos的值.參考答案：（1）∵＝，＝,且∥

……………2分∴2cos-sin=0，∴tanθ＝2．

………………5分（2