有限元試卷答案

1寫出線彈性平面問(wèn)題三類基本方程和二類邊界條件（分量或指標(biāo)形式），并指出相應(yīng)的自變量。答：三個(gè)基本方程①平衡方程亍一*孔I絮?■財(cái)5②本構(gòu)方程平面應(yīng)力勺=池*）=A=ITxyGE乳￥平面應(yīng)變林=2Gex+A（ex+%）弓=2GEy+A（Ex+勺）F=&施平面應(yīng)變應(yīng)變協(xié)調(diào)方程三-二二ffjg-Z &工廿v③幾何方程4二類邊界條件①力的邊界條件?尸二s（.丹=S、+氣hh=casfn,y）②位移邊界條件 如今給定的位移邊界為.：.，則有（在」上），：."一二「，其中乙「分別為邊界上x，y方向上的位移分量2簡(jiǎn)述有限元法分析的基本步驟和相對(duì)應(yīng)的基本表達(dá)式。答：江見鯨的教材P26頁(yè)（4步的這是），如果想要寫完成7步的話那就是P8①步驟：⑴將結(jié)構(gòu)離散化⑵單元分析，求得單元節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力的關(guān)系，計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚔且怨?jié)點(diǎn)為隔離體，建立平衡方程⑷施加荷載⑸引入邊界條件⑹求解方程，求得節(jié)點(diǎn)位移⑺對(duì)每一單元循環(huán)，由單元節(jié)點(diǎn)位移通過(guò)單元?jiǎng)偠染仃嚽蟮脝卧獞?yīng)力或桿件內(nèi)力②表達(dá)式：v=v=0!4i+a5x+a6y『上0hj0bm0幾何矩陣 [B]虧0Dq。板1四0彈性矩陣 回=京乂1￡0° ?M=[0][￡]應(yīng)力矩陣二]二二M3單元分析中，假設(shè)的位移模式應(yīng)滿足哪些條件，為什么?平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元中，能否構(gòu)造如下的位移模式（說(shuō)明原因）T（n）=服+J35.xv+p6v~答：這類問(wèn)題參照江見鯨的教材P13，要求滿足的三個(gè)條件不能。因?yàn)椴粷M足完備性，缺少表示剛體位移的常數(shù)項(xiàng)和表示應(yīng)變是位移一階導(dǎo)數(shù)的常應(yīng)變項(xiàng)不能保證解的收斂性。4簡(jiǎn)述加權(quán)余量法、半解析法、樣條有限元法、邊界單元法的特點(diǎn)。答：加權(quán)余量法：當(dāng)n有限時(shí)，定解方程存在偏差（余量），取權(quán)函數(shù)，強(qiáng)迫余量在某種平均意義上均為采用

使余量的加權(quán)積分為0的等效積分以“弱”形式來(lái)求得微分方程近似解的方法。半解析法：離散與解析相結(jié)合的方法，減少計(jì)算工作量，降低費(fèi)用。樣條有限元法：具有緊湊型及良好的光滑性，明確的表達(dá)式的優(yōu)點(diǎn)，所得到的結(jié)果均在單元節(jié)點(diǎn)上，在數(shù)據(jù)的后處理方面更為方便和精確。邊界單元法：將所研究問(wèn)題的偏微分方程，設(shè)法轉(zhuǎn)換為在邊界上定義的邊界積分方程，然后將邊界積分方程離散化為只含有邊界結(jié)點(diǎn)未知量的代數(shù)方程組，解此方程組可得邊界節(jié)點(diǎn)上的未知量并可由此進(jìn)一步求得所研究區(qū)域中的未知量，它除了能處理有限元方法所適應(yīng)的大部分問(wèn)題外，還能處理有限元法不易解決的無(wú)限域問(wèn)題。5.驗(yàn)證3結(jié)點(diǎn)三角形單元的位移插值函數(shù)滿足N3,y）=1N3,y）=0N（x,y）=0iii ijj immN（x,y）+N（x，y）+N（x,y）=1證明：由原題目所知得二一―.一'1置iyi'又因?yàn)?=捉狗yj=Llxmymi故，得結(jié)論。這個(gè)題參照教材12頁(yè)到14頁(yè)6推導(dǎo)一維桿單元的形函數(shù)、幾何矩陣、應(yīng)力矩陣、剛度矩陣答：形函數(shù)參照教材11到14頁(yè)，幾何矩陣在15頁(yè)，應(yīng)力矩陣在17頁(yè)，剛度矩陣在19頁(yè)。具體不是很會(huì)，大家自行解答吧7就下列言論寫出自己的看法：（有限元分析之大腕版）一定要選最變態(tài)的題目，什么材料非線性啊，幾何非線性啊，接觸非線性啊，多物理場(chǎng)耦合啊，都給他弄進(jìn)去。是個(gè)模型就幾百萬(wàn)個(gè)單元，上千萬(wàn)個(gè)節(jié)點(diǎn)，畫個(gè)剖面圖就要十幾個(gè)小時(shí)。再整一并行機(jī)群，TOP500的，張口就是HighPerformanceComputation，一口地道的倫敦腔，倍兒有面子。題目一扔進(jìn)去就跑個(gè)把月，你要是一個(gè)星期以內(nèi)出結(jié)果，你都不好意思和別人打招呼。你說(shuō)這樣一趟算下來(lái)要發(fā)多少Paper?10篇？10篇？就1篇！你還別嫌少，說(shuō)不定人家還發(fā)在會(huì)議上。你得琢磨牛人的心理啊，有能耐算這樣題目的人，根本就不在乎多發(fā)一篇兩篇文章。什么叫大牛知道么？大牛就是不求灌水，但求經(jīng)典。答：這道題。。誰(shuí)知道想問(wèn)什么。。。8采用矩形薄板單元（4個(gè)結(jié)點(diǎn)，12個(gè)結(jié)點(diǎn)位移分量，1個(gè)撓度獨(dú)立變量）計(jì)算受中心集中力的四邊支承板，單元數(shù)（1/4板）四邊固定板中心撓度wD/PL2邊中點(diǎn)彎矩M/P2X20.00614-0.11784X40.00580-0.12336X60.00571-0.1245理論解0.00560-0.1257L中粉w(x,y)=a+ax+ay+ax2+axy+ay2+ax3+ax2y+位移函數(shù)： 1 2 3 4 5 6 7 8axy2+ay3+ax3y+axy3計(jì)算結(jié)果如下表(邊長(zhǎng)為1，厚度為01.101，彈模為1，波松比為0.3)試分析本題中有限元解位移大于解析解、彎矩小于解析解的原因。答：有限元解位移大于解析解的原因是單元為非完全協(xié)調(diào)單元。撓度w是彎曲問(wèn)題中的基本未知函數(shù)且由于忽略了7方向的變化，因此它只是x,y的函數(shù)：，若w已知，則唯一、內(nèi)力、應(yīng)力均可按上述相應(yīng)公式求出。在經(jīng)典解析法中，w（x，y）常設(shè)為三角級(jí)數(shù)形式。的位移分量。答：①設(shè)位移函數(shù)為u.二?二-二二-一：9.三角形單元的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)如圖所示，設(shè)單元中一點(diǎn)人的坐標(biāo)為（0.6,0.3）。已知三角形三結(jié)點(diǎn)單元的1結(jié)點(diǎn)位移為（2.0,1.0），j結(jié)點(diǎn)位移為（2.1,1.1），m結(jié)點(diǎn)位移為（2.15,1.05）。1）寫出單元的位移函數(shù)；2）求A的位移分量。答：①設(shè)位移函數(shù)為u.二?二-二二-一：v=14+a5x+a6y將I,j,m點(diǎn)坐標(biāo)代入u,v,最終得:u=2.15—0.15x+O.lyv=1.05—0.05x+O.ly

②將A點(diǎn)坐標(biāo)代入位移函數(shù)得二二二】，［京，即A（2.095,1.045）。10、已知外力P=50X103N，確定位移場(chǎng)、應(yīng)力、應(yīng)變和支座反力。取E=2.1X104N/mm2。答：結(jié)構(gòu)剛度矩陣K為:20x10答：結(jié)構(gòu)剛度矩陣K為:20x103x250150f-11-12-1-1整體荷載列陣為F=b,60x103,0」引入邊界條件Q1=0和Q3=1.2mm，修正方程如下:20x1020x103x250x2150=60x103+20x103x250x1.2B0解得位移場(chǎng):Q=t）,1.5,1.2」mm單元應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)?b=20x103x—(-1J°)=200MPa1 150 ,1.5)8=b/E=200/(20x103)=0.0111b=20x103x—(-1J1')=-40MPa2 150 ,1.2)8=b/E=-40/G°x103)=-0.002支座反力為：_20x10_20x103x250_R—

1150]-10)1.5—-50kN12,R=R=20x103x250(03 B0(0]-1L1.5—-10kN12k「￡7另一套的部分題（重復(fù)和不會(huì)的就被我忽略了。。。）各學(xué)科對(duì)有限元法的定義略不相同，但有一條相同的，即都認(rèn)為有限元法是有效的—數(shù)值分析—方法.求解區(qū)域的離散化：即把實(shí)際問(wèn)題，的整體求解域剖分為有限個(gè)單元，這可以通過(guò)有限個(gè)—離散—的三角形,四邊形或多邊形來(lái)分割求解區(qū)域.在劃分單元時(shí)，任意一個(gè)三角形單元的—節(jié)點(diǎn)_,必須也是相鄰單元的—節(jié)點(diǎn)_,而不是相鄰單元邊上的點(diǎn).二、簡(jiǎn)答題（40分）單元分析中，假設(shè)的位移模式應(yīng)滿足哪些條件，為什么？答：見教材P13試闡述總體剛度矩陣的特點(diǎn).（這里問(wèn)總剛在教材P23,如果問(wèn)你單剛那就是在P20）答：⑴整體剛度矩陣是對(duì)稱矩陣⑵整體剛度矩陣的主對(duì)角線上的元素總是正的⑶整體剛度矩陣是一個(gè)稀疏陣⑷施加荷載沒(méi)有支承的整體剛度矩陣是一個(gè)奇異陣

7如圖所示平面何JS,醞元(2)在血y坐標(biāo)系中，單元的三條邊分別平行.對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)相等，厚曲材料性質(zhì)抽叭白知單元(1)的m訥眼知4<;匕人匕陣4<;匕人匕陣答：①-廠二'■:-=同上②理由：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃囍買不隨單元(或坐標(biāo)軸)的平行移動(dòng)或作n