廣東省揭陽(yáng)市洪冶中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

廣東省揭陽(yáng)市洪冶中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.f（x）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足條件f（x+2）=，若f（1）=﹣5，則f（f（5））=(

)A．﹣5 B． C． D．5參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的周期性．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】先通過(guò)f（x+2）=可推斷函數(shù)f（x）是以4為周期的函數(shù)．進(jìn)而可求得f（5）=f（1），f（﹣5）=f（﹣1）；根據(jù)f（x+2）=可求得f（﹣1）=，進(jìn)而可求得f（f（5））．【解答】解：∵f（x+2）=∴f（x+2+2）==f（x）∴f（x）是以4為周期的函數(shù)∴f（5）=f（1+4）=f（1）=﹣5f（f（5））=f（﹣5）=f（﹣5+4）=f（﹣1）又∵f（﹣1）===﹣∴f（f（5））=﹣故選B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的周期性．要特別利用好題中f（x+2）=的關(guān)系式．2.（

）A． B． C． D．參考答案：B.故選：B

3.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝A．－2

B．4

C．－6

D．6參考答案：D4.已知A（﹣2，0），B（2，0），斜率為k的直線(xiàn)l上存在不同的兩點(diǎn)M，N滿(mǎn)足：|MA|﹣|MB|=2，|NA|﹣|NB|=2，且線(xiàn)段MN的中點(diǎn)為（6，1），則k的值為（）A．﹣2 B．﹣ C． D．2參考答案：D【考點(diǎn)】KI：圓錐曲線(xiàn)的綜合．【分析】求出雙曲線(xiàn)方程，利用點(diǎn)差法，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，M，N是雙曲線(xiàn)的右支上的兩點(diǎn)，a=，c=2，b=1，∴雙曲線(xiàn)方程為=1（x＞），設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=12，y1+y2=2，代入雙曲線(xiàn)方程，作差可得（x1﹣x2）﹣2（y1﹣y2）=0，∴k=2，故選D．5.圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值是（

）

A．

B．

C．

D．0參考答案：A略6.已知集合，，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（

）A.3 B.2 C.1 D.0參考答案：B【分析】表示與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由函數(shù)圖象可確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由與圖象可知，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：中的元素個(gè)數(shù)為個(gè)故選：【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的交集運(yùn)算，關(guān)鍵是明確交集表示的含義為兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式可得到結(jié)果.7.函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

（

）A．

B.

C.

D.參考答案：B8.如圖，給出的是的值的一個(gè)程序框圖，框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（）A．i≤99 B．i＜99 C．i≥99 D．i＞99參考答案：A【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】由已知中該程序的功能是計(jì)算的值，由循環(huán)變量的初值為1，步長(zhǎng)為2，則最后一次進(jìn)入循環(huán)的終值為99，即小于等于99的數(shù)滿(mǎn)足循環(huán)條件，大于99的數(shù)不滿(mǎn)足循環(huán)條件，由此易給出條件中填寫(xiě)的語(yǔ)句．【解答】解：∵該程序的功能是計(jì)算的值，由循環(huán)變量的初值為1，步長(zhǎng)為2，則最后一次進(jìn)入循環(huán)的終值為99，即小于等于99的數(shù)滿(mǎn)足循環(huán)條件，大于99的數(shù)不滿(mǎn)足循環(huán)條件，故判斷框中應(yīng)該填的條件是：i≤99故選A．9.復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z（4+i）=3+i，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出z的坐標(biāo)得答案．【解答】解：由z（4+i）=3+i，得，∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（），位于第一象限．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題的計(jì)算題．10.定義在R上的偶函數(shù)，滿(mǎn)足，且在上是減函數(shù)，若，是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.觀察下列等式：…，根據(jù)以上規(guī)律，________________。（結(jié)果用具體數(shù)字作答）

參考答案：1296觀察前3個(gè)等式發(fā)現(xiàn)左邊的等式分別是從1開(kāi)始的兩個(gè)數(shù)、三個(gè)數(shù)、四個(gè)數(shù)的立方和，等式右邊分別是這幾個(gè)數(shù)的和的平方，因此可得.12.已知點(diǎn)，，，其中為正整數(shù)，設(shè)表示△的面積，則___________．參考答案：過(guò)A,B的直線(xiàn)方程為，即，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，，所以，所以。13.已知，，則___________。參考答案：-814.函數(shù)的定義域?yàn)?參考答案：15.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若，且，則數(shù)列{an}的公差是________．參考答案：416.已知定義在R的奇函數(shù)滿(mǎn)足，且時(shí)，，下面四種說(shuō)法①；②函數(shù)在［-6，-2］上是增函數(shù)；③函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；④若，則關(guān)于的方程在［-8，8］上所有根之和為-8，其中正確的序號(hào)

參考答案：①④由得，所以函數(shù)的周期是8.又函數(shù)為奇函數(shù)，所以由，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)。同時(shí)，即，函數(shù)也關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以③不正確。又，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)函數(shù)遞增，又函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)在［-6，-2］上是減函數(shù)，所以②不正確。，所以，故①正確。若，則關(guān)于的方程在［-8，8］上有4個(gè)根，其中兩個(gè)根關(guān)于對(duì)稱(chēng)，另外兩個(gè)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)的兩根之和為，關(guān)于對(duì)稱(chēng)的兩根之和為，所以所有根之后為，所以④正確。所以正確的序號(hào)為①④。17.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足且目標(biāo)函數(shù)的最大值是，則的最大值為_(kāi)____________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知直線(xiàn)l：（其中t為參數(shù)，α為傾斜角）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ=．（1）求C的直角坐標(biāo)方程，并求C的焦點(diǎn)F的直角坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)P（1，0），若直線(xiàn)l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且=2，求△FAB的面積．參考答案：【考點(diǎn)】Q4：簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程．【分析】（1）原方程變形為ρ2sin2θ=ρcosθ，利用互化公式可得：C的直角坐標(biāo)方程．（2）把l的方程代入y2=x得t2sin2α﹣tcosα﹣1=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其已知可得：|t1﹣t2|=2|t1t2|，平方得，可得sin2α=1，即可得出．【解答】解：（1）原方程變形為ρ2sin2θ=ρcosθ，∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C的直角坐標(biāo)方程為y2=x，其焦點(diǎn)為．（2）把l的方程代入y2=x得t2sin2α﹣tcosα﹣1=0，則，①，即|t1﹣t2|=2|t1t2|，平方得，②把①代入②得，∴sin2α=1，∵α是直線(xiàn)l的傾斜角，∴，∴l(xiāng)的普通方程為x=1，且|AB|=2，點(diǎn)F到AB的距離d=1﹣=∴△FAB的面積為S=|AB|×d==．19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）對(duì)于曲線(xiàn)上的不同兩點(diǎn)，如果存在曲線(xiàn)上的點(diǎn)， 且，使得曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)∥,，則稱(chēng)為弦的伴隨切線(xiàn).

特別地，當(dāng)時(shí)，又稱(chēng)為弦的-伴隨切線(xiàn).①求證：曲線(xiàn)的任意一條弦均有伴隨切線(xiàn)，并且伴隨切線(xiàn)是唯一的；②是否存在曲線(xiàn)，使得曲線(xiàn)的任意一條弦均有-伴隨切線(xiàn)？若存在，給出一條這樣的曲線(xiàn)，并證明你的結(jié)論；若不存在，說(shuō)明理由.參考答案：（II）（i）設(shè)P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))是曲線(xiàn)y=f(x)上的任意兩點(diǎn)，要證明弦P1P2有伴隨切線(xiàn)，只需證明存在點(diǎn)Q(x0,f(x0))，x1<x0<x2，使得，且點(diǎn)Q不在P1P2上。…………7分，即證存在，使得，即成立，且點(diǎn)Q不在P1P2上。以下證明方程在（x1,x2）內(nèi)有解。記F(x)=，則F(x)=，令g(t)=lnt-t+1，t>1。，g(t)在內(nèi)是減函數(shù)，g(t)<g(1)=0。取，則，即F(x1)<0…………9分同理可證F(x2)>0,F(x1)F(x2)<0。函數(shù)F(x)=在（x1,x2）內(nèi)有零點(diǎn)。即方程=0在（x1,x2）內(nèi)有解x=x0?！?0分又對(duì)于函數(shù)g(t)=lnt-t+1，取t=，則，可知，即點(diǎn)Q在P1P2上。F(x)是增函數(shù)，F(xiàn)(x)的零點(diǎn)是唯一的，即方程=0在（x1,x2）內(nèi)有唯一解。綜上，曲線(xiàn)y=f(x)上任意一條弦均有伴隨切線(xiàn)，并且伴隨切線(xiàn)是唯一的?！?1分（ii）取曲線(xiàn)C：y=h(x)=x2，則曲線(xiàn)y=h(x)的任意一條弦均有-伴隨切線(xiàn)。￥高#考#資%源*網(wǎng)證明如下：設(shè)R（x3,y3）,S(x4,y4)是曲線(xiàn)C上任意兩點(diǎn)（x3y4），則又即曲線(xiàn)C：y=x2的任意一條弦均有-伴隨切線(xiàn)?！?4分

略20.已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊的長(zhǎng)分別為a、b、c，設(shè)向量.(I）求B；(II）若，求△ABC的面積。參考答案：（I）∵∴由余弦定理得：又∵∴(II）∵，由正弦定理得：

∴∴

∴a＜b

∴A＜B

∴

∴

∴ABC=21.已知向量，.（1）若，求的值；（2）設(shè)函數(shù)，將函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再把所得的圖像向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，求的單調(diào)增區(qū)間.參考答案：（1）∵p,∴==,∴－cos2x===

（2）f(x)=p=+=2,由題意可得g(x)=2,g(－x)=2，由2x+,－x,∴單調(diào)遞增區(qū)間為kZ.

22.如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C丄側(cè)面ABB1A1，AC=AA1=AB，∠AA1C1=60°，AB⊥AA1，H為棱CC1的中點(diǎn)，D在棱BB1上，且A1D丄平面AB1H．（Ⅰ）求證：D為BB1的中點(diǎn)；（Ⅱ）求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法．【專(zhuān)題】方程思想；向量法；空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（Ⅰ）建立坐標(biāo)系，求出向量坐標(biāo)，利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)建立方程關(guān)系即可證明D為BB1的中點(diǎn)；（Ⅱ）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）證明：連接AC1，∵AC=AA1，∠AA1C1=60°，∴三角形ACC1是正三角形，∵H是CC1的中點(diǎn)，∴AH⊥CC1，從而AH⊥AA1，∵側(cè)面AA1C1C丄側(cè)面ABB1A1，面AA1C1C∩側(cè)面ABB1A1=AA1，AH?平面AA1C1C，∴AH⊥ABB1A1，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)AB=，則AA1=2，則A（0，2，0），B1（，2，0），D（，t，0），則=（，2，0），=（，t﹣2，0），∵A1D丄平面AB1H．AB1?丄平面AB1H．∴A1D丄AB1，則?=（，2，0）?（，t﹣2，0）=2+2（t﹣2）=2t﹣2=0，得t=1，即D