廣東省梅州市大埔中學2023年高三數(shù)學理模擬試題含解析

廣東省梅州市大埔中學2023年高三數(shù)學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D2.復數(shù)等于

（

）參考答案：B3.下列說法正確的是（）A．命題“若x2=1，則x=1的否命題為：“若x2=1，則x≠1”B．“m=1”是“直線x﹣my=0和直線x+my=0互相垂直”的充要條件C．命題“?x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命題“已知A，B為一個三角形兩內(nèi)角，若A=B，則sinA=sinB”的否命題為真命題參考答案：D【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】寫出命題的否命題判斷A；由兩直線垂直與系數(shù)的關(guān)系求得m判斷B；寫出特稱命題的否定判斷C；由充分必要條件的判定方法判斷D．【解答】解：命題“若x2=1，則x=1的否命題為：“若x2≠1，則x≠1”，故A錯誤；由1×1﹣m2=0，得m=±1，∴“m=1”是“直線x﹣my=0和直線x+my=0互相垂直”的充分不必要條件，故B錯誤；命題“?x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2+x+1≥0”，故C錯誤；由三角形中，A=B?a=b?sinA=sinB，得：命題“已知A，B為一個三角形兩內(nèi)角，若A=B，則sinA=sinB”的否命題為真命題，故D正確．故選：D．4.若關(guān)于的不等式無解，則

（

）A.－3

B.－2

C.2

D.3參考答案：A5.過橢圓：的左焦點作直線軸，交橢圓C于A、B兩點.若△OAB（O為坐標原點）是直角三角形，則橢圓C的離心率e為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：A6.直線在平面內(nèi)，直線在平面內(nèi)，下列命題正確的是A．

B．C．

D．參考答案：D7.設a，b∈R，則“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)充分必要條件定義判斷，結(jié)合不等式求解．【解答】解：∵a，b∈R，則（a﹣b）a2＜0，∴a＜b成立，由a＜b，則a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，所以根據(jù)充分必要條件的定義可的判斷：a，b∈R，則“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要條件，故選：A8.如果函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)的值域是(

)

A．

B．

C．

D．

參考答案：D略9.若橢圓的弦被點平分，則此弦所在直線的斜率為（

）

、

、

、

、參考答案：A略10.在正方體上任取三個項點連成三角形，則所得的三角形是等腰三角形的概率為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知平面向量=（﹣1，1），=（x﹣3，1），且⊥，則x=．參考答案：4略12.如圖,△ABC內(nèi)接于，過點A的切線交

直徑CB的延長線于點P,若PB=4．BC=5.

則AB=__________.參考答案：13.已知函數(shù)的圖象與x軸恰有兩個公共點，則d=

。參考答案：14.等差數(shù)列的前項和為，若成公比為的等比數(shù)列，則=

；參考答案：或15.已知單位向量，且，若，則的最小值為________________．參考答案：16.已知銳角滿足，則的最大值為

。參考答案：因為，所以，即，因為，所以。所以，當且僅當，即，時，取等號，所以的最大值是。17.

某科考試中，從甲、乙兩個班級各抽取10名同學的成績進行統(tǒng)計分析，兩班成績的莖葉圖如圖所示，成績不小于90分為及格．

（I）甲班10名同學成績標準差____

乙班10名同學成績標準差（填“>”或“=”或“<”）；

（Ⅱ）從甲班4名及格同學中抽取兩人，從乙班2名80分以下的同學中取一人，求三人平均分不及格的概率．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=e2x﹣1﹣2x﹣kx2．（1）當k=0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若x≥0時，f（x）≥0恒成立，求k的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）當k=0時，求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若x≥0時，f（x）≥0恒成立，求函數(shù)導數(shù)，討論k的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性研究最值即可求k的取值范圍．【解答】解：（1）當k=0時，f（x）=e2x﹣1﹣2x，f'（x）=2e2x﹣2，…令f'（x）＞0，則2e2x﹣2＞0，解得：x＞0，令f'（x）＜0，則2e2x﹣2＜0，解得：x＜0，…所以，函數(shù)f（x）=e2x﹣1﹣2x的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（﹣∞，0）．

…．（2）由函數(shù)f（x）=e2x﹣1﹣2x﹣kx2，則f'（x）=2e2x﹣2kx﹣2=2（e2x﹣kx﹣1），令g（x）=e2x﹣kx﹣1，則g'（x）=2e2x﹣k．

…由x≥0，所以，①當k≤2時，g'（x）≥0，g（x）為增函數(shù)，而g（0）=0，所以g（x）≥0，即f'（x）≥0，所以f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，而f（0）=0，所以f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．

…②當k＞2時，令g'（x）＜0，即2e2x﹣k＜0，則．即g（x）在上為減函數(shù)，而g（0）=0，所以，g（x）在上小于0．即f'（x）＜0，所以f（x）在上為減函數(shù)，而f（0）=0，故此時f（x）＜0，不合題意．綜上，k≤2．

…19.在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形，平面，且是的中點.（1）求證：平面；（2）求多面體的體積.參考答案：（1）取的中點，連接.在中，是的中點，是的中點，所以，又因為，所以且.所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面平面，故平面.（2）.20.（本小題滿分10分）選修4－1：幾何證明選講如圖，已知：是以為直徑的半圓上一點，⊥于點，直線與過點的切線相交于點[來，為中點，連接交于點，（Ⅰ）求證：∠BCF=∠CAB

；（Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O的半徑．參考答案：見解析考點：幾何選講（Ⅰ）證明：因為AB是直徑，

所以∠ACB＝90°

又因為F是BD中點，所以∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB

因此∠BCF=∠CAB

（Ⅱ）解：直線CF交直線AB于點G，

由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC

可證得：FA＝FG，且AB＝BG

由切割線定理得：（1＋FG）2＝BG×AG=2BG2

……①

在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2

……②

由①、②得：FG2-2FG-3=0

解之得：FG1＝3，F(xiàn)G2＝－1（舍去）

所以AB＝BG＝

所以⊙O半徑為．

21.已知橢圓C：（a＞b＞0）的右焦點F1與拋物線y2=4x的焦點重合，原點到過點A（a，0），B（0，﹣b）的直線的距離是．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設動直線l=kx+m與橢圓C有且只有一個公共點P，過F1作PF1的垂線與直線l交于點Q，求證：點Q在定直線上，并求出定直線的方程．參考答案：考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標準方程．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（Ⅰ）由拋物線的焦點坐標求得c=1，結(jié)合隱含條件得到a2=b2+1，再由點到直線的距離公式得到關(guān)于a，b的另一關(guān)系式，聯(lián)立方程組求得a，b的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y得到（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由判別式等于0整理得到4k2﹣m2+3=0，代入（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0求得P的坐標，然后寫出直線F1Q方程為，聯(lián)立方程組，求得x=4，即說明點Q在定直線x=4上．解答：（Ⅰ）解：由拋物線的焦點坐標為（1，0），得c=1，因此a2=b2+1①，直線AB：，即bx﹣ay﹣ab=0．∴原點O到直線AB的距離為②，聯(lián)立①②，解得：a2=4，b2=3，∴橢圓C的方程為；（Ⅱ）由，得方程（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，（*）由直線與橢圓相切，得m≠0且△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，整理得：4k2﹣m2+3=0，將4k2+3=m2，即m2﹣3=4k2代入（*）式，得m2x2+8kmx+16k2=0，即（mx+4k）2=0，解得，∴，又F1（1，0），∴，則，∴直線F1Q方程為，聯(lián)立方程組，得x=4，∴點Q在定直線x=4上．點評：本題考查了橢圓方程的求法，考查了點到直線距離公式的應用，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，訓練了兩直線交點坐標的求法，是中檔題．22.如圖：是直徑為2的半圓，O為圓心，C是上一點，且．DF⊥CD，且DF=2，BF=2，E為FD的中點，Q為BE的中點，R為FC上一點，且FR=3RC．（Ⅰ）求證：QR∥平面BCD；（Ⅱ）求平面BCF與平面BDF所成二面角的余弦值．參考答案：考點：二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．專題：空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析：（Ⅰ）連接OQ，在面CFD內(nèi)過R做RM⊥CD，證明RM∥FD，然后利用直線余平米平行的判定定理證明QR∥平面BCD．（Ⅱ）以O為原點，OD為y軸建立如圖空間直角坐標系，求出平面BCF的法向量，面BDF的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角的大小即可．解答：（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）連接OQ，在面CFD內(nèi)過R做RM⊥CD∵O，Q為中點，∴OQ∥DF，且﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵DF⊥CD∴RM∥FD，又FR=3RC，∴，∴∵E為FD的中點，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴OQ∥RM，且OQ=RM∴OQRM為平行四邊形，∵RQ∥OM又RQ?平面BCD，OM?平面BCD，∴QR∥平面BCD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）∵DF=2，，，∴BF2=BD2+DF2，∴BD⊥DF，又DF⊥CD，∴DF⊥平面BCD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）以O為原點，OD為y軸建立如圖空間直角坐標系∵，∴∠