廣東省梅州市梅北中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

廣東省梅州市梅北中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，若存在兩項(xiàng)使得，則的最小值為

A

B

C

D

25參考答案：A2.下列符合三段論推理形式的為()A．如果pq，p真，則q真B．如果bc，ab，則acC．如果a∥b，b∥c，則a∥cD．如果a＞b，c＞0，則ac＞bc參考答案：B略3.一只螞蟻在邊長為4的正三角形內(nèi)爬行，某時(shí)刻此螞蟻距三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過1的概率為A、

B、

C、

D、參考答案：答案：B4.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為

（）A.

B.

C.

D.

參考答案：A5.已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）的解析式為（） A．f（x）=2sin（x+） B． f（x）=4sin（x+） C．f（x）=2sin（x+） D．f（x）=4sin（x+）參考答案：B略6.已知某函數(shù)圖象如圖所示，則圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是（

）A. B.C. D.參考答案：D【分析】對(duì)給出的四個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行分析、討論后可得結(jié)果．【詳解】對(duì)于A，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以不滿足題意．對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，不滿足題意．對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意．對(duì)于D，函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，滿足題意．故選D．【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；(4)從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；(5)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象．7.直線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)把圓的直徑分為兩段，則其長度之比為

（

）

A．或

B．或

C．或

D．或參考答案：B略8.“”是“”成立的A．充分不必要條件.

B．必要不充分條件.C．充要條件.

D．既不充分也不必要條件.

參考答案：A略9.如圖，長方形ABCD的長，寬，線段MN的長度為1，端點(diǎn)M、N在長方形ABCD的四邊上滑動(dòng)，當(dāng)M、N沿長方形的四邊滑動(dòng)一周時(shí)，線段MN的中點(diǎn)P所形成的軌跡為G，記G的周長與G圍成的面積數(shù)值的差為，則函數(shù)的圖象大致為（

）參考答案：C10.函數(shù)y=loga（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上（其中m，n＞0），則4m+2n的值等于(

)A．4 B．3 C．2 D．1參考答案：C【考點(diǎn)】直線的一般式方程；對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用．【專題】計(jì)算題．【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入直線方程可得2m+n=1，進(jìn)而可得4m+2n的值．【解答】解：由題意當(dāng)x=﹣2時(shí)，無論a為何值，總有y=﹣1即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），又點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，所以﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，故4m+2n=2（2m+n）=2故選C【點(diǎn)評(píng)】本題為對(duì)數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)的問題，準(zhǔn)確找到定點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=11﹣2n，設(shè)Tn=|a1|+|a2|+…+|an|，則T10的值為．參考答案：50【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【分析】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn=10n﹣n2．令an=11﹣2n≥0，解得n≤=5+．則T10=|a1|+|a2|+…+|a10|=a1+…+a5﹣a6﹣…﹣a10=2S5﹣S10．【解答】解：設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn==10n﹣n2．令an=11﹣2n≥0，解得n≤=5+．設(shè)T10=|a1|+|a2|+…+|a10|=a1+…+a5﹣a6﹣…﹣a10=2S5﹣S10=2×（10×5﹣52）﹣（10×10﹣102）=50，故答案為：50．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．12.關(guān)于x的方程g（x）=t（t∈R）的實(shí)根個(gè)數(shù)記為f（t）．若g（x）=lnx，則f（t）=；若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，則a的取值范圍是

．參考答案：1，a＞1【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】若g（x）=lnx，則函數(shù)的值域?yàn)镽，且函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，故方程g（x）=t有且只有一個(gè)根，故f（t）=1，若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，則x＞0時(shí)，函數(shù)的最大值大于2，且對(duì)稱軸位于y軸右側(cè)，解得答案．【解答】解：若g（x）=lnx，則函數(shù)的值域?yàn)镽，且函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，故方程g（x）=t有且只有一個(gè)根，故f（t）=1，g（x）=，當(dāng)t≤0時(shí)，f（t）=1恒成立，若存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，則x＞0時(shí)，函數(shù)的最大值大于2，且對(duì)稱軸位于y軸右側(cè)，即，解得：a＞1，故答案為：1，a＞113.設(shè)點(diǎn)滿足且，則的最大值為

.參考答案：514.半圓的直徑，為圓心，是半圓上不同于的任意一點(diǎn)，若為半徑上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是___________.參考答案：略15.在“家電下鄉(xiāng)”活動(dòng)中，某廠要將100臺(tái)洗衣機(jī)運(yùn)往臨近的鄉(xiāng)鎮(zhèn)，現(xiàn)有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用，每輛甲型貨車運(yùn)輸費(fèi)用400元，可裝洗衣機(jī)20臺(tái)；每輛乙型貨車運(yùn)輸費(fèi)用300元，可裝洗衣機(jī)10臺(tái)，若每輛至多只運(yùn)一次，則該廠所花的最少運(yùn)輸費(fèi)用為

元.參考答案：2200略16.函數(shù)的圖象與x軸所圍成的封閉圖形面積為．參考答案：【考點(diǎn)】定積分在求面積中的應(yīng)用．【分析】利用定積分表示封閉圖形的面積，然后計(jì)算即可．【解答】解：∵，∴函數(shù)的圖象與x軸所圍成的封閉圖形面積為+=+=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用定積分求曲邊梯形的面積；關(guān)鍵是利用定積分表示出封閉圖形的面積，然后計(jì)算．17.設(shè)全集U=R，集合A={x|x＞2}，B={x|x2﹣4x+3＜0}，則A∩B=

，A∪B=

，?UB=

．參考答案：（2，3）;（1，+∞）;（﹣∞，1]∪[3，+∞）.【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【專題】集合．【分析】求出B中不等式的解集確定出B，找出A與B的交集，并集，求出B的補(bǔ)集即可．【解答】解：由B中不等式變形得：（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得：1＜x＜3，即B=（1，3），∵A=（2，+∞），∴A∩B=（2，3），A∪B=（1，+∞），?UB=（﹣∞，1]∪[3，+∞）．故答案為：（2，3）；（1，+∞）；（﹣∞，1]∪[3，+∞）【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交集及其運(yùn)算，并集及其運(yùn)算，以及補(bǔ)集的運(yùn)算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f（x）=x2+aln（x+1）（a為常數(shù)）（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是單凋遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1＜x2，求證：．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】轉(zhuǎn)化思想．【分析】（Ⅰ）已知原函數(shù)的值為正，得到導(dǎo)函數(shù)的值非負(fù)，從而求出參量的范圍；（Ⅱ）利用韋達(dá)定理，對(duì)所求對(duì)象進(jìn)行消元，得到一個(gè)新的函數(shù)，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)后，再對(duì)導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)，通過對(duì)導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)導(dǎo)函數(shù)的研究，得到導(dǎo)函數(shù)的最值，從而得到原函數(shù)的最值，即得到本題結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)題意知：f′（x）=在[1，+∞）上恒成立．即a≥﹣2x2﹣2x在區(qū)間[1，+∞）上恒成立．∵﹣2x2﹣2x在區(qū)間[1，+∞）上的最大值為﹣4，∴a≥﹣4；經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)a=﹣4時(shí)，，x∈[1，+∞）．∴a的取值范圍是[﹣4，+∞）．（Ⅱ）在區(qū)間（﹣1，+∞）上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即方程2x2+2x+a=0在區(qū)間（﹣1，+∞）上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．記g（x）=2x2+2x+a，則有，解得．∴，．∴令．，記．∴，．在使得p′（x0）=0．當(dāng)，p′（x）＜0；當(dāng)x∈（x0，0）時(shí)，p′（x）＞0．而k′（x）在單調(diào)遞減，在（x0，0）單調(diào)遞增，∵，∴當(dāng)，∴k（x）在單調(diào)遞減，即．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是導(dǎo)數(shù)知識(shí)，重點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性、究極值和最值，難點(diǎn)是多次連續(xù)求導(dǎo)，即二次求導(dǎo)，本題還用到消元的方法，難度較大．19.（12分）（2015?青島一模）如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=1，AB=，AD=AA1=3，E1為A1B1中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：B1D∥平面AD1E1；（Ⅱ）證明：平面ACD1⊥平面BDD1B1．參考答案：【考點(diǎn)】：直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．【專題】：空間位置關(guān)系與距離．【分析】：（Ⅰ）連結(jié)A1D交AD1于G，證明B1D∥E1G，利用直線與平面平行的判定定理證明B1D∥平面AD1E1．（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=H，通過△BHC～△DHA，結(jié)合BC=1，AD=3，求出，，證明AC⊥BD，然后證明BB1⊥AC，得到AC⊥平面BDD1B1，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面ACD1⊥平面BDD1B1．（本小題滿分12分）證明：（Ⅰ）連結(jié)A1D交AD1于G，因?yàn)锳BCD﹣A1B1C1D1為四棱柱，所以四邊形ADD1A1為平行四邊形，所以G為A1D的中點(diǎn)，又E1為A1B1中點(diǎn)，所以E1G為△A1B1D的中位線，所以B1D∥E1G…（4分）又因?yàn)锽1D平面AD1E1，E1G平面AD1E1，所以B1D∥平面AD1E1．

…（6分）（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=H，因?yàn)锳D∥BC，所以△BHC～△DHA又BC=1，AD=3，所以，∵AD∥BC，∠BAD=90°，所以∠ABC=90°∴，從而，，所以CH2+BH2=BC2，CH⊥BH，即AC⊥BD…（9分）因?yàn)锳BCD﹣A1B1C1D1為四棱柱，AA1⊥底面ABCD所以側(cè)棱BB1⊥底面ABCD，又AC底面ABCD，所以BB1⊥AC…（10分）因?yàn)锽B1∩BD=B，所以AC⊥平面BDD1B1…（11分）因?yàn)锳C平面ACD1，所以平面ACD1⊥平面BDD1B1．…（12分）【點(diǎn)評(píng)】：本題考查直線與平面平行，平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．20.（本小題滿分15分）已知橢圓的短軸長為，離心率為，其一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,過的焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，分別過作的切線，兩切線交于點(diǎn).（Ⅰ）求、的方程；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，求面積的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）由橢圓條件得∴，解得，∴：.∵拋物線的焦點(diǎn)與的一個(gè)焦點(diǎn)重合,∴，解得，∴：.（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在且過點(diǎn)，設(shè)其方程為，由消去得，令，則，，由得，，，，聯(lián)立的方程解得，，，∴，∴點(diǎn)恒在直線上，此直線與交于兩點(diǎn)，∵點(diǎn)在內(nèi)部，∴，∴，∴，（也可由求得）由消去得，，令，則，，，點(diǎn)到直線的距離，∴的面積令，考察函數(shù)，，，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，即.21.（13分）某班植樹小組栽培甲、乙兩種松樹，已知小組中每位成員甲、乙兩種至少要栽培一種，已知栽培甲品種的有2人，栽培乙品種的有6人，現(xiàn)從中選2人，設(shè)選出的人中既栽培甲品種又栽培乙品種的人數(shù)為ξ，且P（ξ=0）=，求：（1）植樹小組的人數(shù)；（2）隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【專題】綜合題．【分析】（1）設(shè)植樹小組共有x人，兩品種均栽培的有（8﹣x）人，則恰栽一品種的人數(shù)為（2x﹣8）人，利用P（ξ=0）=，建立方程，即可求得植樹小組的人數(shù)；（2）先確定恰栽一品種的有4人，兩品種均栽培的有2人，計(jì)算ξ=1，2時(shí)的概率，即可求得數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（1）設(shè)植樹小組共有x人，兩品種均栽培的有（8﹣x）人，則恰栽一品種的人數(shù)為（2x﹣8）人…∵P（ξ=0）=，∴…整理為：3x2﹣28x+60=0，∴x=6，即植樹小組有6人…[來源:學(xué)_科_網(wǎng)]（2）依（1）有：恰栽一品種的有4人，兩品種均栽培的有2人P（ξ=1）==…；P（ξ=2）==…∴Eξ=+2×=…【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的概率與期望，解題的關(guān)鍵是正確求出概率，利用期望公式求解．22.（本小題滿分12分）如圖，為圓的直徑，點(diǎn)、在圓上，，矩形所在的平面和圓所在的平面互相