2022-2023學(xué)年寧夏青銅峽市寧朔中學(xué)高二年級上冊學(xué)期線上期末考試數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2022-2023學(xué)年寧夏青銅峽市寧朔中學(xué)高二上學(xué)期線上期末考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法法則化簡即可得解.【詳解】.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用復(fù)數(shù)的乘法法則化簡計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．用分析法證明“”時(shí)，正確的步驟是（

）A．“，” B．“”C．“欲證，只需證” D．“因?yàn)椋浴薄敬鸢浮緾【分析】根據(jù)分析法的特點(diǎn)進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：用分析法證明“”時(shí)，正確的步驟是：“欲證，只需證”．故選：C3．下面幾種推理為合情推理的是（

）①由圓的性質(zhì)類比出球的性質(zhì)；②由憑記憶求出；③是平面內(nèi)兩定點(diǎn)，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)滿足(為常數(shù))，得點(diǎn)的軌跡是橢圓；④由三角形的內(nèi)角和是，四邊形內(nèi)角和是，五邊形的內(nèi)角和是，由此歸納出凸多邊形的內(nèi)角和是.A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③④【答案】A【分析】根據(jù)歸納推理和類比推理的概念，逐項(xiàng)判定，即可求解，得到答案.【詳解】由題意知，（1）中由圓的性質(zhì)類比出球的性質(zhì)是兩類事物之間的推理過程是類比推理，屬于合情推理；（2）合情推理是經(jīng)過觀察，分析，比較，聯(lián)想，在進(jìn)行歸納，類比，然后提出猜想的推理，而憑記憶求出，不符合合情推理，故不正確；（3）由M,N是平面內(nèi)兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足,得點(diǎn)的軌跡是橢圓，屬于演繹推理.（4）由三角形的內(nèi)角和是，四邊形內(nèi)角和是，五邊形的內(nèi)角和是，由此得凸多邊形的內(nèi)角和是，屬于歸納推理，是合情推理.綜上所述，屬于合情推理有(1)(4).故選：A.4．用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，假設(shè)正確的是(

)A．假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都不大于60°B．假設(shè)三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)大于60°C．假設(shè)三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°D．假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都大于60°【答案】D【分析】對命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60°”進(jìn)行否定即可.【詳解】用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，應(yīng)該假設(shè)“三角形的內(nèi)角都大于60°”．故選：D．5．下列有關(guān)命題的說法中錯(cuò)誤的是（

）A．“”是“”的充分不必要條件B．命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”C．若命題，使得，則，均有D．若為假命題，則、均為假命題【答案】D【分析】A選項(xiàng)，求出二次方程的解即可判斷；命題“若，則q”的逆否命題為“若，則”，B正確；特稱命題的否定為全稱命題，C正確；根據(jù)復(fù)合命題的真假判斷規(guī)則判斷D選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，的解為或2，所以“”是“”的充分不必要條件，A正確；B選項(xiàng)，命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”，B正確；C選項(xiàng)，特稱命題的否定為全稱命題，C正確；D選項(xiàng)，若為假命題，則、中至少有一個(gè)為假命題.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件、逆否命題、含一個(gè)量詞的命題的否定、復(fù)合命題的真假判斷，屬于基礎(chǔ)題.6．由①安夢怡是高二（1）班的學(xué)生，②安夢怡是獨(dú)生子女，③高二（1）班的學(xué)生都是獨(dú)生子女，寫一個(gè)“三段論”形式的推理，則大前提，小前提和結(jié)論分別為A．②①③ B．②③① C．①②③ D．③①②【答案】D【分析】根據(jù)三段論推理的形式“大前提，小前提，結(jié)論”，根據(jù)大前提、小前提和結(jié)論的關(guān)系，即可求解.【詳解】由題意，利用三段論的形式可得演繹推理的過程是：大前提：③高二（1）班的學(xué)生都是獨(dú)生子女；小前提：①安夢怡是高二（1）班的學(xué)生；結(jié)論：②安夢怡是獨(dú)生子女，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了演繹推理中的三段論推理，其中解答中正確理解三段論推理的形式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.7．已知雙曲線的右頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且其離心率，則該雙曲線的方程為A． B． C． D．【答案】A【詳解】分析：求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到雙曲線的實(shí)半軸長，利用雙曲線的離心率得到c與b的值，從而得到雙曲線方程．詳解：拋物線y2=8x焦點(diǎn)（2，0），可得雙曲線的實(shí)半軸的長a=2，雙曲線（a＞0，b＞0）的離心率e=，可得c=3，則b=，所以雙曲線方程為：．故選A．點(diǎn)睛：本題考查拋物線的簡單性質(zhì)以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時(shí)，從“n=k”到“n=k+1”，左邊需增添的代數(shù)式是（

）A．(2k+1)+(2k+2) B．(2k-1)+(2k+1)C．(2k+2)+(2k+3) D．(2k+2)+(2k+4)【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法及所證等式的特點(diǎn)即可求解.【詳解】當(dāng)n=k時(shí)，左邊是共有2k+1個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加，即1+2+3+…+(2k+1)，所以當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊共有2k+3個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加，即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左邊需增添的代數(shù)式是(2k+2)+(2k+3).故選：C9．已知傾斜角為直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于兩點(diǎn).弦的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件寫出直線的方程，與拋物線聯(lián)立，求得，再利用拋物線的定義，由求解.【詳解】因?yàn)橹本€過拋物線的焦點(diǎn)，且傾斜角為，所以直線的方程為：，與拋物線聯(lián)立得：，所以，所以，故選：B10．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為的正方形，若，且，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由向量線性運(yùn)算得，利用數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可求得，由此可求得.【詳解】由題意得：，，且，又，，，，.故選：D.11．在長方體中，，，則與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接交于F，由題意可知與平面所成角與與平面所成角相等，由題意可證平面平面，過作于，由面面垂直的性質(zhì)定理可得是與平面所成角，即與平面所成角為，在中，計(jì)算即可.【詳解】解：連接交于F，設(shè)與平面所成角為，因?yàn)椤?所以與平面所成角為，如圖：因?yàn)樵陂L方體中，，，所以四邊形是正方形，是中點(diǎn)，，，所以，又，面，所以平面，又平面，所以平面平面，過作于，因?yàn)槊婷?，面面，，面，所以平面，所以，即，所?故選：A.12．已知橢圓和雙曲線有共同焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最大值為A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】設(shè)橢圓長半軸長為a1，雙曲線的半實(shí)軸長a2，焦距2c．根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根據(jù)余弦定理可得到，利用基本不等式可得結(jié)論．【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的半實(shí)軸長為a2，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，設(shè)|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，則：在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos∴化簡得：a12+3a22＝4c2，該式可變成：，∴≥2∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義求焦點(diǎn)三角形三邊長，考查利用基本不等式求最值問題，屬于中檔題．二、填空題13．若是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則___________.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式，即可化簡得到答案.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)滿足，則,所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算與化簡和復(fù)數(shù)模的求解，其中熟記復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.14．已知不等式，，，……均成立，照此規(guī)律，第五個(gè)不等式應(yīng)為_______．【答案】【解析】根據(jù)題中條件，歸納得到，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，，…因此．所以第五個(gè)不等式應(yīng)為.故答案為：15．橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，則以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為_______.【答案】【分析】設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，斜率為，進(jìn)而利用點(diǎn)差法求解.【詳解】設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，斜率為，則①，②，－②得，又，所以故答案為：．16．如圖所示，在直平行六面體中，，，點(diǎn)在上，且，則點(diǎn)到平面的距離為________.【答案】【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面的距離計(jì)算，即可得答案；【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，∴，.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，∴.∴點(diǎn)到平面的距離.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量法求點(diǎn)到面的距離，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意坐標(biāo)系的建立.三、解答題17．已知：的頂點(diǎn)，，．（1）求AB邊上的中線CD所在直線的方程；（2）求的面積．【答案】（1）；（2）11.【分析】（1）直接利用已知條件求出AB邊上的中點(diǎn)，即可求直線的方程．（2）利用所求出的直線方程利用分割法求出三角形的面積，或者求出及直線AB的方程，可得點(diǎn)C到直線AB的距離，求出三角形的面積.【詳解】（1）∵線段AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為，所以，由兩點(diǎn)式方程可得，AB邊上的中線CD所在直線的方程為，即．（2）法1：因?yàn)?，點(diǎn)A到直線CD的距離是，所以的面積是．法2：因?yàn)?，由兩點(diǎn)式得直線AB的方程為：，點(diǎn)C到直線AB的距離是，所以的面積是．【點(diǎn)睛】本題考查直線方程求法與點(diǎn)到直線距離公式應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18．棱長為2的正方體中，E、F分別是、DB的中點(diǎn)，G在棱CD上，且，H是的中點(diǎn)．建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，解決下列問題：(1)求證：；(2)求；(3)求的長．【答案】(1)證明見解析;(2);(3).【分析】（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，首先求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再證明即可；（2）求出的坐標(biāo)，再根據(jù)即可求得答案；（3）轉(zhuǎn)化為求即可.【詳解】（1）解：如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,因?yàn)?，所以，所以，故；?）解：因?yàn)椋砸驗(yàn)?，?所以；（3）解：因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以又因?yàn)?，所?.即.19．已知關(guān)于x，y的方程C：（1）當(dāng)m為何值時(shí)，方程C表示圓；（2）在（1）的條件下，若圓C與直線l：相交于M、N兩點(diǎn)，且|MN|＝，求m的值.【答案】（1）m＜5；（2）m＝4【解析】（1）求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式，即可求出m的值；（2）利用半徑，弦長，弦心距的關(guān)系列方程求解即可．【詳解】解：（1）方程C可化為，顯然只要5?m＞0，即m＜5時(shí)，方程C表示圓；（2）因?yàn)閳AC的方程為，其中m＜5，所以圓心C（1，2），半徑，則圓心C（1，2）到直線l：x＋2y?4＝0的距離為，因?yàn)閨MN|＝，所以|MN|＝，所以，解得m＝4．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心和半徑是解決本題的關(guān)鍵．20．已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，、為橢圓的兩焦點(diǎn)，若，試求：（1）橢圓的方程；（2）的面積．【答案】（1）；（2）20【分析】（1）設(shè)出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，利用垂直關(guān)系求出c值，橢圓的方程化為+=1，把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入，可解得a2的值，從而得到所求橢圓方程．（2）P點(diǎn)縱坐標(biāo)的值即為F1F2邊上的高，由=|F1F2|×4求得△PF1F2的面積．【詳解】（1）

令F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），∵PF1⊥PF2，∴，即?=﹣1，解得c=5，∴橢圓方程為

+=1．∵點(diǎn)P（3，4）在橢圓上，∴+=1，解得a2=45，或a2=5，又a＞c，∴a2=5舍去，故所求橢圓方程為

+=1．（2）P點(diǎn)縱坐標(biāo)的值即為F1F2邊上的高，∴=|F1F2|×4=×10×4=20．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，以及用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法．21．如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，，，求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）設(shè)，連，利用線面平行的判定定理，即可證得平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）連，設(shè)，連，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；?）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)為平面的法向量，則，令，則.又為平面的一個(gè)法向量，由向量的夾角公式，可得，所以二面角的平面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定與證明，以及空間角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時(shí)對于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.22．已知拋物線上的