2022-2023學年天津市靜海區(qū)高二年級上冊學期期末數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年天津市靜海區(qū)第一中學高二上學期期末數(shù)學試題一、單選題1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由傾斜角與斜率關(guān)系，結(jié)合傾斜角的范圍即可求解.【詳解】由得，故傾斜角滿足為，，故.故選：C2．在三棱錐中，點，，分別是，，的中點，設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】連接由中位線性質(zhì)可知；利用空間向量的加減法和數(shù)乘運算可表示出結(jié)果.【詳解】連接,，分別是,的中點，，故選：B3．過點且平行于直線的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)直線的方程為，代入點的坐標即得解.【詳解】解：設(shè)直線的方程為，把點坐標代入直線方程得.所以所求的直線方程為.故選：A4．已知等差數(shù)列，的前n項和分別為，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前項和公式求得正確答案.【詳解】.故選：B5．已知是首項為1的等比數(shù)列，是的前項和，且，則（

）A．31 B． C．31或5 D．或5【答案】B【分析】數(shù)列為等比數(shù)列，通過等比數(shù)列的前項和公式化簡，從而得到公比的值，從而求出的值.【詳解】因為是首項為1的等比數(shù)列，是的前項和，且當時，，計算得所以當時，，，所以綜上：故選：B6．直線被圓所截得的弦長為（

）A． B．4 C． D．【答案】A【分析】由已知，根據(jù)題中給出的圓的方程，寫出圓心坐標與半徑，然后求解圓心到直線的距離，最后利用垂徑定理可直接求解弦長.【詳解】由已知，圓，圓心坐標為，半徑為，所以點到直線的距離為，所以，直線被圓截得的弦長為.故選：A.7．已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個焦點在拋物線的準線上，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出拋物線的準線方程，可得出的值，進而可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，即可得出該雙曲線的方程.【詳解】拋物線的準線方程為，所以，，解得，因此，該雙曲線的方程為.故選：A.8．直線與曲線只有一個公共點，則實數(shù)范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】確定直線恒過定點，確定曲線表示圓心為，半徑為1，且位于直線右側(cè)的半圓，包括點，由直線與圓位置關(guān)系解決即可.【詳解】由題知，直線恒過定點，曲線表示圓心為，半徑為1，且位于直線右側(cè)的半圓，包括點，當直線經(jīng)過點時，與曲線有2個交點，此時，不滿足題意，直線記為，當直線經(jīng)過點時，與曲線有1個交點，此時，滿足題意，直線記為，如圖，當直線與半圓相切時，由，解得，直線記為，由圖知，當或，與曲線有1個交點，故選：C9．已知雙曲線的右焦點到其一條漸近線的距離等于，拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，則拋物線上一動點M到直線和的距離之和的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，借助雙曲線求出拋物線焦點F的坐標，再結(jié)合拋物線定義及幾何意義求解最值作答.【詳解】雙曲線的漸近線，右焦點，依題意，，解得，因此拋物線的焦點為，方程為，其準線為，由消去x并整理得：，，即直線與拋物線相離，過點F作于點P，交拋物線于點M，過M作于點Q，交直線于點N，則有，在拋物線上任取點，過作于點，作于點，交準線于點，連，如圖，顯然，當且僅當點與點重合時取等號，所以拋物線上一動點M到直線和的距離之和的最小值為.故選：D【點睛】思路點睛：涉及拋物線上的點到定點與到焦點距離和或到定直線與準線距離和的最小值問題，利用拋物線定義轉(zhuǎn)化求解即可.二、填空題10．點到直線：的距離等于3，求的值為______．【答案】或【分析】利用點到直線的距離公式直接求解．【詳解】點到直線：的距離：，或.故答案為：或．11．設(shè)數(shù)列前n項和為，，則數(shù)列的通項公式為______．【答案】【分析】利用，即得.【詳解】因為，當時，；當時，，∵不適合上式，所以數(shù)列的通項公式.故答案為：.12．直線l過點且與圓相切，那么直線l的方程為__________.【答案】或【分析】當直線的斜率不存在時，直線的方程為，與圓相切，成立；當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，圓心到直線的距離，求出斜率，由此能出直線的方程．【詳解】直線過點且與圓相切，圓的圓心，半徑，當直線的斜率不存在時，直線的方程為，與圓相切，成立；當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，圓心到直線的距離，解得，直線的方程為，即．綜上，直線的方程為或．故答案為：或．13．數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，且，則___________.【答案】31【分析】根據(jù)題意寫出，然后利用并項求和法即可求解.【詳解】因為，，數(shù)列的前項和為，所以.故答案為：31.14．等差數(shù)列的首項，公差，則使數(shù)列的前項和最大的正整數(shù)的值是__________【答案】5【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式及二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】因為等差數(shù)列的首項，公差，所以，所以時，數(shù)列的前項和最大.故答案為：5.15．已知，分別為橢圓的左、右焦點，P為橢圓上任意一點，M為上的三等分點，且滿足，若，則該橢圓的離心率e的取值范圍是______．【答案】【解析】設(shè)，根據(jù)，求出點，再由可得，代入橢圓方程可得，使方程在上有解，利用零點存在性定理即可求解.【詳解】設(shè)，，則，，，，，，，，，，又，，，存在，存在，，顯然恒成立，又，在上有解，令，對稱軸，且不在上，，，解得，即故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的離心率，解題的關(guān)鍵是根據(jù)，將問題轉(zhuǎn)化為在上有解，考查了計算能力.三、解答題16．已知圓：和：(1)求證：圓和圓相交；(2)求圓和圓的公共弦所在直線的方程和公共弦長．【答案】(1)證明見解析(2)，【分析】（1）由圓心距與兩圓半徑的和、差比較可得；（2）兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程，由勾股定理求弦長．【詳解】（1）標準方程是，，，標準方程是，，，，顯然，所以兩圓相交．（2）兩圓方程相減得，即為公共弦所在直線方程，到直線的距離為，所以公共弦長．17．已知數(shù)列的前項和，設(shè)(1)求證：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由可求得的值，當時，由可得，兩式作差變形可得，利用等比數(shù)列的定義可證得是等比數(shù)列.(2)求出，利用分組求和法結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，裂項相消法可求得的前項和.【詳解】（1）證明：，時，作差得，整理得到：，，代入適合上式，因為，故，，是以3為首項，公比為3的等比數(shù)列.（2）由（1）知，所以，，18．如圖，在四棱錐中，底面四邊形為菱形，為棱的中點，為邊的中點.(1)求證：平面；(2)若側(cè)面底面，且，；①求與平面所成的角；②在棱上是否存在點，使點到直線的距離為，若存在，求的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)①；②存在點，【分析】（1）取線段的中點，連接，證明為平行四邊形，即可證明結(jié)論；（2）①以為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系如圖所示，求出平面的一個法向量根據(jù)線面夾角向量公式即可求解；②設(shè)，則向量，根據(jù)點到直線距離向量公式解出參數(shù)，即可求出結(jié)果．【詳解】（1）取線段的中點，連接，在中，分別為的中點.，且又底面是菱形，且為的中點，，且，，且四邊形為平行四邊形，又平面平面平面；（2）①在平面內(nèi)過點作，由平面底面得平面，菱形中，則，以為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，是正三角形，則，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得，所以，設(shè)直線與平面所成的平面角為，且，則，故直線與平面所成的角為②設(shè)即化簡得，故（舍負）綜上，存在點，19．已知橢圓過點，且離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)已知點,點在橢圓上（異于橢圓的頂點），為橢圓右焦點，點滿足（為坐標原點），直線與以為圓心的圓相切于點，且求直線的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)點在橢圓上，離心率及的關(guān)系，可求得，寫出方程.（2）設(shè)出的方程與橢圓方程聯(lián)立，用表示，又直線與以為圓心的圓相切于點，且，得為中點，，利用向量數(shù)量積為建立方程求得.【詳解】（1）在上，即，又，解得：，橢圓C的方程：（2）因為點，點在橢圓上（異于橢圓的頂點），所以斜率一定存在.設(shè)：，因為，，，直線和橢圓方程聯(lián)立得,得，，因，則，因為直線與以為圓心的圓相切于點，且，即為中點，,則，，，,因為，所以,得，得（舍去），，故直線的方程為或.20．已知是等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，(1)求和的通項公式；(2)將和中的所有項按從小到大的順序排列組成新數(shù)列，求數(shù)列的前項和；(3)設(shè)