第二節(jié)點(diǎn)線面的投影

第二節(jié)點(diǎn)線面的投影1.2點(diǎn)的投影點(diǎn)、線、面是構(gòu)成物體形狀的基本幾何元素。為正確表達(dá)物體形狀，必須先掌握這些基本幾何元素的投影規(guī)律。1.2.1點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影過(guò)空間點(diǎn)A的投射線與投影面P的交點(diǎn)即為點(diǎn)A在P面上的投影。Pb●●AP采用多面投影。過(guò)空間點(diǎn)A的投射線與投影面P的交點(diǎn)即為點(diǎn)A在P面上的投影。B1●B2●B3●點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空間位置。1、點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影a●解決辦法？1.2點(diǎn)的投影HWV二、點(diǎn)的三面投影投影面◆正面投影面（簡(jiǎn)稱正面或V面）◆水平投影面（簡(jiǎn)稱水平面或H面）◆側(cè)面投影面（簡(jiǎn)稱側(cè)面或W面）投影軸oXZOX軸V面與H面的交線OZ軸V面與W面的交線OY軸H面與W面的交線Y三個(gè)投影面互相垂直WHVoX空間點(diǎn)A在三個(gè)投影面上的投影a點(diǎn)A的正面投影a點(diǎn)A的水平投影a點(diǎn)A的側(cè)面投影空間點(diǎn)用大寫字母表示，點(diǎn)的投影用小寫字母表示。a●a●a●A●ZYWVH●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不動(dòng)投影面展開aaZaayayaXYYO●●az●x●●●●XYZOVHWAaaa點(diǎn)的投影規(guī)律:①aa⊥OX軸②aax=aaz=y=A到V面的距離aax=aay=z=A到H面的距離aay=aaz=x=A到W面的距離xaazay●●YZazaXYayOaaxaya●

aa⊥OZ軸●●aaax例：已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影?！馻●●aaaxazaz解法一:通過(guò)作45°線使aaz=aax解法二:用圓規(guī)直接量取aaz=aaxa●[例題1]已知點(diǎn)A的正面與側(cè)面投影，求點(diǎn)A的水平投影。a[例題2]已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為x=20mm，y=10mm，z=15mm，即A(20、10、15)，求作A點(diǎn)的三面投影圖。axayHayw151020aa'a"18[例題3]已知點(diǎn)A的三面投影，試確定

點(diǎn)A的空間位置。x=12z=20y=1812A(12,18,20)20[例題4]已知點(diǎn)A在H面上，點(diǎn)B在W面上，

點(diǎn)C在V面上，試求各點(diǎn)的投影。c'c"cb"b'bc"ca'a"Ob'ba'aa"AaBb"Cc'三、兩點(diǎn)的相對(duì)位置兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。判斷方法：▲x坐標(biāo)大的在左▲y坐標(biāo)大的在前▲z坐標(biāo)大的在上baa

abb●●●●●●B點(diǎn)在A點(diǎn)之前、之右、之下。XYHYWZ2.比較兩點(diǎn)的相對(duì)位置(b)b'b"aa'a"重影點(diǎn)：空間兩點(diǎn)在某一投影面上的投影重合為一點(diǎn)時(shí)，則稱此兩點(diǎn)為該投影面的重影點(diǎn)。A、C為H面的重影點(diǎn)●●●●●aacc被擋住的投影加()()A、C為哪個(gè)投影面的重影點(diǎn)呢？aca(b)a(b)c'(d')e"(f")e"(f")c'(d')立體上的重影點(diǎn)EBDCb'edcb"(a)(b)(c)a'(e')c'(d')e"(d")a"(c")a(b)Ab●a●b●a●b●a●1.2.2直線的投影

直線的投影可由直線上任兩點(diǎn)的同名投影來(lái)確定。如圖所示，分別作出直線AB上兩端點(diǎn)A、B的三面投影，用直線連接兩點(diǎn)的同面投影得到ab、ab和ab即為AB的三面投影。各種位置直線的投影投影面平行線投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線統(tǒng)稱特殊位置直線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜垂直于某一投影面與三個(gè)投影面都傾斜的直線(1)投影面平行線的投影特性BAa'b'a"b"abABb'Oaba'a"b"a"b"a'b'baBAa"b"a'b'abβγb'Oa'αγb"a"abOaba'b'b"a"αβbaababbaabba①在其平行的那個(gè)投影面上，投影反映實(shí)長(zhǎng)并反映直線與另兩投影面傾角。②另兩個(gè)投影面上，投影平行于相應(yīng)的投影軸。水平線側(cè)平線正平線γ投影特性：實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)βγααβbaaabb與H面的夾角:α與V面的角:β與W面的夾角:γ(2)物體上平行線的投影分析（1）投影面垂直線的投影特性BAABBAa'b'b(a)a"b"(a')b'a"b"ababb'a'a"(b

")a'b'aba"(b")bab"a"(a')b'b(a)a'b'b"a"鉛垂線正垂線側(cè)垂線②在另外兩個(gè)投影上，反映線段實(shí)長(zhǎng)且垂直于相應(yīng)的投影軸。①在其垂直的投影面上，投影有積聚性。投影特性:●c(d)cddc●aba(b)ab●efefe(f)（2）物體上垂直線的投影分析一般位置直線baababABYOXZVWHa′b′aba〞b〞投影特性：

三個(gè)投影都縮短了。即:都不反映空間線段的實(shí)長(zhǎng)及與三個(gè)投影面夾角，且與三根投影軸都傾斜。例1：判別下列直線的空間位置鉛垂線正平線一般位置線例1：判斷形體中直線的空間位置AB是

線AC是

線CD是

線側(cè)垂線鉛垂線水平線例2：試分析立體表面上各線段的空間位置。例題：判斷下列直線的位置直線上點(diǎn)的投影（1）若點(diǎn)在直線上,則點(diǎn)的投影必在直線的同名投影上。若點(diǎn)的投影有一個(gè)不在直線的同名投影上，則該點(diǎn)必不在此直線上（即不滿足從屬性）。判別方法：AC/CB=ac/cb=ac/cbABCVHbccbaa等比性從屬性（2）直線上的點(diǎn)分割直線之比與其投影分割直線投影之比相等。即：點(diǎn)C不在直線AB上例1：判斷點(diǎn)C是否在線段AB上。abcabc①c②abcab●點(diǎn)C在直線AB上例2：判斷點(diǎn)K是否在線段AB上。ab●k因k不在ab上所以點(diǎn)K不在A上。abkabk●●方法1：利用從屬性方法2：利用等比性兩直線的相對(duì)位置空間兩直線的相對(duì)位置分為：⒈兩直線平行平行、相交、交叉等三種情況。VHabcdABCDcdba投影特性：空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。abcdcabd例1：判斷圖中兩條直線是否平行。對(duì)于一般位置直線，只要有兩個(gè)同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB//CDbdcacbaddbac結(jié)論:對(duì)于投影面平行線，只有這兩個(gè)同名投影互相平行，空間直線不一定平行。若要用兩個(gè)投影判斷，其中應(yīng)包括反映實(shí)長(zhǎng)的投影。求出側(cè)面投影后可知：AB與CD不平行。例1：判斷圖中兩條直線是否平行。求出側(cè)面投影如何判斷？HVABCDKabcdkabckdabcdbacdkk⒉兩直線相交判別方法：若空間兩直線相交，則其同名投影必交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律（三等）。交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)●●cabbacdkkd例：過(guò)C點(diǎn)作水平線CD與AB相交。先作正面投影[例題8]給出平面四邊形ABCD的V投影及其兩條邊的H投影，試完成四邊形的H投影。bcc'd'ab'a'kk'ddbaabcdc1(2

)3(4)⒊兩直線交叉投影特性：（1）同名投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。（2）“交點(diǎn)”是兩直線上的一對(duì)重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置?！瘛瘼蟆ⅱ粼贖面是重影點(diǎn)。為什么？12●●3

4●●兩直線相交嗎？Ⅰ、Ⅱ在Ｖ面是重影點(diǎn)。

例、判定兩直線是否相交XYWZYHd`c〞cc`a`b`abOda〞b〞●●d〞k`kk〞交點(diǎn)不符合投影規(guī)律

OXa`b`c`d`abcd1(2)1`2`4`(3`)34例：判斷兩直線的位置關(guān)系交叉

判斷兩重影點(diǎn)其積聚性投影的可見(jiàn)性時(shí)，需要看兩重影點(diǎn)在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點(diǎn)投影可見(jiàn)，反之不可見(jiàn)，不可見(jiàn)點(diǎn)的投影加括號(hào)表示。判斷三棱錐可見(jiàn)性1(2)1'2'3'(4')34相互垂直的二直線的投影（a）立體圖(b)二直相交線垂直(c)二直相交線垂直(d)二直相交線垂直定理一垂直的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時(shí)，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理二兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。1.2.3平面的投影一、平面的表示方法平面通常用確定該平面的點(diǎn)、直線或平面圖形等幾何元素的投影表示，如圖所示。圖1用幾何元素表示平面平面的投影特性平行投影面垂直投影面傾斜于投影面投影特性a、平面平行投影面——投影反映實(shí)形b、平面垂直投影面——投影積聚成直線c、平面傾斜投影面——投影類似原平面實(shí)形性類似性積聚性（1）平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性與三個(gè)投影面都傾斜平行于某一投影面垂直于另兩個(gè)投影面垂直于某一投影面傾斜于另兩個(gè)投影面（2）各種位置平面的投影平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面正垂面?zhèn)却姑驺U垂面正平面?zhèn)绕矫嫠矫嫱队懊娲怪泵鍴WVa′b′c′ABCacbbaCYHYWYHYWHαβ(1)投影面垂直面的投影特性γβγαabcacbcba積聚性鉛垂面投影特性：在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。另外兩個(gè)投影面上的投影有類似性。為什么？γβ是什么位置的平面？主、左視圖類似性投影面平行面HWVacbabCABCa′b′c′投影面平行面的投影特性abcabcabc實(shí)形性投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。積聚性積聚性這是什么位置平面？水平面！一般位置平面HWVACBabcabcabcabcacbabcc、一般位置平面三個(gè)投影都是類似形。投影特性：1.2.4點(diǎn)、直線、平面的從屬關(guān)系判斷直線在平面內(nèi)的方法

定理一若一直線過(guò)平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi)。定理二若一直線過(guò)平面上的一點(diǎn)，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。（1）平面上取任意直線abcbcaabcbcadmnnmd例1：已知平面由直線