二次型復習過程

第6章二次型在解析幾何中,為了研究二次曲線(1)的幾何性質(zhì),可以選擇適當?shù)淖鴺俗儞Q,

將方程(1)化為不含混合項的標準型(2)在二次曲面的研究中,也有類似的問題.(1)的左邊是一個二次齊次多項式.從代數(shù)的觀點看,將(1)化為標準型(2)的過程,就是通過變量的線性代換化簡一個二次齊次多項式,使之只含平方項.這樣的問題,不僅在幾何中出現(xiàn),在數(shù)學的其它分支以及物理、力學和網(wǎng)絡(luò)計算中也常遇到.我們將這類問題一般化,討論n個變量的二次齊次多項式的化簡問題.

第一頁，共66頁。定義(dìngyì)6.1n元變量x1,x2,,xn的二次齊次多項式叫做數(shù)域F上的n

元二次型（簡稱二次型）.其中系數(shù)是數(shù)域F

中的數(shù)，實數(shù)域上的二次型簡稱實二次型.6.1二次型的定義和矩陣(jǔzhèn)表示合同矩陣(jǔzhèn)第二頁，共66頁。如果令aji=aij(1i<jn)，則上式可以(kěyǐ)表示為第三頁，共66頁。其中x=(x1,x2,,xn)TRn，A=(aij)nn是實對稱(duìchèn)矩陣,稱為二次型f對應的矩陣.第四頁，共66頁。若A,B都是實對稱矩陣(jǔzhèn),且對應的二次型相同，即證先取x為單位向量ei=(0,,1,,0)T(第i個分量(fènliàng)為1,其余為0)，代入上式得 aii=bii (i=1,2,,n)再取x為向量(xiàngliàng)eij=(0,,1,,1,,0)T(第i,j個分量為1,其余為0)，代入上式得 aij=bij (ij)

則

A=B所以

A=B第五頁，共66頁。例1設(shè)則它對應(duìyìng)的矩陣為由此可見,二次型與矩陣之間存在一一對應的關(guān)系,即任給一個二次型,唯一地確定(quèdìng)一個對稱陣;反之,任給一個對稱陣,唯一確定(quèdìng)一個二次型.因此,研究二次型的性質(zhì)(xìngzhì),就是研究對稱矩陣A的性質(zhì)(xìngzhì).我們把對稱陣A的秩,稱做二次型f的秩.第六頁，共66頁。例2、已知二次型

的秩為2，求參數(shù)

解:練習：已知三元二次型A矩陣的特征值為2，3，0,且其中對應于特征值2，3的特征向量分別為，(提示:不同特征值對應的特征向量正交.再利用特征向量的定義,可以(kěyǐ)求出矩陣A)求此二次型的表達式.第七頁，共66頁。如果n維向量在兩組基B1={1,2,,n}和B2={1,2,,n}下的坐標向量分別(fēnbié) x=(x1,x2,,xn)T和y=(y1,y2,,yn)T又 (1,2,,n)=(1,2,,n)C則 x=Cy f()=xTAx=yT(CTAC)y,B=CTAC故f()在基B1和B2下對應的矩陣分別(fēnbié)是A和B=CTAC.yT(CTAC)y是y1,y2,,yn的一個二次型.第八頁，共66頁。一般(yībān)地,將二次型化為標準型的過程:即尋找(xúnzhǎo)矩陣C，使B=CTAC為對角陣.為此(wéicǐ),引出合同矩陣的概念.第九頁，共66頁。定義6.2對矩陣(jǔzhèn)A和B,如果存在可逆矩陣(jǔzhèn)C，使得B=CTAC，就稱矩陣(jǔzhèn)A相合(或合同)于B（記作A?B)。矩陣的相合關(guān)系(guānxì)是一種等價關(guān)系(guānxì)，具有以下性質(zhì)：(1)自反性，AMn(F),A?A；(2)對稱性，A,BMn(F),若A?B,則B?A；(3)傳遞性，A,B,CMn(F),若A?B,B?C，則A?C。第十頁，共66頁。6.2化二次型為標準(biāozhǔn)形二次型化為不含混合項只含平方(píngfāng)項的二次型，這種二次型稱其為標準形.化二次型為標準形共有(ɡònɡyǒu)三種方法：正交變換法，配方法和初等變換法.第十一頁，共66頁。6.2.1正交變換法定理6.1（主軸定理）對于(duìyú)任一個n元二次型f(x1,x2,,xn)=xTAx，存在正交變換都x=Qy(Q為正交陣)，使得QTAQ=diag(1,2,,n)(定理5.12),從而 xTAx=yT(QTAQ)y=1y12++nyn2 其中1,,n是實對稱矩陣A的n個特征值，Q的n個列向量是A屬于1,,n的n個標準正交的特征向量.第十二頁，共66頁。例１用正交變換化二次型為標準型.

解:第十三頁，共66頁。用Schmidt正交化方法(fāngfǎ)(正交化，單位化)得2=10時，取正交矩陣(jǔzhèn)則T1AT=diag(1,1,10)x

TA

x=yT(CTAC)y=y12+y22

+10y321=1時，解齊次線性方程組得到線性無關(guān)的特征向量x1=(2,1,0)T,x2=(2,0,1)T解齊次線性方程組第十四頁，共66頁。三個特征值決定(juédìng)二次曲面的類型。例１的應用：在自然(zìrán)基{1,2,3}下，對二次曲面方程做坐標(zuòbiāo)變換：在新基{1,2

,3}下，二次曲面方程為

y12+y22

+10y32=1這是橢球面方程，橢球的三個主軸長度分別為第十五頁，共66頁。用正交變換化二次型為標準型,具有保持幾何形狀不變的優(yōu)點.上例中,為一個橢球面;在新的坐標系下,二次曲面方程依然是一個橢球面.事實上,當矩陣

為正交矩陣時,線性變換

常被稱為正交變換.此時,

即正交變換具有保持距離不變的特點,當然不會改變圖形在不同坐標系中的形狀.第十六頁，共66頁。例2將一般(yībān)二次曲面方程化為標準(biāozhǔn)方程（只含平方項和常數(shù)項）。(1)解將(1)式中二次項部分(bùfen)其中x=(x,y,z)T,y=(x',y',z',)T用類似例1的正交變換法化為平方和:(2)(3)取正交矩陣令x=T

y,第十七頁，共66頁。將(3)式代入(1)式的一次項部分(bùfen)，曲面方程(1)化為圖形(túxíng)為單葉雙曲面。即

x

TA

x=yT(TTAT)y=9x'2+18y'2

18z'

2則

T1AT

=diag(9,18,18)第十八頁，共66頁。6.2.2配方法(fāngfǎ)和初等變換法化二次型為標準形化為標準(biāozhǔn)形，并求所用的坐標變換x=Cy及變換矩陣C。例3用配方法(fāngfǎ)把三元二次型在x=Cy變換中，di一般不是特征值。解先按x12及含有x1的混合項配成完全平方，即第十九頁，共66頁。在上式中，再對x224x2x3配成完全(wánquán)平方f(x1,x2,x3)=2(x1+x2

x3)2+(x2

2x3)2

5x32代入上式，得二次型的標準(biāozhǔn)形f(x1,x2,x3)=2y12+y225y32第二十頁，共66頁。就是坐標變換(biànhuàn)x=Cy，式中的矩陣就是變換(biànhuàn)矩陣C。對一般的f(x1,x2,,xn)的配方法：若x12項的系數(shù)不為(bùwéi)0，就按上例配方。如果x12項的系數(shù)為0，而x22項的系數(shù)不為(bùwéi)0，就從x2開始配方。如果所有的二次項的系數(shù)都為0，就按下例的方法化為標準形。第二十一頁，共66頁。例4用配方法化二次型f(x1,x2,x3)=2x1x22x1x3+2x2x3

為標準形，并求所做的坐標(zuòbiāo)變換。

將(1)式代入二次型，得

f(x1,x2,x3)=2y122y224y2y3(2)解因為(yīnwèi)沒有二次項，先利用平方差公式做如下變換:記作

x=C1

y(1)第二十二頁，共66頁。得二次型的標準(biāozhǔn)形f(x1,x2,x3)=2z122z2+2z32即 xTAx=zTz再用例3的配方法(fāngfǎ)得 f(x1,x2,x3)=2y122(y2+y3)2+2y32f(x1,x2,x3)=2y122y224y2y3(3)其中(qízhōng)第二十三頁，共66頁。變換(biànhuàn)矩陣坐標(zuòbiāo)變換為x=C1y=C1(C2z)=(C1C2)z任何(rènhé)n元二次型都可用配方法化為標準形，相應的變換矩陣是主對角元為１的上三角矩陣和例4中的對角塊矩陣C1,或者是這兩類矩陣的乘積。 任意一個n階實對稱矩陣A，也都可以通過一系列相同類型的初等行、列變換化成其相合的標準形（對角矩陣）。所謂相同類型的初等行、列變換指的是：第二十四頁，共66頁。(1)如果用倍加初等陣Eji(c)右乘A（即A的第i列乘c加到第j列），那么相應地也用EjiT(c)=Eij(c)左乘A（即列變換后的A的第i行乘c加到第j行）。變換后的矩陣EjiT(c)AEji(c)仍是對稱陣。(2)如果用Ei(c)右乘A，則也用EiT(c)左乘A，即A的第i列和第i行都乘非零常數(shù)c，顯然EiT(c)AEiT(c)仍是對稱陣。(3)如果用Eij右乘A，則也用EijT左乘A，即A的第i列與第j列及第(jídì)i行與第j行同時對換位置，如此所得的EijTAEij也是對稱陣。

第二十五頁，共66頁。定理6.2對任意一個n階實對稱矩陣A，都存在(cúnzài)可逆矩陣C，使得 CTAC=diag(d1,d2,,dn)其中(qízhōng)A1仍為n-1階實對稱矩陣。(1)如果a110,由于a1j=aj1(j=1,2,,n)，因此(yīncǐ)對A做相同類型的行、列倍加變換，可將第１行與第１列的其他元素全化為零，得證：設(shè)

A是n階實對稱矩陣。第二十六頁，共66頁。用數(shù)學(shùxué)歸納法可以證明：對任一個n階實對稱矩陣A，都存在初等矩陣P1,P2,,Pk,使得PkTP2TP1TAP1P2Pk=CTAC=diag(d1,d2,,dn)其中 C=P1P2Pk=IP1P2Pk即對A做的列變換同樣施加于單位矩陣I，即得變換矩陣C。(2)如果a11=0，但存在aii0，先將第1列與第i列對換，第1行與第i行對換，就把aii換到第1行第1列的位置(wèizhi)，化為(1)。(3)如果aii=0(i=1,2,,n)，aij0,可將第j列加到第i列,將第j行加到第i行,第i行第i列的元素化為2aij0，就化為(2)。第二十七頁，共66頁?；癁闃藴市?，并求所做的坐標(zuòbiāo)變換x=Cy的變換矩陣C。 解將二次型的矩陣A與單位矩陣I上下排列，對A做相同類型(lèixíng)的初等行、列變換使之化為對角陣，同樣的初等列變換，將I化為C。(以下[i],(j)分別表示i列,第j行)例5

用初等變換法將例1的二次型第二十八頁，共66頁。做變換(biànhuàn)x=Cy，其中(qízhōng)則xTAx=則第二十九頁，共66頁。做變換(biànhuàn)x=Cy，其中則xTAx=第三十頁，共66頁。解同上題做法(zuòfǎ)：例6用初等變換法將例4的二次型（參看第17，18頁） f(x1,x2,x3)=2x1x22x1x3+2x2x3

化為標準形，并求所做的坐標(zuòbiāo)變換x=Cy的變換矩陣C。第三十一頁，共66頁。在例1和例5中用不同的方法(fāngfǎ)得到同一個二次型的不同標準形,即矩陣相合于不同的對角陣同樣，在例4和例6中用不同的方法得到同一個二次型的不同標準形,即矩陣(jǔzhèn)相合于不同的對角陣diag(2,2,2)和diag(2,1/2,2)diag(1,1,10)和第三十二頁，共66頁。6.3慣性定理(dìnglǐ)和二次型的規(guī)范形定理6.3（慣性定理）n元二次型xTAx經(jīng)坐標變換化為標準(biāozhǔn)形時，正平方項的個數(shù)p和負平方項的個數(shù)q是由A唯一確定的?；蛘哒f對實對稱矩陣A，不論取怎樣的可逆矩陣C,只要 CTAC==diag(d1,,dp,dp+1,,dp+q,0,,0)di>0(i=1,,p+q),p+qn成立，則p和q是由A唯一確定的。證由秩(A)=秩(CTAC)=p+q,知p+q=r由A唯一確。設(shè)實二次型f=xTAx經(jīng)坐標(zuòbiāo)變換x=By和x=Cz(1)(B,C都可逆)分別化為標準形(bi,ci>0,i=1,,r)f=b1y12++bpyp2bp+1yP+12-bryr2(2)f=c1z12++ctzt2ct+1zt+12crzr2(3) 第三十三頁，共66頁。用反證法：假設(shè)(jiǎshè)p>t，此時由(1),(2)可得f=b1y12++btyt2+bt+1yt+12++bpyp2bp+1yp+12bryr2=c1z12++ctzt2ct+1zt+12cpzp2cp+1zp+12crzr2(4)由(1)z=C1x=(C1B)y=Dy（其中(qízhōng)D=C1B），即為了(wèile)從(4)式中找到矛盾，令z1=z2==zt=0,yp+1==yn=0，代入(5)(5)第三十四頁，共66頁。得到(dédào)y1,y2,,yn的方程組(6)齊次線性方程(fāngchéng)組(6)有n個未知量，但方程(fāngchéng)個數(shù)為t+(np)=n(pt)<n齊次線性方程(fāngchéng)組(6)有n個未知量，但方程(fāngchéng)個數(shù)<n，故必有非零解。由于yp+1==yn=0第三十五頁，共66頁。非零解中y1,y2,,yp不全為零，將其代入(4)式，得 f=b1y12++btyt2+bt+1yt+12++bpyp2>0 (7)將(6)的非零解代入(5)式得到z1,…,zt,…,zn的一組值（其中(qízhōng)z1=z2==zt=0），將它們再代入(4)式，又得f=ct+1zt+12cpzp2crzr20 (8)(7),(8)二式顯然是矛盾的，故假設(shè)的p>k不能成立，必有 pk,同理可證tp，得p=t。故p和q=rp是由A唯一(wéiyī)確定的。第三十六頁，共66頁。定義6.3二次型xTAx的標準形中，正平方項的個數(shù)p和負平方項的個數(shù)q=rp分別(fēnbié)叫做二次型或A的正、負慣性指數(shù)。稱pq=2pr為符號差。秩(A)=r也叫二次型的秩。推論設(shè)A為n階實對稱矩陣，正、負慣性(guànxìng)指數(shù)分別為p和q，則 A?diag(1,,1,1,,1,0,,0)其中(qízhōng)1有p個,1有q個,0有n(p+q)個?；蛘哒f：

對于二次型

xTAx

存在坐標變換

x=Cy，使得xTAx=y12++yp2yp+12-yr2

(r=p+q)上式右端稱為

xTAx的規(guī)范形。第三十七頁，共66頁。證由定理(dìnglǐ)6.3知，存在C1,使 C1TAC1=diag(d1,,dp,dp+1,,dp+q,0,,0)其中di>0(i=1,,p+q)。取可逆陣則則

CTAC=diag(1,

,1,1,

,1,0,,0)第三十八頁，共66頁。若n階實對稱(duìchèn)矩陣A與B合同，也稱對應的二次型xTAx和xTBx合同。注意：一個實對稱矩陣A的合同規(guī)范形是唯一的。兩個(liǎnɡɡè)n階實對稱矩陣A和B合同的充分必要條件是它們的正、負慣性指數(shù)分別相等，或正慣性指數(shù)與秩分別相等；全體n階實對稱矩陣按其合同規(guī)范形分類（不考慮+1，1,0的排列次序）可以劃分為(n+1)(n+2)/2類。因為秩r=0時，有1類；r=1時，有2類；r=2時，有3類;，r=n時，有n+1類。共有1+2+3++(n+1)類。第三十九頁，共66頁。6.4正定(zhènɡdìnɡ)二次型和正定(zhènɡdìnɡ)矩陣在多元微積分中我們(wǒmen)知道二元函數(shù)在點（0，0）是否有極大(jídà)(小)值，就是看它在（0，0）的鄰域內(nèi)是否恒正(負)。一般n元二次型是否恒正(負)的問題，就是二次型的正定問題。

定義6.4

如果n元實二次型f(x1,x2,,xn)=xTAx，x=(x1,x2,,xn)0(xRn)，恒有

xTAx

>0，

就稱

xTAx為正定二次型；稱矩陣A為正定矩陣。第四十頁，共66頁。(1)n元實二次型(標準形) f=(x1,x2,,xn)=d1x12+d2x22++dnxn2正定的充分必要條件(bìyàotiáojiàn)是di>0(i=1,2,,n)。充分性是顯然的，可用反證法證明必要性：設(shè)存在di0，取xi=1,xj=0(ji)，便有 f(0,,0,1,0,,0)=di0。這與二次型正定相矛盾。由定義(dìngyì)可得：(2)對二次型f=xTAx做坐標變換x=Cy（C為可逆矩陣），化為f=yT(CTAC)y，其正定性不變。這是因為：y00，相應(xiāngyīng)的x0=Cy00（否則x0=0，則y0=C1x0=0)，于是由f=xTAx的正定性，即得f=y0T(CTAC)y0=x0TAx0>0，即y0T(CTAC)y0正定，反之亦然。第四十一頁，共66頁。所以，對二次型做坐標變換化為d1x12+d2x22++dnxn2，即A合同(hétong)于對角矩陣CTAC=diag(d1,d2,,dn)時，由di>0（i=1,2,,n）即可判別A為正定矩陣。 定理6.4對于n階實對稱(duìchèn)矩陣A，下列命題等價：(1)xTAx是正定二次型（或A是正定矩陣）；(2)A的正慣性指數(shù)為n，即A?I；(3)存在可逆矩陣P，使得A=PTP；(4)A的n個特征值1,2,,n都大于零。證(1)(2)即對正定二次型xTAx做坐標(zuòbiāo)變換所化成的相合規(guī)范形必為xTAx==y12+y22++yn2，即p=n且A?I。

(2)(3)存在可逆陣C使得CTAC=I，得A=(C

T)1C

1,令P=C

1，則P

T=(C

T)1,于是,A=P

TP。第四十二頁，共66頁。(3)(4) 設(shè)Ax=x(x0),得(PTPA)x=x,從而(cóngér)有 xTPTPx=xTx,即(Px,Px)=(x,x)由P是可逆矩陣和x0,得Px0，特征值(4)(1)對于(duìyú)n元實二次型xTAx，存在正交變換 x=Qy使得xTAx=1y12+2y22++nyn2。由1,,n都大于零，即得xTAx是正定二次型。(3)存在可逆矩陣(jǔzhèn)P，使得A=PTP；(4)A的n個特征值1,2,,n都大于零。第四十三頁，共66頁。例１證明：若A是正定矩陣，則A1也是正定矩陣。證正定矩陣是滿秩的實對稱矩陣，所以，A可逆，且(A1)T=(AT)1=A1，即A1也是實對稱矩陣。證A1正定:方法(fāngfǎ)１：用定義。對二次型xTA1x做坐標變換x=Ay，得 xTA1x=yTATA1Ay=yTAy由yTAy正定，可知xTA1x也正定，故A1是正定矩陣。方法(fāngfǎ)２：由A?I,即存在可逆陣C使得CTAC=I,兩邊求逆,得(C1)A1(C1)T=I,即DTA1D=I(其中D=C1)T,故A1?I，因此A1是正定的。方法(fāngfǎ)３：由A正定,則存在可逆陣P,使得A=PTP,于是A1=P1(P1)T=STS(其中S=(P1)T）,因此A1也正定。第四十四頁，共66頁。方法(fāngfǎ)４：設(shè)Ax=x(x0)，得A1x=1x(x0)。由于A的n個特征值都大于零，所以A1的n個特征值1也都大于零。故A1正定。例２判斷(pànduàn)三元二次型的特征(tèzhēng)多項式為IA=(1)[(1)21/2]，特征(tèzhēng)值是否是正定二次型。解法１：二次型的對應矩陣都大于零，所以二次型正定。第四十五頁，共66頁。,顯然(xiǎnrán)f(x1,x2,x3)0，等號成立當且僅當解法(jiěfǎ)２：用配方法得從而(cóngér)判定f(x1,x2,x3)是正定的。

例3

判別三元二次型是否是正定二次型。f(1,1,0)=3+14=0解法1：觀察故

f不是正定的。第四十六頁，共66頁。解法2：二次型的對應(duìyìng)矩陣 I

A=(

1)(

26

3)=0特征值的特征方程故f不是正定(zhènɡdìnɡ)的。第四十七頁，共66頁。定理6.5若n元二次型xTAx正定，則(1)A的主對角元aii>0(i=1,2,…,n)；(2)A的行列式detA>0。 證(1)因xTAx正定，取第i個分量xi=1,其余分量為0的向量，xi=(0,,0,1,0,,0)，則有xiTAxi=aiixi2=aii>0(i=1,,n)。(2)因A正定，存在可逆矩陣(jǔzhèn)P，使得A=PTP，從而 A=PTP=P2>0或根據(jù)正定矩陣(jǔzhèn)A的特征值都大于零，得A=12n>0。 A=0， B<0， C中c11<0第四十八頁，共66頁。根據(jù)定理(dìnglǐ)，A,B,C都不是正定的。注意：D滿足定理條件，卻不是(bùshi)正定的。定理條件是矩陣正定的必要非充分條件。第四十九頁，共66頁。

必要性：取

xk

=(x1,,xk)T0,x=(x1,,xk,0,,0)T,記為

x=(xkT,0n-k)0,

則有定理6.6n元二次型xTAx正定的充分必要條件(bìyàotiáojiàn)為A的n個順序主子式（左上角主子式）都大于零。

證

設(shè)A=(aij)nn,（k=1,2,,n）稱為(chēnɡwéi)A的k階順序主子式xTAx=是正定(zhènɡdìnɡ)的。

由定理6.5得detAk>0(k=1,,n)。必要性得證。對一切

xk

0成立。故x1,,xk的k元二次型第五十頁，共66頁。由于(yóuyú)C12A=An-1b>0,An-1>0，即得b>0。取于是(yúshì)，對n1元二次型成立(chénglì)；對n元二次型，將A分塊為其中=(a1n,a2n,,an-1,n)T根據(jù)定理6.4，只需證明

A?

I*充分性：對n作數(shù)學歸納法。當n=1時，a11>0,xTAx=a11x12>0

(x10)，故充分性成立。假設(shè)充分性第五十一頁，共66頁。根據(jù)歸納假設(shè),An-1正定，故存在n1階可逆矩陣(jǔzhèn)G，使得再取例如，用定理6.6判別矩陣D的正定性(dìngxìng)，其中解所以(suǒyǐ)，D不是正定的。故

A?I，A正定。第五十二頁，共66頁。例4證明：若A是n階正定矩陣，則存在正定矩陣B，使得(shǐde)A=B2。證因為正定矩陣A是實對稱矩陣，所以存在正交陣Q（QTQ=I），使得(shǐde) A=Q(diag(1,2,,n))QT其中i>0(i=1,2,,n)。利用diag(1,2,,n)=則A=B2。B的特征值都大于0，所以B正定(zhènɡdìnɡ)。B通常記作第五十三頁，共66頁。6.5其他(qítā)有定二次型定義(dìngyì)6.5如果x=(x1,,