第2章地理空間數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

第2章地理空間數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地理空間的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是GIS空間位置數(shù)據(jù)定位、量算、轉(zhuǎn)換和參與空間分析的基準(zhǔn)。所有空間數(shù)據(jù)必須納入到相同空間參考基準(zhǔn)下才可以進(jìn)行空間分析。本章主要討論如下內(nèi)容：地球空間參考空間數(shù)據(jù)投影空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換空間尺度地理格網(wǎng)22023/2/62.1地球空間參考地球形狀眾所周知，地球是一個(gè)近似球體，其自然表面是一個(gè)極其復(fù)雜的不規(guī)則曲面。為了深入研究地理空間，有必要建立地球表面的幾何模型。根據(jù)大地測(cè)量學(xué)的研究成果，地球表面幾何模型可以分為四類：1、地球形狀與地球橢球地球的自然表面大地水準(zhǔn)面地球橢球面數(shù)學(xué)模型32023/2/6地球的自然表面：是一個(gè)起伏不平，十分不規(guī)則的表面，包括海洋底部、高山高原在內(nèi)的固體地球表面；大地水準(zhǔn)面：假設(shè)當(dāng)海水處于完全靜止的平衡狀態(tài)時(shí)，從海平面延伸到所有大陸下部，而與地球重力方向處處正交的一個(gè)連續(xù)、閉合的水準(zhǔn)面；42023/2/6地球橢球面：總體上講，大地體非常接近旋轉(zhuǎn)橢球，而后者的表面是一個(gè)規(guī)則的數(shù)學(xué)曲面。所以在大地測(cè)量以及GIS應(yīng)用中，一般都選擇一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球作為地球理想的模型，可用數(shù)學(xué)公式表達(dá)為：式中，a為長(zhǎng)半徑，近似等于地球赤道半徑；b為極軸半徑，近似等于南極（北極）到赤道面的距離。數(shù)學(xué)模型：是在解決其它一些大地測(cè)量學(xué)問題時(shí)提出來的，如類地形面、準(zhǔn)大地水準(zhǔn)面、靜態(tài)水平衡橢球體等；bEWλP?NSOa夸張的地球重力圖橢球定位與定向橢球定位：確定橢球中心的位置。地心定位：橢球面與大地水準(zhǔn)面全球最佳符合。橢球中心與地球質(zhì)心一致或最為接近。局部定位：橢球面與大地水準(zhǔn)面局部最佳符合。橢球定向：確定旋轉(zhuǎn)軸和起始子午面的方向。

a.橢球短軸平行于地球旋轉(zhuǎn)軸；

b.大地起始子午面平行于天文起始子午面.72023/2/62、坐標(biāo)系統(tǒng)地理空間坐標(biāo)系統(tǒng)提供了確定空間位置的參照基準(zhǔn)。一般情況，根據(jù)表達(dá)方式的不同，地理空間坐標(biāo)系統(tǒng)通常分為球面坐標(biāo)系統(tǒng)和平面坐標(biāo)系統(tǒng)（或投影坐標(biāo)系統(tǒng)）。地理空間坐標(biāo)平面坐標(biāo)系統(tǒng)高斯平面直角坐標(biāo)系地方獨(dú)立平面直角坐標(biāo)系（投影坐標(biāo)系統(tǒng)）球面坐標(biāo)系統(tǒng)天文地理坐標(biāo)大地地理坐標(biāo)空間直角坐標(biāo)系參心空間直角坐標(biāo)系地心地固空間直角坐標(biāo)系92023/2/63、高程基準(zhǔn)高程是表示地球上一點(diǎn)至參考基準(zhǔn)面的距離，就一點(diǎn)位置而言，它和水平量值一樣是不可缺少的。大地水準(zhǔn)面、似大地水準(zhǔn)面和地球橢球面都是理想的表面。我國(guó)主要高程基準(zhǔn)：1956年黃海高程系以青島港驗(yàn)潮站的長(zhǎng)期觀測(cè)資料推算出的黃海平均海平面作為中國(guó)的水準(zhǔn)基面；1985國(guó)家高程基準(zhǔn)基準(zhǔn)面為青島大港驗(yàn)潮站1952－1979年驗(yàn)潮資料確定的黃海平均海面；青島觀象山水準(zhǔn)原點(diǎn)中華人民共和國(guó)大地原點(diǎn)，是1980年國(guó)家大地坐標(biāo)系起算點(diǎn)。大地原點(diǎn)位于陜西省涇陽縣永樂店北洪流村。122023/2/6深度基準(zhǔn)是指海圖圖載水深及其相關(guān)要素的起算面。通常取當(dāng)?shù)仄骄Ｃ嫦蛳乱欢ㄉ疃葹檫@樣的起算面，即深度基準(zhǔn)面。LZ平均海面深度基準(zhǔn)面海底132023/2/62.2空間數(shù)據(jù)投影

在數(shù)學(xué)中，投影（Project）的含義是指建立兩個(gè)點(diǎn)集之間一一對(duì)應(yīng)的映射關(guān)系。同樣，在地圖學(xué)中，地圖投影的實(shí)質(zhì)就是按照一定的數(shù)學(xué)法則，將地球橢球面上的經(jīng)緯網(wǎng)轉(zhuǎn)換到平面上，建立地面點(diǎn)位的地理坐標(biāo)（B,L）與地圖上相對(duì)應(yīng)的平面直角坐標(biāo)（X,Y）之間一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。在數(shù)學(xué)上講,地球表面是一種不可能展開的曲面，要把這樣一個(gè)曲面表現(xiàn)到平面上,就會(huì)發(fā)生裂隙或褶皺。運(yùn)用經(jīng)緯線的“拉伸”或“壓縮”實(shí)現(xiàn)投影，往往會(huì)造成地圖投影的變形。長(zhǎng)度變形面積變形角度變形142023/2/6152023/2/6162023/2/6172023/2/6182023/2/6192023/2/6地圖投影的種類繁多，通常采用以下兩種分類方法：1.按地圖投影的構(gòu)成方法分類：正軸橫軸斜軸方位圓柱圓錐202023/2/62.按地圖投影的變形性質(zhì)分類等角投影投影前后對(duì)應(yīng)的微分面積保持圖形相似；等面積投影在投影平面上任意一塊面積與橢球面上相應(yīng)的面積相等；等距投影等距投影的面積變形小于等角投影，角度變形小于等面積投影；212023/2/6常用地圖投影1.高斯—克呂格投影（橫軸切圓柱等角投影）高斯投影的中央經(jīng)線和赤道為互相垂直的直線，其他經(jīng)線均為凹向，并對(duì)稱于中央經(jīng)線的曲線，其他緯線均是以赤道為對(duì)稱軸的向兩極彎曲的曲線，經(jīng)緯線成直角相交。變形特征是：在同一條經(jīng)線上，長(zhǎng)度變形隨緯度的降低而增大，在赤道處為最大；在同一條緯線上，長(zhǎng)度變形隨經(jīng)差的增加而增大，且增大速度較快。N’S’YXONSO赤道222023/2/6我國(guó)規(guī)定1:1萬、1:2.5萬、1:5萬、1:10萬、1:25萬、1:50萬比例尺地形圖，均采用高斯投影。1:2.5至1:50萬比例尺地形圖采用經(jīng)差6?分帶，1:1萬比例尺地形圖采用經(jīng)差3?分帶。242023/2/62.橫軸墨卡托投影（UTM）UTM投影是一種橫割圓柱等角投影，圓柱面在84?N和84?S處與橢球體相割，它與高斯—克呂格投影十分相似，也采用在地球表面按經(jīng)度每6?分帶。其帶號(hào)是自西經(jīng)180?由西向東每隔6?一個(gè)編號(hào)。3.蘭勃特等角投影(LambertConformalConic)在雙標(biāo)準(zhǔn)緯線下是“正軸等角割圓錐投影”。設(shè)想用一個(gè)正圓錐割于球面兩標(biāo)準(zhǔn)緯線，應(yīng)用等角條件將地球面投影到圓錐面上，然后沿一母線展開，即為蘭勃特投影平面。墨卡托(Mercator)投影是它的一個(gè)特例。252023/2/62.3空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

1、基本概念空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換是把空間數(shù)據(jù)從一種空間參考系映射到另一種空間參考系中。空間轉(zhuǎn)換有時(shí)也稱投影變換。投影變換是地圖制圖的理論基礎(chǔ)，主要用來解決換帶計(jì)算、地圖轉(zhuǎn)繪、圖層疊加、數(shù)據(jù)集成等問題。兩個(gè)層面的解釋：投影的轉(zhuǎn)換：在完成地理坐標(biāo)值轉(zhuǎn)換的同時(shí)，必須完成空間參考框架信息（包括參考橢球、大地基準(zhǔn)面以及投影規(guī)則）的精確轉(zhuǎn)換。單純坐標(biāo)值的變換:只需要把空間數(shù)據(jù)的坐標(biāo)值從一種空間參考系映射到另一種空間參考系中，轉(zhuǎn)換后的空間參考系信息直接采用目標(biāo)空間參考系信息。平面坐標(biāo)變換—坐標(biāo)軸的平移和旋轉(zhuǎn)11026272023/2/62.空間直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換七參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型

Z1Z2X2X1Y2Y1O1O2εxεyεz282023/2/63.投影解析轉(zhuǎn)換如果參與轉(zhuǎn)換空間參考系的投影公式，1）存在精確解析關(guān)系式：直接進(jìn)行坐標(biāo)換算；2）不存在精確解析關(guān)系式：采用間接變換，即先將一種投影的平面坐標(biāo)換算為球面大地坐標(biāo)，然后再對(duì)球面大地坐標(biāo)計(jì)算出另一種投影下的平面坐標(biāo)，從而實(shí)現(xiàn)兩種投影坐標(biāo)間的變換。同一地理坐標(biāo)基準(zhǔn)下的坐標(biāo)變換292023/2/6不同地理坐標(biāo)基準(zhǔn)下的坐標(biāo)變換實(shí)現(xiàn)整個(gè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的基本過程為（以WGS84坐標(biāo)和1980西安坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換為例）：主要包括：地理坐標(biāo)基準(zhǔn)的變換；坐標(biāo)值的變換；a.（B，L）84轉(zhuǎn)換為（X,Y,Z）84，即空間大地坐標(biāo)到空間直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換；b.（X,Y,Z）84轉(zhuǎn)換為（X,Y,Z）80，坐標(biāo)基準(zhǔn)的轉(zhuǎn)換，即參考橢球轉(zhuǎn)換。該過程可以通過七參數(shù)或簡(jiǎn)化三參數(shù)法實(shí)現(xiàn)；c.（X,Y,Z）80轉(zhuǎn)換為（B,L）80，把空間直角坐標(biāo)到空間大地坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換；d.（B,L）80轉(zhuǎn)換為（x,y）80，通過高斯－克呂格投影公式計(jì)算出高斯平面坐標(biāo)值。302023/2/64.數(shù)值擬合轉(zhuǎn)換若無法獲取參與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的空間參考的投影信息，可以采用單純數(shù)值變換的方法實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)變換。1）多項(xiàng)式擬合變換根據(jù)兩種投影在變換區(qū)內(nèi)的已知坐標(biāo)的若干同名控制點(diǎn)，采用插值法，或有限差分法、有限元法、待定系數(shù)最小二乘法，實(shí)現(xiàn)兩種投影坐標(biāo)之間的變換。2）數(shù)值—解析變換先采用多項(xiàng)式逼近的方法確定原投影的地理坐標(biāo)，然后將所確定的地理坐標(biāo)代入新投影與地理坐標(biāo)之間的解析式中，求得新投影的坐標(biāo)，從而實(shí)現(xiàn)兩種投影之間的變換。312023/2/62.4空間尺度

尺度在概念上是指研究者選擇觀察（測(cè)）世界的窗口。觀測(cè)尺度比例尺操作尺度分辨率在進(jìn)行空間分析時(shí)，從獲取信息到數(shù)據(jù)處理、分析往往會(huì)涉及到四種尺度問題：現(xiàn)實(shí)世界（觀測(cè)尺度）地圖（比例尺）影響（分辨率）其它用戶接受的信息采集處理分析（操作尺度）322023/2/61.觀測(cè)尺度是指研究的區(qū)域大小或空間范圍。認(rèn)識(shí)或觀察地理空間觀察及其變化時(shí)一般需要更大的范圍，即大尺度（地理尺度）研究覆蓋范圍較大區(qū)域。2.比例尺把地球表面多維的景物和現(xiàn)象描寫在二維有限的平面圖紙上：當(dāng)制圖區(qū)域比較小時(shí)，地圖比例尺指圖上長(zhǎng)度與地面之間的長(zhǎng)度比例；當(dāng)制圖區(qū)域相當(dāng)大時(shí)，地圖比例尺指在進(jìn)行地圖投影時(shí)，對(duì)地球半徑縮小的比率；傳統(tǒng)地圖比例尺的表現(xiàn)形式：數(shù)字式；文字式；圖解式；332023/2/63.分辨率圖像分辨率：表示景物信息的詳細(xì)程度光譜分辨率時(shí)間分辨率空間分辨率地面像元分辨率：遙感儀器所能分辨的最小地面物體大小數(shù)字圖像的空間分辨率應(yīng)該通過離散的像元之間所能分辨的目標(biāo)物細(xì)節(jié)的最小尺寸或?qū)?yīng)目標(biāo)物空間中兩點(diǎn)之間的最小距離表達(dá)。4.操作尺度指對(duì)空間實(shí)體、現(xiàn)象的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理操作時(shí)應(yīng)采用的最佳尺度，不同操作尺度影響處理結(jié)果的可靠程度或準(zhǔn)確度。342023/2/62.5地理格網(wǎng)

地理格網(wǎng)指按一定的數(shù)學(xué)規(guī)則對(duì)地球表面進(jìn)行劃分而形成的格網(wǎng)。按不同的坐標(biāo)系統(tǒng)可以分為：地理坐標(biāo)格網(wǎng)（按經(jīng)緯度坐標(biāo)系統(tǒng)）直角坐標(biāo)格網(wǎng)（按直角坐標(biāo)系統(tǒng)）352023/2/6格網(wǎng)系統(tǒng)GB12409—90國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)《地理格網(wǎng)》規(guī)定了我國(guó)采用三種格網(wǎng)系統(tǒng)。格網(wǎng)系統(tǒng)

4ox6o格網(wǎng)系統(tǒng)分級(jí)直角坐標(biāo)格網(wǎng)系統(tǒng)分級(jí)10ox10o格網(wǎng)系統(tǒng)；4ox6o格網(wǎng)系統(tǒng)；直角坐標(biāo)格網(wǎng)系統(tǒng)；362023/2/6地理格網(wǎng)設(shè)計(jì)原則（1）科學(xué)性。地理格網(wǎng)按照地理象限、經(jīng)緯度或直角坐標(biāo)進(jìn)行劃分，這三種格網(wǎng)系統(tǒng)可以相互轉(zhuǎn)換，具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。（2）系統(tǒng)性。三種格網(wǎng)的分級(jí)各呈一定的比例關(guān)系，構(gòu)成完整的系列，便于組成地區(qū)的、國(guó)家的或全球的格網(wǎng)體系。（3）實(shí)用性。格網(wǎng)的劃分，充分考慮不同用戶需要及現(xiàn)行的測(cè)繪基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)了三種系統(tǒng)的多級(jí)格網(wǎng)，以滿足不同精度要求，便于用戶選擇。（4）可擴(kuò)展性。格網(wǎng)的分級(jí)與編碼設(shè)計(jì)，充分考慮了發(fā)展的需要，使得進(jìn)一步細(xì)分時(shí)能在本標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)充而不必改變?cè)械膭澐煮w系。區(qū)域劃分標(biāo)準(zhǔn)根據(jù)區(qū)域管理、規(guī)劃和決策的需要，在建立區(qū)域或?qū)I(yè)地理信息系統(tǒng)時(shí)，有必要將整個(gè)區(qū)域劃分成若干種區(qū)域多邊形，作為信息存貯、檢索、分析和交換的控制單元，也可以作為空間定位的統(tǒng)計(jì)單元，這就要求系統(tǒng)設(shè)計(jì)要規(guī)定統(tǒng)一的區(qū)域多邊形控制系統(tǒng)，并規(guī)定各種多邊形區(qū)域的界線、名稱、類型和代碼。372023/2/6可劃分為：行政分區(qū)綜合自然分區(qū)管理分區(qū)382023/2/61.行政分區(qū)根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB2260—91《中華人民共和國(guó)行政區(qū)劃代碼》規(guī)定，基本單元：縣級(jí)(市轄區(qū)、地轄市和省直轄縣級(jí)市、旗)分為：縣(市轄區(qū)、地轄市、省直轄縣級(jí)市、旗)地區(qū)(州、省轄市、盟)省(自治區(qū)、中央直轄市)國(guó)家縣以下行政區(qū)的代碼可以根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GBl0114—88《縣以下行政區(qū)劃代碼編制規(guī)則》自行編制。392023/2/62.綜合自然分區(qū)根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB／T13923—92《國(guó)土基礎(chǔ)信息數(shù)據(jù)分類與代碼》規(guī)定，基礎(chǔ)地理信息數(shù)據(jù)分為8大類：測(cè)量控制點(diǎn)水系居民地交通管線與垣柵境界地形與土質(zhì)植被402023/2/6編碼方法是在上述分類基礎(chǔ)上，即國(guó)土基礎(chǔ)信息數(shù)據(jù)分為九個(gè)大類，并依次細(xì)分為中類、小類和屬性分類。分類代碼由六位數(shù)字碼組成，結(jié)構(gòu)如下圖：在原國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行修訂，形成具有:一級(jí)類:9個(gè)(在原標(biāo)準(zhǔn)8大類基礎(chǔ)上增加一個(gè)大類)二級(jí)類：42個(gè)三級(jí)類:300個(gè)四級(jí)類：240個(gè)XXXXXX大類碼中類碼小類碼屬性分類識(shí)別位412023/2/63.管理分區(qū)關(guān)于管理分區(qū)，已發(fā)布的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)主要有《鐵路車站站名代碼》(GB／T10302—1988)、《公路橋梁命名編號(hào)和編碼規(guī)則》(GB／T11708—1989)、《城市地理要素、城市道路、道路交叉口、街坊、市政工程管線編碼結(jié)構(gòu)規(guī)則》(GB／T14395—1993)等。例如郵政分區(qū)標(biāo)準(zhǔn)中，把全國(guó)郵政分為省、郵區(qū)、郵局、支局和投遞局五級(jí)，井進(jìn)行全國(guó)統(tǒng)一編碼。?。ㄖ陛犑小⒆灾螀^(qū)）郵區(qū)縣（市）投遞局226156該郵編指：江蘇省南通市海門縣某投遞局422023/2/6國(guó)家基本比例尺地形圖標(biāo)準(zhǔn)我國(guó)把1:1萬、l:2.5萬、1:5萬、1:10萬、1:25萬、1:50萬、1:100萬這7種比例尺作為國(guó)家基本地圖的比例尺系列。基礎(chǔ)地圖：地形圖地形圖的編繪具有統(tǒng)一的大地控制基礎(chǔ)、統(tǒng)一的地圖投影和統(tǒng)一的分幅編號(hào)；嚴(yán)格按照測(cè)圖規(guī)范、編圖規(guī)范和圖式符號(hào)進(jìn)行。地形圖的分幅形式：矩形分幅經(jīng)緯線分幅每幅圖的圖廓都是—個(gè)矩形，因此相鄰圖幅是以直線劃分的。矩形的大小多根據(jù)紙張和印刷機(jī)的規(guī)格而定。432023/2/6根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB／F1398~92《國(guó)家基本比例尺地形圖分幅和編號(hào)》規(guī)定，我國(guó)基本比例尺地形圖均以1:100萬地形圖為基礎(chǔ)，按規(guī)定的經(jīng)差和緯差劃分圖幅。其中，1:100萬地形圖的分幅采用國(guó)際1:100萬地圖分幅標(biāo)準(zhǔn)。每幅1:100萬地形圖的范圍是經(jīng)差6o、緯差4o；緯度60o~76o為經(jīng)差12o、緯差4o；緯度76o~88o之間經(jīng)差24o、緯差4o。我國(guó)范圍內(nèi)百萬分之一地圖都是按經(jīng)差6o，緯差4o分幅的。地形圖的經(jīng)緯差、行列數(shù)及圖幅數(shù)比例尺1/100萬1/50萬1/25萬1/10萬1/5萬1/2.5萬1/1萬1/5千圖幅范圍經(jīng)度6度3度1度30分30分15分7分30秒3分45秒1分52.5秒緯度4度2度1度20分10分5分2分30秒1分15秒行列數(shù)行數(shù)12412244896192列數(shù)12412244896192圖幅數(shù)量關(guān)系

14161445762304921636864

143614457623049216

19361445762304

141664256

141664

1416

14442023/2/61:100萬地形圖編號(hào)采用全球統(tǒng)一分幅編號(hào)。行數(shù)：由赤道起向南北兩極每隔緯差4?為一列，直到南北88?（南北緯88?至南北兩極地區(qū)，采用極方位投影單獨(dú)成圖），將南北半球各劃分為22列，分別用拉丁字母A、B、C、D、…、V表示。列數(shù)：從經(jīng)度180?起向東每隔6?為一行，繞地球一周共有60行，分別以數(shù)字1、2、3、4……60表示。452023/2/61:100萬-1:5000地形圖編號(hào)均以1:100萬地形圖編號(hào)為基礎(chǔ)，采用行列編號(hào)的方法。比例尺1:50萬1:25