第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制工程是一門研究“控制論”在工程中應(yīng)用的科學(xué)。

控制器被控對(duì)象輸入量r輸出量y擾動(dòng)量n檢測(cè)元件偏差e反饋量b數(shù)學(xué)模型生物系統(tǒng)工程系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)社會(huì)系統(tǒng)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析、綜合，這是控制工程的基本方法。數(shù)學(xué)模型是描述物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。建立數(shù)學(xué)模型的基本方法：1.機(jī)理分析法

：通過(guò)分析系統(tǒng)的內(nèi)部運(yùn)動(dòng)規(guī)律，求解系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。2.系統(tǒng)辨識(shí)法

：利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-3傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)§2-5信號(hào)流圖及梅遜公式§2-2拉氏變換及反變換§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程§2-4框圖及其簡(jiǎn)化第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程微分方程是根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性列寫出來(lái)的反映其動(dòng)態(tài)特性的基本方程，這些方程通常需要用微分式表達(dá)，所以稱為微分方程。連續(xù)系統(tǒng)工程物理系統(tǒng)離散系統(tǒng)傳遞函數(shù)狀態(tài)空間表達(dá)式差分方程脈沖傳遞函數(shù)微分方程第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、機(jī)械系統(tǒng)的微分方程§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程

牛頓第二定律：一物體的加速度，與其所受的合外力成正比，與其質(zhì)量成反比，而且加速度與合外力同方向(作用在物體上的合外力與該物體的慣性力構(gòu)成平衡力系)。用公式可表示為式中——作用在物體上的合外力；

——物體的加速度；

——物體的質(zhì)量；

——物體的慣性力。(2-1)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程如圖2-1a所示的機(jī)械平移系統(tǒng)，可應(yīng)用牛頓第二定律，得出微分方程式(2-2)

(2-2)圖2-1b為回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的機(jī)械系統(tǒng)，相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為(2-3)圖2-1機(jī)械系統(tǒng)a)平移系統(tǒng)b)回轉(zhuǎn)系統(tǒng)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程例2-1機(jī)械系統(tǒng)加速度計(jì)工作原理如圖2-2所示，它用于測(cè)量某一運(yùn)動(dòng)物體(如車輛、飛機(jī))的加速度。測(cè)量時(shí)，加速度計(jì)的框架固定在待測(cè)的運(yùn)動(dòng)體上，當(dāng)運(yùn)動(dòng)體作加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，該框架隨之作同樣的加速運(yùn)動(dòng)。圖2-2a加速度計(jì)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程例2-2設(shè)有如圖2-3a所示的齒輪傳動(dòng)鏈，由電動(dòng)機(jī)M輸入的扭矩為，為輸出端負(fù)載，為負(fù)載扭矩。圖中所示的為各齒輪齒數(shù)，、、及、、分別為各軸及相應(yīng)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和轉(zhuǎn)角。圖2-3齒輪傳動(dòng)鏈a)原始輪系b)等效輪系第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程(2-4)根據(jù)式(2-3)可得如下動(dòng)力學(xué)方程組式中——傳動(dòng)中各軸及齒輪的粘性阻尼系數(shù)；齒輪對(duì)的反轉(zhuǎn)矩；——對(duì)的反轉(zhuǎn)矩；對(duì)的反轉(zhuǎn)矩；對(duì)的反轉(zhuǎn)矩；輸出端負(fù)載對(duì)的反轉(zhuǎn)矩，即負(fù)載轉(zhuǎn)矩?！诙驴刂葡到y(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程由齒輪傳動(dòng)的基本關(guān)系可知于是由式(2-4)可得令稱為等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；令稱為等效阻尼系數(shù)；

令稱為等效輸出轉(zhuǎn)矩。

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程將上式改為則圖2-3a所示的傳動(dòng)裝置可簡(jiǎn)化為圖2-3b所示的等效齒輪傳動(dòng)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二、電氣系統(tǒng)的微分方程§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程電氣系統(tǒng)的微分方程根據(jù)歐姆定律、基爾霍夫定律、電磁感應(yīng)定律等基本物理規(guī)律列寫。例2-3無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)

圖2-4無(wú)緣網(wǎng)絡(luò)如圖2-4所示的系統(tǒng)中，為輸入電壓，為輸出電壓。根據(jù)基爾霍夫定律和歐姆定律，有

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程由式(2-6)得(2-9)由式(2-7)得將式(2-9)代入，得(2-10)由式(2-8)得(2-11)將式(2-9)、式(2-10)、式(2-11)代入式(2-5)，得即第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程例2-4有源電路網(wǎng)絡(luò)

圖2-5有緣網(wǎng)絡(luò)如圖2-5所示系統(tǒng)中，為輸入電壓，為輸出電壓，為運(yùn)算放大器開環(huán)放大倍數(shù)。設(shè)運(yùn)算放大器的反相輸入端為A點(diǎn)。因?yàn)橐话阒岛艽?，又，所以，A點(diǎn)電位(2-12)

一般運(yùn)算放大器的輸入阻抗很高，所以

(2-13)據(jù)此，可列出即第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程例2-5電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)

如圖2-6所示的系統(tǒng)，其中為電動(dòng)機(jī)電樞輸入電壓；為電動(dòng)機(jī)輸出轉(zhuǎn)角；為電樞繞組的電阻；為電樞繞組的電感；為流過(guò)電樞繞組的電流；為電動(dòng)機(jī)感應(yīng)電勢(shì)；為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩；為電動(dòng)機(jī)及負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；為電動(dòng)機(jī)及負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的粘性阻尼系數(shù)。圖2-6有緣網(wǎng)絡(luò)根據(jù)基爾霍夫定律，有(2-14)根據(jù)磁場(chǎng)對(duì)載流線圈的作用定律，有式中——電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩常數(shù)。(2-15)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程根據(jù)電磁感應(yīng)定律，有(2-16)式中——反電勢(shì)常數(shù)。根據(jù)牛頓第二定律，有(2-17)將式(2-15)代入式(2-17)，得(2-18)將式(2-16)、式(2-18)代入式(2-14)，得電樞電感La通常較小，若忽略不計(jì)，系統(tǒng)微分方程可簡(jiǎn)化為當(dāng)電樞電感La，電阻Ra均較小，都忽略時(shí)，系統(tǒng)微分方程可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程三、液壓系統(tǒng)的線性化微分方圖中，x為閥芯位移輸入；y為液壓缸活塞位移輸出；qL為負(fù)載流量；q1、q2分別為液壓缸左、右腔的輸入、輸出流量；pL為負(fù)載壓差；pS為供油壓力；m為負(fù)載質(zhì)量；A為活塞工作面積；d為閥芯直徑。圖2-7閥控液壓缸

圖2-8qL=f(x,pL)曲線

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程又若閥口結(jié)構(gòu)完全相同且對(duì)稱，不考慮閥和缸的泄漏，則，。于是有，因?yàn)椋?，于是?2-19)變?yōu)?/p>

所以可以導(dǎo)出(2-20)由液壓流體力學(xué)可知(2-19)式中

閥口流量系數(shù)；

——

——

——

——

閥口過(guò)流面積，若為全周矩形開口，有

閥口壓力降；

油液密度。

或

上式稱為滑閥的靜特性方程，是一個(gè)非線性函數(shù)，如圖2-8所示。

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程設(shè)閥的額定工作點(diǎn)參量為

和

則

(2-21)將式(2-20)在額定工作點(diǎn)附近展成泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)，有

(2-22)設(shè)，式(2-22)減去式(2-21)，并舍去高階項(xiàng)，得線性化流量方程

(2-23)不考慮泄漏時(shí)液壓缸流量連續(xù)性方程為

(2-24)不考慮阻尼力等時(shí)液壓缸力平衡方程為

(2-25)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程將式(2-23)、式(2-24)和式(2-25)聯(lián)立，消去中間變量，即得系統(tǒng)線性方程

線性化的過(guò)程中，有以下幾點(diǎn)需要注意：1)線性化是相對(duì)某一額定工作點(diǎn)的，工作點(diǎn)不同，則所得的方程系數(shù)也往往不同；2)變量的偏差愈小，則線性化精度愈高；3)增量方程中可認(rèn)為其初始條件為零，即廣義坐標(biāo)原點(diǎn)平移到額定工作點(diǎn)處；4)線性化只用于沒(méi)有間斷點(diǎn)、折斷點(diǎn)的單值函數(shù)。

在機(jī)械工程中，常用到液壓傳動(dòng)及其控制系統(tǒng)，由于典型的液壓元件比電氣元件更為非線性，在數(shù)學(xué)描述上更加復(fù)雜，為便于分析，往往在一定條件下，將非線性系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理。第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程由以上的一些例子，可總結(jié)出列寫系統(tǒng)微分方程的一般步驟：1)將系統(tǒng)劃分環(huán)節(jié)，確定各環(huán)節(jié)的輸入及輸出信號(hào)，每個(gè)環(huán)節(jié)可考慮列寫一個(gè)方程；根據(jù)物理定律或通過(guò)實(shí)驗(yàn)等方法得出的物理規(guī)律列寫各環(huán)節(jié)的原始方程式，并考慮適當(dāng)簡(jiǎn)化、線性化；2)將各環(huán)節(jié)方程式聯(lián)立，消去中間變量，最后得出只含輸入變量、輸出變量以及參量的系統(tǒng)方程式。

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程四、相似系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型相同的物理系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。在相似系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型中，作用相同的變量稱為相似變量。表2-1為質(zhì)量-彈簧-阻尼機(jī)械平移系統(tǒng)、機(jī)械回轉(zhuǎn)系統(tǒng)、電氣系統(tǒng)和液壓系統(tǒng)的相似變量。相似系統(tǒng)的特點(diǎn)是一種物理系統(tǒng)研究的結(jié)論可以推廣到其它相似系統(tǒng)中去。利用相似系統(tǒng)的這一特點(diǎn)，可以進(jìn)行模擬研究，即用一種比較容易實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)(如用電氣系統(tǒng))模擬其它較難實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。

表2-1相似系統(tǒng)的相似變量第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-2拉氏變換及反變換

一、拉氏變換及其特性

(一)拉氏變換的定義

拉氏變換(LaplaceTransform)是分析工程控制系統(tǒng)的基本數(shù)學(xué)方法之一。時(shí)間函數(shù)f(t)，當(dāng)t<0時(shí)，f(t)=0，t0時(shí)，f(t)（稱原函數(shù)）的拉氏變換記為L(zhǎng)[f(t)]或F(s)（稱象函數(shù)），且定義為式中s=+j

若式(2-26)的積分收斂于一確定值，則函數(shù)f(t)的拉氏變換F(s)存在，這時(shí)f(t)必須滿足(2-26)1)在任一有限區(qū)間內(nèi)，f(t)分段連續(xù)，只有有限個(gè)間斷點(diǎn)。2)當(dāng)時(shí)間t→，f(t)不超過(guò)某一指數(shù)函數(shù)，即滿足式中M、a──實(shí)常數(shù)。第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-2拉氏變換及反變換

例2-6單位階躍函數(shù)的拉氏變換。單位階躍函數(shù)如右圖所示，定義為01f(t)t由拉氏變換的定義式可求得：第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-2拉氏變換及反變換

例2-7單位脈沖函數(shù)的拉氏變換。單位脈沖函數(shù)如右圖所示，定義為0f(t)t且（t）有如下特性

由拉氏變換的定義式可求得：第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-2拉氏變換及反變換

例2-8單位斜坡函數(shù)的拉氏變換由拉氏變換的定義式可求得：?jiǎn)挝幻}沖函數(shù)如右圖所示，定義為0f(t)t例2-9指數(shù)函數(shù)eat的拉氏變換。第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-2拉氏變換及反變換

例2-10正弦函數(shù)sint和余弦函數(shù)cost的拉氏變換根據(jù)歐拉公式，有于是可以利用上面指數(shù)函數(shù)拉氏變換的結(jié)果，得出正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的拉氏變換。

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-2拉氏變換及反變換

拉氏變換對(duì)照表表2－2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-2拉氏變換及反變換

1.線性定理

(二）拉氏變換的運(yùn)算法則

2.延遲定理拉氏變換是一個(gè)線性變換，若有常數(shù)k1、k2，函數(shù)f1(t)、f2(t)，則

(2-28)證明：設(shè)f(t)的拉氏變換為F(s)，對(duì)任一正實(shí)數(shù)T有

(2-29)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-2拉氏變換及反變換

3.位移定理

4.相似定理

f(t)的拉氏變換為F(s)，對(duì)任一常數(shù)a（實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)）有

證明：(2-30)證明：f(t)的拉氏變換為F(s)，有任意常數(shù)a，則

(2-31)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-2拉氏變換及反變換

5.微分定理

設(shè)f(n)(t)表示f(t)的n階導(dǎo)數(shù)，n=1，2，…正整數(shù)，f(t)的拉氏變換為F(s)，則

(2-32)證明：則可進(jìn)一步推出f(t)的各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換為

(2-33)(2-34)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-2拉氏變換及反變換

6.積分定理

證明：f(t)的拉氏變換為F(s)，則

(2-35)依次可推導(dǎo)出

(2-37)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-2拉氏變換及反變換

7.初值定理

證明：令s→，對(duì)上式兩邊取極限

當(dāng)則由微分定理

設(shè)f(t)及其一階導(dǎo)數(shù)均為可拉氏變換的，則f(t)的初值為

(2-38)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-2拉氏變換及反變換

8.終值定理

由微分定理

令s→0，對(duì)上式兩邊取極限

證明：設(shè)f(t)及其一階導(dǎo)數(shù)均為可拉氏變換的，則f(t)的終值為

(2-39)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-2拉氏變換及反變換

9.象函數(shù)的微分性質(zhì)10.象函數(shù)的積分性質(zhì)證明：因?yàn)?/p>

對(duì)上式兩邊微分

證明：(2-40)(2-41)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-2拉氏變換及反變換

11.卷積定理令證明：(2-42)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-2拉氏變換及反變換

二、拉氏反變換及其計(jì)算方法1.拉氏反變換的定義(1)查表法，表2－2；(2)部分分式法。2.拉氏反變換的計(jì)算方法已知F(s)，求時(shí)間函數(shù)f(t)的拉氏反變換，記作，定義為

式中，r為大于F(s)的所有奇異點(diǎn)實(shí)部的實(shí)常數(shù)。所謂奇異點(diǎn)，即F(s)在該點(diǎn)不解析，也就是F(s)在該點(diǎn)及其鄰域不處處可導(dǎo)。

(2-43)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-2拉氏變換及反變換

用部分分式法將式(2-45)分為各簡(jiǎn)單分式之和

，應(yīng)分三種情況進(jìn)行討論：

(1)A(s)=0無(wú)重根(3)A(s)=0有重根(2)A(s)=0的根中有共軛復(fù)根F(s)通?？杀磉_(dá)為復(fù)數(shù)s的有理代數(shù)式；

(2-44)設(shè)s1、s2、s3、、sn為分母的根，則

(2-45)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-2拉氏變換及反變換

(1)A(s)=0無(wú)重根時(shí)用(s－s1)乘以上式兩邊，并以s=s1代入式中，得

將原式化為部分分式(2-46)依次類推可得

(2-47)(2-48)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-2拉氏變換及反變換

因?yàn)?2-49)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例2-11求的拉氏反變換。

§2-2拉氏變換及反變換解

的部分分式運(yùn)用式(2-47)求系數(shù)、第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-2拉氏變換及反變換

2.A(s)=0的根中有共軛復(fù)根

通過(guò)下面的例子說(shuō)明通過(guò)部分分式求拉氏反變換的方法。例2-12求象函數(shù)的原函數(shù)。(2-50)用

乘式(2-50)的兩邊，并令

，得

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-2拉氏變換及反變換令上式兩邊實(shí)部和虛部分別相等，得，即，解得，為確定系數(shù)，用乘方程(2-50)兩邊，并令，得的部分分式可求得第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-2拉氏變換及反變換其中，，則的拉氏反變換為第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-2拉氏變換及反變換

3.A(s)=0有重根的情況

(2-51)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-2拉氏變換及反變換

例2-13求的拉氏反變換。

解根據(jù)式(2-51)求得

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-2拉氏變換及反變換

的部分分式為分別查表可求得的拉氏反變換為第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-2拉氏變換及反變換

三、用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程用拉氏變換解微分方程的步驟：1)對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換，將其轉(zhuǎn)換為拉氏域內(nèi)的代數(shù)方程；2)求出特征方程的解和解對(duì)應(yīng)的留數(shù)，并對(duì)化簡(jiǎn)后的部分分式和進(jìn)行拉氏反變換，從而求出微分方程的時(shí)間解。例

解方程

其中，

解

將方程兩邊取拉氏變換，得

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-3傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)一、傳遞函數(shù)的概念

線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(TransferFunction)：當(dāng)初始條件為零時(shí)，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。設(shè)線性定常系統(tǒng)輸入為r(t)，輸出為c(t)，描述系統(tǒng)的常微分方程的一般形式為

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)為

(2-54)當(dāng)初始條件為零時(shí)，對(duì)上式兩邊進(jìn)行拉氏變換，得

(2-53)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-3傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1.描述系統(tǒng)本身的固有特性，與輸入量/輸出量無(wú)關(guān)；2.不同的物理系統(tǒng)，若其動(dòng)態(tài)特性相同，可用同一傳遞函數(shù)描述。傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式中s的最高冪數(shù)代表了系統(tǒng)的階數(shù)，如s的最高冪數(shù)為n，則該系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。傳遞函數(shù)的特性：第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型對(duì)于傳遞函數(shù)

對(duì)分子分母因式分解可以得到其中，為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)，為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)?？梢?jiàn)傳遞函數(shù)有m個(gè)零點(diǎn)，n個(gè)極點(diǎn)和一個(gè)實(shí)常數(shù)倍數(shù)。這些零點(diǎn)和極點(diǎn)中當(dāng)然可以有重零點(diǎn)和重極點(diǎn)。

零點(diǎn)和極點(diǎn)是控制理論中重要的概念，它們?cè)诳刂葡到y(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)中有著重要的作用。二、傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)§2-3傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-3傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)三、基本環(huán)節(jié)(又稱典型環(huán)節(jié))的傳遞函數(shù)

幾點(diǎn)重要說(shuō)明：根據(jù)元件的功能來(lái)研究元件，如測(cè)量、放大、執(zhí)行元件等，主要用于研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、組成、控制原理2.按照運(yùn)動(dòng)方程式將元件或系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，主要用于建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，研究系統(tǒng)的特性一個(gè)系統(tǒng)可看作由一些基本環(huán)節(jié)組成，能組成獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)方程式的部分便稱為環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)可以是一個(gè)元件，也可以是一個(gè)元件的一部分或由幾個(gè)元件組成，而方程的系數(shù)僅與該環(huán)節(jié)元件的參數(shù)有關(guān)，與其它環(huán)節(jié)無(wú)關(guān)，有時(shí)稱為“單向元件”環(huán)節(jié)。第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-3傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1、比例環(huán)節(jié)（又稱放大環(huán)節(jié)）p1p0F輸出量與輸入量成正比的環(huán)節(jié)稱為比例環(huán)節(jié)。即

經(jīng)拉氏變換后

故比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為如一個(gè)理想的電子放大器的放大系數(shù)或增益、齒輪傳動(dòng)的傳動(dòng)比均為比例環(huán)節(jié)。

(2-55)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-3傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)2、慣性環(huán)節(jié)（又稱非周期環(huán)節(jié)）ui(t)Ruo(t)i(t)C在這類環(huán)節(jié)中，因含有儲(chǔ)能元件，故對(duì)突變形式的輸入信號(hào)，不能立即輸送出去。其微分方程為

對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，求得慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為式中K──放大系數(shù)；

T──時(shí)間常數(shù)。

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-3傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)3、微分環(huán)節(jié)xQ1Q2輸出正比于輸入的微分的環(huán)節(jié)，稱微分環(huán)節(jié)，即其傳遞函數(shù)為

——微分時(shí)間常數(shù)

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-3傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)4、積分環(huán)節(jié)qq2x輸出正比于輸入的積分的環(huán)節(jié)稱積分環(huán)節(jié)，即其傳遞函數(shù)為

T

——積分時(shí)間常數(shù)

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-3傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)5、振蕩環(huán)節(jié)在這類環(huán)節(jié)含有兩種儲(chǔ)能元件，在信號(hào)傳遞過(guò)程中，因能量的的轉(zhuǎn)換而使其輸出帶有振蕩的性質(zhì)，其微分方程為

對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，求得振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為式中n──無(wú)阻尼固有頻率

──阻尼比

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-3傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)6、一階微分環(huán)節(jié)7、二階微分環(huán)節(jié)描述該環(huán)節(jié)輸出、輸入間的微分方程具有如下形式

其傳遞函數(shù)為描述該環(huán)節(jié)輸出、輸入間的微分方程具有如下形式

其傳遞函數(shù)為第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-3傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)8、延時(shí)環(huán)節(jié)X(t)X(t-)該環(huán)節(jié)的輸出滯后輸入時(shí)間后不失真地復(fù)現(xiàn)輸入，其數(shù)學(xué)描述式為

其傳遞函數(shù)為第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-4方框圖及其簡(jiǎn)化

框圖(BlockDiagram)是系統(tǒng)中各個(gè)元件功能和信號(hào)流向的圖解表示，又稱為方塊圖。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律系統(tǒng)的線性化微分方程求解微分方程系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)方塊圖求解拉氏反變換求解拉氏反變換第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-4方框圖及其簡(jiǎn)化一、方框圖單元、比較點(diǎn)和引出點(diǎn)引出點(diǎn):引出點(diǎn)表示信號(hào)引出和測(cè)量的位置，同一位置引出的幾個(gè)信號(hào)，在大小和性質(zhì)上完全一樣。

方塊圖單元G(s)輸入R(s)輸出X(s)比較點(diǎn):比較點(diǎn)代表兩個(gè)或兩個(gè)以上的輸入信號(hào)進(jìn)行相加或相減的元件，或稱比較器。箭頭上的“+”或“－”表示信號(hào)相加或相減，相加減的量應(yīng)具有相同的量綱。

輸入R(s)輸出E(s)=R(s)-B(s)輸入B(s)C(s)C(s)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-4方框圖及其簡(jiǎn)化二、系統(tǒng)構(gòu)成方式及運(yùn)算法則系統(tǒng)各環(huán)節(jié)之間一般有三種基本連接方式，串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接，方塊圖運(yùn)算法則是求取方塊圖不同連接方式下等效傳遞函數(shù)的方法。1、串聯(lián)連接由串聯(lián)環(huán)節(jié)所構(gòu)成的系統(tǒng)，當(dāng)無(wú)負(fù)載效應(yīng)影響時(shí)，它的總傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。當(dāng)系統(tǒng)由n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)而成時(shí)，總傳遞函數(shù)為

(2-56)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-4方框圖及其簡(jiǎn)化2、并聯(lián)連接并聯(lián)環(huán)節(jié)所構(gòu)成的總傳遞函數(shù)，等于各并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之和/差。C1(s)G(s)R(s)C(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C2(s)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-4方框圖及其簡(jiǎn)化3、反饋連接

反饋，是將系統(tǒng)或某一環(huán)節(jié)的輸出量，全部或部分地通過(guò)反饋回路回輸?shù)捷斎攵?，又重新輸入到系統(tǒng)中去。即輸出對(duì)輸入有影響。反饋與輸入相加的稱為“正反饋”，與輸入相減的稱為“負(fù)反饋”。R(s)E(s)B(s)G(s)H(s)C(s)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-4方框圖及其簡(jiǎn)化整個(gè)閉環(huán)傳遞函數(shù)是由前向傳遞函數(shù)和開環(huán)傳遞函數(shù)構(gòu)成。式中，當(dāng)為負(fù)反饋時(shí)取“+”，正反饋時(shí)取“-”。閉環(huán)傳遞函數(shù)：輸出信號(hào)與輸入信號(hào)之比前向傳遞函數(shù)：輸出信號(hào)與偏差信號(hào)之比反饋傳遞函數(shù)：反饋信號(hào)與輸出信號(hào)之比開環(huán)傳遞函數(shù)：反饋信號(hào)與偏差信號(hào)之比第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-4方框圖及其簡(jiǎn)化三、方框圖變換法則1.比較點(diǎn)前移/后移AG-BABG(s)AG1/G(s)AAG-BBG(s)A-B/GA