第2章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

現(xiàn)實(shí)生活中完全對(duì)立的矛盾狀態(tài)的實(shí)例邏輯變量X取值所代表的具體含義01速度的“快”與“慢”“慢”（小于100公里/小時(shí)）“快”（大于200公里/小時(shí)）面積的“大”與“小”“小”（小于10平方米）“大”（大于20平方米）人類行為的“非”與“是”“非”“是”某件事情的“真”與“假”“假”“真”信號(hào)的“有”與“無”“無”“有”開關(guān)的“斷”與“通”“斷”“通”燈泡的“滅”與“亮”“滅”“亮”電位的“高”與“低”“低”“高”電容器的“放電”與“充電”“放電”“充電”晶體三極管的“截止”與“導(dǎo)通”“導(dǎo)通”“截止”邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)就是研究上述因果關(guān)系問題的一個(gè)數(shù)學(xué)分支邏輯代數(shù)：LogicAlgebra開關(guān)函數(shù)：SwitchFunction布爾代數(shù)：BooleanAlgebra以上是邏輯代數(shù)的不同名稱本章研究?jī)?nèi)容：公理、定理、各種表達(dá)方式、化簡(jiǎn)方法等是本門課程的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，必須掌握邏輯“與”運(yùn)算燈泡F有兩個(gè)狀態(tài)：亮、滅開關(guān)A、B也有兩個(gè)狀態(tài)：通、斷燈泡F的狀態(tài)受開關(guān)A、B的狀態(tài)控制設(shè)燈泡亮為狀態(tài)1，滅為狀態(tài)0開關(guān)通為狀態(tài)1，斷為狀態(tài)0則有該真值表定義了一個(gè)邏輯關(guān)系~ABF

A

B

F00001010 0111真值表Truthtable邏輯函數(shù)A、B為邏輯自變量、邏輯變量，又稱為輸入變量、輸入F為邏輯因變量、是A、B的邏輯函數(shù)，輸出變量、輸出與數(shù)學(xué)中的函數(shù)的區(qū)別：可以枚舉所有輸入變量組合：兩輸入變量共有4種組合，均列入真值表中n輸入變量共有2n種組合真值表定義了所有輸入組合所對(duì)應(yīng)的輸出值A(chǔ)

B

F00001010 0111真值表邏輯“與”運(yùn)算真值表定義了邏輯“與”（AND）運(yùn)算：“全1出1”，或“有0出0”邏輯表達(dá)式：F=A∧B=A∩B=A&B=A?B=AB邏輯符號(hào)：波形圖（低電平為邏輯0，高電平為邏輯1）：A

B

F00001010 0111真值表ABFBAF幾種表達(dá)方式?五種表達(dá)方式,表示的是同一個(gè)邏輯關(guān)系由一種表達(dá)方式應(yīng)能得到任意其它方式邏輯“或”運(yùn)算仍假設(shè)設(shè)燈泡亮為狀態(tài)1，滅為狀態(tài)0；開關(guān)通為狀態(tài)1，斷為狀態(tài)0則得真值表該表定義了邏輯“或”（OR）運(yùn)算：“有1出1”，或“全0出0”A

B

F00001110 1111真值表~ABF邏輯“或”運(yùn)算真值表邏輯表達(dá)式：F=A∨B=A∪B=A|B=A+B邏輯符號(hào)：波形圖A

B

F00001110 1111ABFBAF邏輯“非”運(yùn)算仍假設(shè)設(shè)燈泡亮為狀態(tài)1，滅為狀態(tài)0；開關(guān)通為狀態(tài)1，斷為狀態(tài)0則得真值表該表定義了邏輯“非”（NOT）運(yùn)算：對(duì)輸入變量求反，“入1出0”，“入0出1”邏輯表達(dá)式：F=A邏輯符號(hào)：波形圖略ARF~AF0110真值表FA基本邏輯運(yùn)算與、或、非五種描述方法：運(yùn)算名稱、真值表、邏輯表達(dá)式、邏輯符號(hào)、波形圖正、負(fù)邏輯前面假設(shè)高電平為狀態(tài)1，低電平為狀態(tài)0，得到的邏輯關(guān)系為正邏輯由真值表知，這是“與”如果設(shè)高電平為狀態(tài)0，低電平為狀態(tài)1，則得到負(fù)邏輯該真值表是或邏輯，稱為“負(fù)或”“負(fù)或”的邏輯符號(hào)：同一電路,兩種真值表,如何解釋除特殊說明，本課程采用正邏輯，即高電平為邏輯1，低電平為邏輯0A

B

F11110101 1000真值表ABFA

B

FLLLLHLHL LHHH電平關(guān)系表A

B

F00001010 0111一般邏輯函數(shù)一般的邏輯函數(shù)由“與”、“或”、“非”這三種基本邏輯運(yùn)算組合而成如：F=A+B（C+D）邏輯運(yùn)算的優(yōu)先級(jí)：非、與、或邏輯代數(shù)公理

0?0=0 0+0=00?1=1?0=0 1+0=0+1=11?1=1 1+1=11=0 0=1基本定律

自等律 A?1=A A+0=A0-1律 A?0=0 A+1=1互補(bǔ)律 A?A=0 A+A=1交換律 A?B=B?A A+B=B+A結(jié)合律 (AB)C=A(BC) (A+B)+C=A+(B+C)分配律 A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)基本定律(續(xù))重疊律 AA=A A+A=A反演律 AB=A+B A+B=AB還原律 A=A基本定律的證明用真值表證明關(guān)系式，是最基本，也是最根本的證明方法反演律[又稱狄摩根（DE?MORGAN）定理]的證明：AB=A+B左邊的真值表等于右邊的真值表所以二者相等ABABABABA+B0001111010110110010111110000如果兩個(gè)函數(shù)的真值表相同，則稱它們等價(jià)或相等三個(gè)重要規(guī)則

代入規(guī)則反演規(guī)則對(duì)偶規(guī)則代入規(guī)則代入規(guī)則：任何一個(gè)邏輯等式，如果將等式兩邊所出現(xiàn)的同一個(gè)邏輯變量都代之以同一個(gè)邏輯表達(dá)式，則該邏輯等式仍然成立代入規(guī)則也叫代入定理邏輯代數(shù)的代入規(guī)則和普通代數(shù)的代入規(guī)則的形式類似如果A+B=A+C，則(D+E)+B=(D+E)+C如果將等式兩端的相同變量代以相同的表達(dá)式，則相等關(guān)系仍然成立反演律反演律的擴(kuò)展：AB=A+BABC=A+BC=A+B+CA+B=ABA+B+C=ABC同理，反演律可擴(kuò)展到n變量反函數(shù)ABFG0001011010101110F=A+BG=A+B=FG為或非運(yùn)算G與F互補(bǔ)(反)反函數(shù)若兩個(gè)邏輯函數(shù)F和G的輸入變量相同，而且F和G對(duì)于任意的一組輸入變量取值都有相反的函數(shù)值，則稱這兩個(gè)函數(shù)互反（或稱互補(bǔ)），記作：F=G或G=FG叫做F的反函數(shù)（或補(bǔ)函數(shù)）；而F(或)也叫G的反函數(shù)（或補(bǔ)函數(shù)），F(xiàn)和G互為反函數(shù)注意：這里所說的“反函數(shù)”概念與普通代數(shù)里的反函數(shù)概念是不一樣的反演規(guī)則如果將F中的

?+，+?

10，01AA，AA則得到F的反函數(shù)F利用反演律可直接求出一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)反演規(guī)則對(duì)于任意的邏輯函數(shù)F，如果把F的表達(dá)式中所有的“·”運(yùn)算符換成“+”運(yùn)算符，同時(shí)把所有的“+”運(yùn)算符換成“·”運(yùn)算符把F的原表達(dá)式中所有的邏輯常量“0”換成邏輯常量“1”，而把所有的邏輯常量“1”換成邏輯常量“0”把F的原表達(dá)式中所有的原變量換成反變量，再把所有的反變量換成原變量。則由此所得到的新的邏輯表達(dá)式就是邏輯函數(shù)F的反函數(shù)的邏輯表達(dá)式反演規(guī)則的應(yīng)用設(shè)F=AB+(A+C)(C+DE)則F=(A+B)[AC+C(D+E)]直接求F時(shí)應(yīng)注意:絕對(duì)不能打亂原表達(dá)式(F)的運(yùn)算順序；不屬于單變量上的非號(hào)應(yīng)保持不變。設(shè)F=A+B+C則F=ABC對(duì)偶如果將邏輯函數(shù)F中的

?+，+?

10，01則得到F的對(duì)偶函數(shù)F＇與反演律的區(qū)別是不需對(duì)變量求反設(shè)F=AB+(A+C)(C+DE)則F’=(A+B)[AC+C(D+E)]對(duì)偶對(duì)于任意的邏輯函數(shù)F，如果把原表達(dá)式中所有的“·”運(yùn)算符換成“+”運(yùn)算符，同時(shí)把所有的“+”運(yùn)算符換成“·”運(yùn)算符；把原表達(dá)式中所有的邏輯常量“0”換成邏輯常量“1”，而把所有的邏輯常量“1”換成邏輯常量“0”；則由此所得到的新邏輯表達(dá)式就是原邏輯函數(shù)F表達(dá)式的對(duì)偶式（對(duì)偶函數(shù)），記作：F＇。對(duì)偶律對(duì)偶律：如果兩個(gè)函數(shù)相等，則它們的對(duì)偶函數(shù)（對(duì)偶式）也相等既：如果F=G,則F＇=G＇對(duì)偶律的應(yīng)用：證明關(guān)系式、化簡(jiǎn)函數(shù)等已知AB+AB=A兩邊取對(duì)偶，則(A+B)(A+B)=A與或式或與式基本定理

合并定理AB+AB=A (A+B)(A+B)=A吸收定理A+AB=A A(A+B)=A A+AB=A+B A(A+B)=AB添加項(xiàng)定理AB+AC+BC=AB+AC (A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)AB+AC=AB+AC (A+B)(A+C)=(A+B)(A+C)基本定理的證明添加項(xiàng)定理AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC =AB+ABC+AC+ABC =AB(1+C)+AC(1+B) =AB+ACAB+AC+BCDEFG=?基本定理的證明AB+AC=AB+ACAB+AC=(A+B)(A+C) =A(A+C)+B(A+C) =AA+AC+AB+BC =0+AB+AC+BC =AB+AC常用復(fù)合邏輯運(yùn)算“與非”：F=AB“或非”：F=A+B“與或非”運(yùn)算：F=AB+CDABFABFFABCDFABCD常用復(fù)合邏輯運(yùn)算與非、或非、與或非是最常用、最重要的復(fù)合運(yùn)算做一下它們的真值表。異或運(yùn)算表達(dá)式：F=A⊕B=AB+AB相異時(shí)輸出1，相同時(shí)輸出0邏輯符號(hào)特性：0⊕0=0，0⊕1=1⊕0=1，1⊕1=0，A⊕A=0，A⊕A=10⊕A=A，1⊕A=A，可用做可控反相器A

B

F00001110 1110真值表F=ACtrlA，Ctrl=0A，Ctrl=1同或運(yùn)算表達(dá)式：F=A⊙B=AB+AB相同時(shí)輸出1，相異時(shí)輸出0邏輯符號(hào)特性：0⊙0=1，0⊙1=1⊙0=0，1⊙1=1，A⊙A=1，A⊙A=00⊙A=A，1⊙A=A，也可用做可控反相器A

B

F00101010 0111真值表F=ACtrlA，Ctrl=1A，Ctrl=0異或、同或運(yùn)算的關(guān)系A(chǔ)⊕B=AB+AB=(A+B)(A+B)=AB+AB=A⊙B(A⊕B)'=(AB+AB)'=(A+B)(A+B)=A⊙B可見，異或、同或運(yùn)算互為反函數(shù)，也互為對(duì)偶函數(shù)一般情況下，一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)和對(duì)偶函數(shù)不相等A⊕B=AB+AB=(A+B)(A+B)A⊙B=AB+AB=(A+B)(A+B)與或式或與式與或式:何時(shí)取1?或與式:何時(shí)取0?異或、同或運(yùn)算的規(guī)律二者均滿足交換律、結(jié)合律和分配律：A⊕B=B⊕A A⊙B=B⊙AA⊕B⊕C=A⊕(B⊕C) A⊙B⊙C=A⊙(B⊙C)A(B⊕C)=AB⊕AC A+(B⊙C)=(A+B)⊙(A+C)異或運(yùn)算分配律的證明A(B⊕C)=AB⊕ACA(B⊕C)=A(BC+BC)=ABC+ABCAB⊕AC=ABAC+ABAC =AB(A+C)+(A+B)AC =AAB+ABC+AAC+ABC =ABC+ABC左邊=右邊多變量異或運(yùn)算A⊕B⊕C…異或邏輯門只有兩個(gè)輸入端多變量異或要用多個(gè)邏輯門實(shí)現(xiàn)CABF多變量異或運(yùn)算的特性I根據(jù)1⊕1=0，0⊕A=A，0⊕1=1多變量相異或，結(jié)果取決與1的個(gè)數(shù)：當(dāng)1的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)結(jié)果為1；而當(dāng)1的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)結(jié)果為0奇偶校驗(yàn)就是用異或門完成的多變量異或運(yùn)算的特性II如果 F=A1⊕A2⊕…⊕Ai⊕…

⊕An則F=A1⊕A2⊕…⊕Ai⊕…

⊕An依據(jù)：將F兩邊同時(shí)異或1，1⊕A=A多變量異或運(yùn)算的特性III“異或”運(yùn)算具有因果互換的關(guān)系。即，等式兩邊的邏輯變量可以互相交換位置而仍然保持等式的成立例如：若A=B⊕C成立則B=A⊕C成立證明：原式兩邊同時(shí)異或CC=A⊕B也成立多變量同或運(yùn)算的特性I根據(jù)0⊙0=1，1⊙A=A，0⊙1=0有多變量相同或，結(jié)果取決與0的個(gè)數(shù)：當(dāng)0的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)結(jié)果為0；而當(dāng)0的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)結(jié)果為1多變量同或運(yùn)算的特性II如果 F=A1⊙A2⊙…⊙Ai⊙…⊙An則 F=A1⊙A2⊙…⊙Ai⊙…⊙An依據(jù)：將F兩邊同時(shí)同或0，0⊙A=A多變量異或運(yùn)算的特性III“同或”運(yùn)算具有因果互換的關(guān)系。即，等式兩邊的邏輯變量可以互相交換位置而仍然保持等式的成立例如：若A=B⊙C成立則B=A⊙C成立證明：將上式兩邊同時(shí)同或C或C=A⊙B也成立多變量異或、同或運(yùn)算的關(guān)系設(shè)F=A1⊕A2⊕…⊕Ai⊕…⊕AnG=A1⊙A2⊙…⊙Ai⊙…⊙An則當(dāng)n=偶數(shù)時(shí)F=G，當(dāng)n=奇數(shù)時(shí)F=G多變量異或、異或運(yùn)算的關(guān)系當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)：如果F=1，則表明輸入變量中有奇數(shù)個(gè)1那么就有奇數(shù)個(gè)0，所以G=0如果F=0，則表明輸入變量中有偶數(shù)個(gè)1那么就有偶數(shù)個(gè)0，所以G=1所以F=G多變量異或、異或運(yùn)算的關(guān)系當(dāng)n=奇數(shù)時(shí)：如果F=1，則表明輸入變量中有奇數(shù)個(gè)1那么就有偶數(shù)個(gè)0，所以G=1如果F=0，則表明輸入變量中有偶數(shù)個(gè)1那么就有奇數(shù)個(gè)0，所以G=0所以F=G復(fù)合邏輯運(yùn)算的完備性

集成電路發(fā)展的早期，各種門電路五花八門，給設(shè)計(jì)電路帶來許多麻煩人們希望用盡可能少種類的門去完成盡可能多的邏輯功能，這樣設(shè)計(jì)電路時(shí)只需采購一種集成電路即可“與非”、“或非”及“與或非”三種復(fù)合邏輯運(yùn)算都可獨(dú)立完成所有邏輯運(yùn)算（功能），所以說它們是完備的與非運(yùn)算的完備性F1=AB=AB=ABAB=AB1F2=A+B=A+B=AB=AABB=A1B1F3=A=A1=AAABF1AAF3A1F3AAF2BBA1F2B1ABF111個(gè)邏輯函數(shù)可寫成不同的形式邏輯函數(shù)形式不同電路形式也不同不用輸入端的處理與非運(yùn)算的完備性上例說明：只用與非門可以單獨(dú)完成三種基本邏輯運(yùn)算，從而可以完成所有邏輯運(yùn)算（以后講）邏輯門多余輸入端的處理方法或非門的完備性見教材P29與或非門的完備性做練習(xí)P78，2-20最小項(xiàng)（minterm）

在n個(gè)輸入變量函數(shù)中，如果其中的一項(xiàng)滿足：是與項(xiàng)包含所有輸入變量每個(gè)輸入變量或以原變量的形式出現(xiàn)，或以反變量的形式出現(xiàn)，且只出現(xiàn)一次則該項(xiàng)稱為最小項(xiàng)例如：三變量函數(shù)中ABC，ABC，ABC是最小項(xiàng)而ABCA，AB，AC，B則不是最小項(xiàng)三變量最小項(xiàng)No.ABCABCABCABCABCABCABCABCABC000010000000100101000000201000100000301100010000410000001000510100000100611000000010711100000001最小項(xiàng)特點(diǎn)n變量函數(shù)共有2n個(gè)最小項(xiàng)對(duì)于任意的一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組輸入變量的取值使得它的值為“1”，而在其它各組變量取值時(shí)，這個(gè)最小項(xiàng)的值都是“0”最小項(xiàng)不同，使得它的值為“1”的那一組變量的取值也不同使得某一個(gè)最小項(xiàng)的值為“1”的那組輸入變量取值為該最小項(xiàng)中的原變量取“1”、反變量取“0”最小項(xiàng)如果將輸入變量取值按ABC順序排列（原變量取1，反變量取0），則組成一個(gè)二進(jìn)制數(shù)當(dāng)輸入變量按此二進(jìn)制數(shù)取值時(shí)使最小項(xiàng)為1ABC000，ABC001，ABC010，ABC011，ABC100，ABC101，ABC110，ABC111記ABC為m0，ABC為m1，ABC為m2，ABC為m3，ABC為m4，ABC為m5，ABC為m6，ABC為m7，最小項(xiàng)雖然“與”運(yùn)算中邏輯變量的順序無關(guān)，但在使用最小項(xiàng)時(shí)變量順序不能改變m4=ABC BAC=m?這就要求寫函數(shù)時(shí)，要表明變量順序F(A,B,C)以后在處理最小項(xiàng)時(shí)可只寫mi，而不需再寫整個(gè)與項(xiàng)四變量m5=ABCD五變量m5=ABCDE最小項(xiàng)性質(zhì)每一個(gè)最小項(xiàng)僅和一組變量取值相對(duì)應(yīng)，只有在該組取值下這個(gè)最小項(xiàng)的值才為“1”，而在其它的取值下它都為“0”n個(gè)變量的任意兩個(gè)不同最小項(xiàng)的乘積（相“與”）恒為“0”，即：mi?mj=0，其中i≠jn個(gè)變量的全體最小項(xiàng)之和（相“或”）恒為“1”，即：∑mi=1,i=0,1…2n-1最大項(xiàng)（maxterm）在n個(gè)輸入變量函數(shù)中，如果其中的一項(xiàng)滿足：是或項(xiàng)包含所有輸入變量每個(gè)輸入變量或以原變量的形式出現(xiàn)，或以反變量的形式出現(xiàn)，且只出現(xiàn)一次則該項(xiàng)稱為最大項(xiàng)例如：三變量函數(shù)中A+B+C，A+B+C，A+B+C是最大項(xiàng)而A+B+CA，A+B，A+C，B則不是最大項(xiàng)三變量最大項(xiàng)No.ABCA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+C000011111110100111111101201011111011301111110111410011101111510111011111611010111111711101111111最大項(xiàng)特點(diǎn)n變量函數(shù)共有2n個(gè)最大項(xiàng)對(duì)于任意的一個(gè)最大項(xiàng)，只有一組變量的取值使得它的值為“0”，而在其它變量各組取值時(shí)，這個(gè)最大項(xiàng)的值都是“1”最大項(xiàng)不同，使得它的值為“0”的那一組變量的取值也不同使得某一個(gè)最大項(xiàng)的值為“0”的那組變量取值為該最大項(xiàng)中的原變量取“0”、反變量取“1”最大項(xiàng)如果將輸入變量取值按ABC順序排列，則組成一個(gè)二進(jìn)制數(shù)其中一組變量取值最大項(xiàng)為0A+B+C111，A+B+C110，A+B+C101，A+B+C100，A+B+C011，A+B+C010，A+B+C001，A+B+C000M7=A+B+C，M6=A+B+C，M5=A+B+C，M4=A+B+C，M3=A+B+C，M2=A+B+C，M1=A+B+C，M0=A+B+C最大項(xiàng)雖然與運(yùn)算中邏輯變量的順序無關(guān)，但在使用最大項(xiàng)時(shí)變量順序不能改變M4=A+B+C B+A+C=M?以后遇到最大項(xiàng)時(shí)可只寫Mi，而不需再寫整個(gè)或項(xiàng)四變量M5=A+B+C+D五變量M5=A+B+C+D+E最大項(xiàng)性質(zhì)每一個(gè)最大項(xiàng)僅和一組變量取值相對(duì)應(yīng)，只有在該組取值下這個(gè)最大項(xiàng)的值才為“0”，而在其它的取值下它都為“1”n個(gè)變量的任意兩個(gè)不同最大項(xiàng)的和（相“或”）恒為“1”，即：Mi+Mj=1，其中i≠jn個(gè)變量的全體最大項(xiàng)之積（相“與”）恒為“0”，即：∏Mi=0,i=0,1…2n-1最小項(xiàng)與最大項(xiàng)的關(guān)系變量相同且編號(hào)相同的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)之間，存在著互補(bǔ)的關(guān)系即：Mi=mi或：mi=Mi例：對(duì)于4變量函數(shù)有M5=A+B+C+D=A+B+C+D=ABCD=m5m13=ABCD=ABCD=A+B+C+D=M13標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式一個(gè)函數(shù)可以有許多種邏輯表達(dá)式如：F=AB+AC+BC=AB+AC =(AB+AC)’’=[(A+B)(A+C)]’ =(AB+AC+BC)’=(AB+AC)’ =(A+B)(A+C)=…可否定義一種唯一的形式？這就是最小項(xiàng)之和（或）式和最大項(xiàng)之積（與）式任一邏輯函數(shù)均可寫成唯一的最小項(xiàng)之和式或最大項(xiàng)之積式最小項(xiàng)之和式F(A,B,C)=ABC+ABC+ABC =m2+m5+m6 =∑m(2,5,6) =∑(2,5,6)F(A,B,C)=m0+m1+m3+m4+m7 =∑m(0,1,3,4,7) =∑(0,1,3,4,7)No.ABCF0000010010201013011041000510116110171110最小項(xiàng)之和式F(A,B,C)=AB+AC =AB(C+C)+A(B+B)C =ABC+ABC+ABC+ABC =∑m(1,3,6,7)=∑(1,3,6,7)F(A,B,C)=∑(0,2,4,5)最小項(xiàng)之和式F(A,B,C)=AB+AC=∑m(1,3,6,7)=∑(1,3,6,7)F(A,B,C)=∑(0,2,4,5)最小項(xiàng)之和式真值表邏輯函數(shù)的與或式真值表反函數(shù)的最小項(xiàng)之和式No.ABCF0000010011201003011141000510106110171111標(biāo)準(zhǔn)與或式（最小項(xiàng)之和式）一個(gè)邏輯函數(shù)的表示形式有若干種如果一個(gè)函數(shù)F的形式為若干個(gè)最小項(xiàng)相“加”（相“或”），則稱這種形式為F的最小項(xiàng)之和式，又稱為標(biāo)準(zhǔn)“與或”式

最小項(xiàng)之和式與真值表F(A,B,C)=∑(1,3,6,7)在真值表中F=1所對(duì)應(yīng)的編號(hào)出現(xiàn)在最小項(xiàng)之和式中最小項(xiàng)之和式表明：當(dāng)輸入中出現(xiàn)這些變量取值組合之一時(shí)，F(xiàn)=1；否則F=0由真值表可方便地寫出最小項(xiàng)之和式；反之亦然最小項(xiàng)之和式又稱標(biāo)準(zhǔn)與或式一個(gè)邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和式是唯一的No.ABCF0000010011201003011141000510106110171111最大項(xiàng)之積式F(A,B,C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) =M2M5M6 =∏M(2,5,6) =∏(2,5,6)F(A,B,C)=∑(0,1,3,4,7)F(A,B,C)=∑(2,5,6)F(A,B,C)=∏(0,1,3,4,7)No.ABCF0000110011201003011141001510106110071111最大項(xiàng)之積式F(A,B,C)=(A+B)(A+C) =(A+B+CC)(A+BB+C) =(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) =∏(0,1,4,6)最大項(xiàng)之積式F(A,B,C)=(A+B)(A+C)=∏(0,1,4,6)=∑(2,3,5,7)F(A,B,C)=∏(2,3,5,7)=∑(0,1,4,6)No.ABCF0000010010201013011141000510116110071111標(biāo)準(zhǔn)或與式（最大項(xiàng)之積式）一個(gè)邏輯函數(shù)的表示形式有若干種如果一個(gè)函數(shù)F的形式為若干個(gè)最大項(xiàng)相“乘”（相“與”），則稱這種形式為F的最大項(xiàng)之積式，又稱為標(biāo)準(zhǔn)“或與”式

最大項(xiàng)之積式與真值表F(A,B,C)=∏(0,2,4,5)在真值表中F=0所對(duì)應(yīng)的編號(hào)出現(xiàn)在最大項(xiàng)之積式中最大項(xiàng)之積式表明：當(dāng)輸入中出現(xiàn)這些變量取值組合之一時(shí)，F(xiàn)=0；否則F=1由真值表可方便地寫出最大項(xiàng)之積式；反之亦然最大項(xiàng)之積式又稱標(biāo)準(zhǔn)或與式一個(gè)邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)之積式是唯一的No.ABCF0000010011201003011141000510106110171111兩種標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式之間的關(guān)系

設(shè)F=∑(1,3,6,7)F+F=1根據(jù)最小項(xiàng)性質(zhì)：∑mi=1而F=∑(1,3,6,7)所以F=∑(0,2,4,5)所以F=∑(0,2,4,5)=m0+m2+m4+m5 =m0m2m4m5=M0M2M4M5=∏(0,2,4,5)所以F=∑(1,3,6,7)=∏(0,2,4,5)兩種標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式之間的關(guān)系n變量函數(shù)的最小項(xiàng)、最大項(xiàng)的標(biāo)號(hào)均是0~2n-1n變量函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式中的標(biāo)號(hào)互補(bǔ)：0~2n-1共2n個(gè)標(biāo)號(hào)中，不在最小項(xiàng)之和式中，就在最大項(xiàng)之積式中；反之亦然反函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式設(shè)F=∑(1,3,6,7)根據(jù)F+F=1，知F=∑(0,2,4,5)另一方面：F=∑(1,3,6,7)=∏(1,3,6,7)由此知，給定Ｆ，可直接寫出Ｆ的兩種標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式還可直接寫出Ｆ的兩種標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)

F=AB+AC+BC=AB+AC化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)帶來的好處：實(shí)現(xiàn)同一個(gè)邏輯關(guān)系可節(jié)省門、減少輸入端數(shù)，提高電路的經(jīng)濟(jì)性、穩(wěn)定性ABFACBCABFAC邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)集成電路發(fā)展的早期，有與非門、或非門、與或非門等系列產(chǎn)品由于它們的完備性，只用它們當(dāng)中的一種即可實(shí)現(xiàn)任意邏輯函數(shù)使用中規(guī)模集成電路實(shí)現(xiàn)函數(shù)，多使用標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式現(xiàn)代可編程器件中則更多使用與或（加反相器）實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)所以化簡(jiǎn)函數(shù)應(yīng)該向這些方向進(jìn)行邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)經(jīng)常需要將函數(shù)化簡(jiǎn)為下列五種形式之一“與或”表達(dá)式：F=AB+AD“或與”表達(dá)式：F=(A+B)(C+D)“與非-與非”表達(dá)式：F=ABCD“或非-或非”表達(dá)式：F=A+B+C+D“與或非”表達(dá)式：F=AB+CD這是我們的基本技能之一，必須熟練掌握邏輯圖CABDF=AB+CDABDCF=(A+B)(C+D)ABCDF=AB+CD第一級(jí)第二級(jí)兩級(jí)結(jié)構(gòu)邏輯圖AF=ABCDF=(A+B)+(C+D)BCDABCD邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)

代數(shù)法化簡(jiǎn)法卡諾圖化簡(jiǎn)法系統(tǒng)化簡(jiǎn)法，可用機(jī)器去做與或式的代數(shù)法化簡(jiǎn)F=ACD+ACD+ABC+ABD+ABD+BCD=ACD+ACD+ABC+AB+BCD=ACD+ACD+AB+BCD=ACD+ACD+AB+ABCD+ABCD=ACD+AC(D+BD)+AB=ACD+AC(D+B)+AB=ACD+ACD+ABC+AB=ACD+ACD+BC+AB與或式的代數(shù)法化簡(jiǎn)

ABBDCD+BC+ABD+A+CD=(AB+BD+CD)(B+C)+A(BDA)+C+D=BD+BCD+ABC+BCD+CD+C+D=B+AB+1+C=1化簡(jiǎn)為‘與非-與非’式將函數(shù)化簡(jiǎn)為與或式求兩次反去掉一次反F=AB+CDE=AB+CDE=ABCDE熟悉過程以后，中間一步可省略或與式的化簡(jiǎn)

直接利用或與式的關(guān)系式利用比較熟悉的與或式關(guān)系將F’化簡(jiǎn)為與或式，將化簡(jiǎn)結(jié)果再求對(duì)偶F=(A+B)(A+B+C)(A+C)(B+C+D)F’=AB+ABC+AC+BCD=AB+AC+BCD=AB+ACF=(A+B)(A+C)化簡(jiǎn)為‘或非-或非’式

將函數(shù)化簡(jiǎn)為或與式求兩次反去掉一次反F=(A+B)(C+D+E)=(A+B)(C+D+E)=A+B+C+D+E熟悉過程以后，中間一步可省略化簡(jiǎn)為‘與或非’式I將F化簡(jiǎn)為或與式F=(A+B)(C+D+E)兩邊取反得F=AB+CDE兩邊再取反得F=AB+CDE化簡(jiǎn)為‘與或非’式II將F化簡(jiǎn)為與或式F=AB+CDE兩邊取反得F=AB+CDE化簡(jiǎn)函數(shù)為五種最簡(jiǎn)形式舉例F=(A+C+D)(B+C)(A+B+D)(B+C)(B+C+D)令G=(A+C+D)(B+C)(A+B+D)(B+C)(B+C+D)則G’=ACD+BC+ABD+BC+BCD =ACD+BC+ABD =CB+CAD+BAD =BC+ACD所以G=(B+C)(A+C+D)化簡(jiǎn)函數(shù)為五種最簡(jiǎn)形式舉例F=G=(B+C)(A+C+D)=AB+AC+BC+0+BD+CD=AC+BC+CDF的與或式F=AC+BC+CD F的與或非式

=(A+C)(B+C)(C+D) F的或與式

=A+C+B+C+C+D F的或非-或非式F=G=(B+C)(A+C+D)=BC+ACDF的與或式

=BCACD F的與非-與非式化簡(jiǎn)函數(shù)為五種最簡(jiǎn)形式舉例F=(A+C+D)(B+C)(A+B+D)(B+C)(B+C+D)=ACD+BC+ABD+BC+BCD=BC+ACD F的與或式

=BCACD F的與非-與非式F=BC+ACD小結(jié)如果求最簡(jiǎn)“與或”式(“與非-與非”式)，先求F的最簡(jiǎn)與或式如果求最簡(jiǎn)“或與”式(“或非-或非”式)或者最簡(jiǎn)”與或非”式，則先求F的最簡(jiǎn)或與式小結(jié)F之最簡(jiǎn)“與或”式F之最簡(jiǎn)“與非—與非”式F之最簡(jiǎn)“與或”式F之最簡(jiǎn)“或與”式F之最簡(jiǎn)“或與”式F之最簡(jiǎn)“或非—或非”式F之最簡(jiǎn)“或與”式F之最簡(jiǎn)“與或”式F之最簡(jiǎn)“與或”式F之最簡(jiǎn)“與或非”式求一次反求反加非求反加非反演反演卡諾圖（KarnaughMap)邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)最終可歸結(jié)為AB+AB=AABC+ABC+ABC+ABC=AC+AC=A即邏輯相鄰項(xiàng)的合并如果能將邏輯相鄰轉(zhuǎn)換為幾何相鄰，則會(huì)給函數(shù)的化簡(jiǎn)帶來很大的方便卡諾圖就是這樣一個(gè)用于化簡(jiǎn)函數(shù)的工具卡諾圖的組成是：表示最小項(xiàng)的一些小方格卡諾圖的構(gòu)成m0m1m3m2F(A,B)AB兩變量卡諾圖高位低位A三變量卡諾圖m0m1m3m2F(A,B,C)ABm4m5m7m6CABABABABABCABCABCABCABCABCABCABC卡諾圖的構(gòu)成三變量卡諾圖m0m1m3m2F(A,B,C)ABm4m5m7m6C四變量卡諾圖m0m1m3m2F(A,B,C,D)ABm4m5m7m6C0000 0001 0010 00110100 0101 0110 01111000 1001 1010 10111100 1101 1110 1111m12m13m15m14m8m9m11m10D卡諾圖的構(gòu)成四變量卡諾圖m0m1m3m2F(A,B,C,D)ABm4m5m7m6Cm12m13m15m14m8m9m11m10Dm18m19m17m16m22m23m21m20m30m31m29m28m26m27m25m24五變量卡諾圖F(A,B,C,D,E)ABCDEE卡諾圖特點(diǎn)n變量函數(shù)的K圖有2n個(gè)小方格，每個(gè)小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)K圖中幾何位置相鄰的最小項(xiàng)在邏輯上也是相鄰的位于K圖上任何一行或一列的兩端上的小方格所代表的最小項(xiàng)在邏輯上是相鄰的對(duì)于變量個(gè)數(shù)大于四個(gè)的情形，僅用二維幾何空間的位置相鄰性已經(jīng)不能完全地表示最小項(xiàng)的邏輯相鄰性卡諾圖的畫法因?yàn)樽钚№?xiàng)的編號(hào)與變量順序有關(guān)，所以畫卡諾圖時(shí)要注意卡諾圖有多種畫法，只要熟悉一種即可。但其它畫法應(yīng)該能看懂不同畫法時(shí)，最小項(xiàng)編號(hào)的順序不同其它畫法BCA000111100013214576最小項(xiàng)之和式與卡諾圖F=∑(0,2,5,7,8,10,13,15)真值表與最小項(xiàng)之和式真值表與卡諾圖給定最小項(xiàng)之和式時(shí)，在對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)編號(hào)處填1即可F(A,B,C,D)ABCD1111111100000000最大項(xiàng)之積式與卡諾圖F=∏(0,2,5,7,8,10,13,15)真值表與最大項(xiàng)之積式真值表與卡諾圖給定最大項(xiàng)之積式時(shí)，在對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)編號(hào)處填0即可F(A,B,C,D)ABCD0000000011111111與或式與卡諾圖F=AB+CD+ACD每個(gè)與項(xiàng)中變量相交處填1將所有與項(xiàng)均填完即可如果一個(gè)格被覆蓋多次，只要填一次即可依據(jù)：只要有一個(gè)1，則結(jié)果為1F(A,B,C,D)ABCD

11111

1

11=∑(3,7,8,9,10,11,13,15）用此法可方便地得到標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式=∏

(0,1,2,4,5,6,12,14）或與式的卡諾圖F=(A+B)(C+D)(A+C+D)每個(gè)或項(xiàng)中變量相交處填0，注意原、反變量將所有與項(xiàng)均填完即可如果一個(gè)格被覆蓋多次，只要填一次即可依據(jù)：只要有一個(gè)0，則結(jié)果為0F(A,B,C,D)ABCD00000

000

最小項(xiàng)與卡諾圖m5=ABCDF(A,B,C,D)ABCD1

最大項(xiàng)與卡諾圖M5=A+B+C+DF(A,B,C,D)ABCD0

111111111111111其它形式表達(dá)式的卡諾圖如果函數(shù)是以其它的邏輯表達(dá)式的形式給出則可先將這些表達(dá)式變換為“與或”式或者“或與”式（根據(jù)實(shí)際情況而定）然后再填寫卡諾圖卡諾圖的性質(zhì)若F之K圖中所有的小格都填“1”，則F=1

若F之K圖中所有的小格都填“0”，則F=0F的卡諾圖

如果F之卡諾圖為K，則F的卡諾圖為KK為K中所有的“0”都換成“1”、“1”都換成“0”這是與真值表一致的00010100F(A,B,C)CAB11101011F(A,B,C)CABF1?F2的卡諾圖如果F1的卡諾圖為K1，F(xiàn)2的卡諾圖為K2則F1?F2的卡諾圖為K1?K2其中K1?K2為K1、K2中對(duì)應(yīng)小格相與所組成的新的卡諾圖F1?F2的卡諾圖10010111F1(A,B,C)CAB11101011F2(A,B,C)CAB10000011F1?F2CAB卡諾圖的或運(yùn)算如果F1的卡諾圖為K1，F(xiàn)2的卡諾圖為K2則F1+F2的卡諾圖為K1+K2其中K1+K2為K1、K2中對(duì)應(yīng)小格相或所組成的新的卡諾圖卡諾圖的異或運(yùn)算如果F1的卡諾圖為K1，F(xiàn)2的卡諾圖為K2則F1⊕F2的卡諾圖為K1⊕K2其中K1⊕

K2為K1、K2中對(duì)應(yīng)小格相異或所組成的新的卡諾圖卡諾圖化簡(jiǎn)法邏輯相鄰項(xiàng)可合并，同時(shí)削去一個(gè)變量例F(A,B,C)=m5+m7

=ABC+ABC =AC卡諾圖上代表最小項(xiàng)的方格是按邏輯相鄰排列的，故可以直接在卡諾圖上化簡(jiǎn)函數(shù)在卡諾圖上做一個(gè)卡諾圈，覆蓋兩個(gè)相鄰的“1”得：F(A,B,C)=AC，卡諾圈在A、C原變量處00000110F

(A,B,C)CAB卡諾圖化簡(jiǎn)法F(A,B,C)=ABC+ABC+ABC+ABC=AC+AC=C卡諾圈應(yīng)該盡可能的大01100110F

(A,B,C)CAB卡諾圖化簡(jiǎn)法F=ABDF(A,B,C,D)ABCD11

卡諾圖化簡(jiǎn)法F=ADF(A,B,C,D)AB11CD11

卡諾圖化簡(jiǎn)法F=BDF(A,B,C,D)ABCD1111卡諾圖化簡(jiǎn)為與或式F=AC+AC=AF=A卡諾圈應(yīng)盡可能大1F(A,B,C,D)AB1111CD111

卡諾圖化簡(jiǎn)為與或式F(A,B,C,D)=∑(1,2,3,5,6,7,13)=AC+AD+BCD卡諾圈必須為矩形每個(gè)卡諾圈所含項(xiàng)數(shù)必須為2i，消掉i

個(gè)變量每個(gè)最小項(xiàng)至少被圈一次每個(gè)最小項(xiàng)可被圈任意多次1F(A,B,C,D)AB111CD111

卡諾圖化簡(jiǎn)為與或式F(A,B,C,D)=ABC+ABD+ABC+BCD=ABD+ACD+BCD+ACD正確答案不一定唯一F(A,B,C,D)AB11C11D1111卡諾圖化簡(jiǎn)為與或式F(A,B,C,D)=BD+ACD+ABC+ACD+ABC=ACD+ABC+ACD+ABC先圈只有一種圈法的項(xiàng)每個(gè)卡諾圈必須至少包含一個(gè)沒被其它卡諾圈圈過的項(xiàng)F(A,B,C,D)AB111C1111D1卡諾圖化簡(jiǎn)為與或式F(A,B,C,D)=BC+ABD+ABC+ACD=BC+ACD+ABD如果有多種圈法，應(yīng)盡量圈沒被圈過的項(xiàng)11F(A,B,C,D)AB111C11D1五變量函數(shù)化簡(jiǎn)F(A,B,C,D,E)=∑(0,2,4,13,16,18,19,20,23,29)02413181916232029F(A,B,C,D,E)ABCDEE=BCDE+BDE+BCE+ABDE卡諾圖化簡(jiǎn)的原理

如果卡諾圈跨越某變量的原變量與反變量的邊界，則該變量被消去最小覆蓋覆蓋所有最小項(xiàng)所含卡諾圈數(shù)最少。如果去掉一個(gè)卡諾圈，就不能覆蓋全部“1”每個(gè)卡諾圈都盡量大，即包含盡量多的最小項(xiàng)每個(gè)卡諾圈至少包含一個(gè)其它卡諾圈沒包含的最小項(xiàng)卡諾圖化簡(jiǎn)原則每個(gè)卡諾圈所含項(xiàng)數(shù)必須為2i，消掉i個(gè)變量每個(gè)卡諾圈的形狀必須是矩形（含正方形）每個(gè)卡諾圈至少包含一個(gè)未被其它卡諾圈所包含的最小項(xiàng)每個(gè)最小項(xiàng)至少被圈一次每個(gè)卡諾圈必須盡可能大每個(gè)最小項(xiàng)可被圈任意多次先圈只有一種圈法的項(xiàng)；如果都有多種圈法，則先圈大的如果有多種圈法,則圈沒被其它圈覆蓋過的化簡(jiǎn)為“與或”式利用卡諾圖

將函數(shù)化簡(jiǎn)為與或式

與或式、與非－與非式其它三種形式？化簡(jiǎn)函數(shù)為或與式圈０，直接得到最簡(jiǎn)或與式方法與原則與圈１得最簡(jiǎn)與或式同注意原變量與反變量化簡(jiǎn)函數(shù)為或與式F(A,B,C,D)=(A+B)(A+B+C)(A+C)=(B+C)(A+C)圈０，寫或與式原理與原則與化簡(jiǎn)為 與或式同寫結(jié)果時(shí)不同：原變量 的位置寫反變量，反 變量的位置寫原變量0000F(A,B,C)CAB化簡(jiǎn)函數(shù)為與或非式圈０，寫與或式，得Ｆ的最簡(jiǎn)與或式F(A,B,C)=BC+ACF(A,B,C)=BC+ACF(A,B,C)=(B+C)(A+C)=B+C+A+C=BC+AC0000F(A,B,C)CAB化簡(jiǎn)函數(shù)舉例F=ACD+CD+AD+BDF=(A+C+D)(A+B+D)(B+C+D)F=ACD+ABD+BCD1１F(A,B,C,D)AB１11C１11１１D１多輸出函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法

F1(A,B,C)=∑(3,6,7)=AB+