第六章頻率特性法主編修改版

第六章頻率特性分析法

版本2.0

2011年6月主編修改版華南理工大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與工程學(xué)院制作:羅家祥審校:胥布工第六章頻率特性分析6.1引言6.2頻率特性的基本概念6.3頻率特性圖示法6.4系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性6.5奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)6.6穩(wěn)定裕度6.7基于開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的系統(tǒng)性能分析6.8閉環(huán)頻率特性與系統(tǒng)性能指標(biāo)6.9利用MATLAB進(jìn)行控制系統(tǒng)的頻率特性分析6.10小結(jié)基本要求1.正確理解頻率特性的概念。2.熟練掌握典型環(huán)節(jié)的頻率特性，熟記其幅相特性曲線及對(duì)數(shù)頻率特性曲線。3.熟練掌握由系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)繪制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線及開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)相頻曲線的方法。4.熟練掌握由具有最小相位性質(zhì)的系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線求開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的方法。返回子目錄5.熟練掌握乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)及其它們的應(yīng)用。6.熟練掌握穩(wěn)定裕度的概念及計(jì)算穩(wěn)定裕度的方法。7.理解閉環(huán)頻率特性的特征量與控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)的定性關(guān)系。8.理解開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系及三頻段的概念，會(huì)用三頻段的分析方法對(duì)兩個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行分析與比較。Part6.1

引言頻率特性：是指一個(gè)系統(tǒng)對(duì)不同頻率的正弦波輸入時(shí)的響應(yīng)特性頻域分析法：用研究頻率特性的方法研究控制系統(tǒng)的方法頻域分析法的優(yōu)點(diǎn)：1）不必特征根，采用圖解方法就可研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性；2）系統(tǒng)的頻率特性可用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)出，具有明確的物理意義；3）可推廣應(yīng)用于某些非線性系統(tǒng)；4）用頻率法設(shè)計(jì)系統(tǒng)，可方便設(shè)計(jì)出能有效抑制噪聲的系統(tǒng)。6.2頻率特性的基本概念6.2.1頻率響應(yīng)與頻率特性的定義線性定常系統(tǒng)的頻率響應(yīng)：在零初始條件下，系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。線性定常系統(tǒng)的頻率特性：輸入：正弦信號(hào)；輸出：正弦信號(hào)，頻率不變，幅值和相位發(fā)生變化。若采用極坐標(biāo)將系統(tǒng)的正弦輸入信號(hào)和正弦輸出響應(yīng)表示為復(fù)數(shù)，則系統(tǒng)的頻率特性定義為：系統(tǒng)的輸出與輸入之復(fù)數(shù)比。

.1頻率特性的基本概念(174頁(yè))1.1頻率特性的定義RC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)輸入正弦信號(hào)拉氏反變換，得電容端電壓輸出電壓瞬態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量時(shí)，第一項(xiàng)趨于零，RC網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)表示為RC網(wǎng)絡(luò)的微分方程RCi(t)u1(t)u2(t)輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入是同頻率的正弦信號(hào)，輸出幅值和相角取決于頻率。輸入正弦信號(hào)與輸出穩(wěn)態(tài)分量關(guān)系圖輸出穩(wěn)態(tài)分量和輸入復(fù)數(shù)比穩(wěn)態(tài)輸出與輸入頻率相同，振幅和相角不同6.2頻率特性的基本概念分析：該電路起到了低通濾波的作用。1）當(dāng)頻率較低時(shí)，穩(wěn)態(tài)輸出電壓和輸入電壓幅值幾乎相等，且相位滯后較小，電路主要表現(xiàn)出電阻特性（=0時(shí)，輸入與穩(wěn)態(tài)輸出均為大小相等的直流電壓）。2）隨著增大，穩(wěn)態(tài)輸出電壓的幅值迅速減小，相位滯后隨之增大，電路電容特性增強(qiáng)。3）當(dāng)+，輸出電壓的幅值接近0，而相位滯后接近90°，電路近似為一電容。

幅頻特性相頻特性實(shí)頻特性虛特性稱(chēng)為系統(tǒng)的頻率特性，描述系統(tǒng)在正弦輸入時(shí)，穩(wěn)態(tài)輸出的幅值和相角隨輸入頻率變化的規(guī)律。頻率特性表達(dá)式傳遞函數(shù)表達(dá)式即頻率特性的描述課程小結(jié)（1）

1.頻率響應(yīng)頻率特性定義一：定義二：定義三：

頻率特性的概念設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖，由勞斯判據(jù)知系統(tǒng)穩(wěn)定。給系統(tǒng)輸入一個(gè)幅值不變頻率不斷增大的正弦，Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=4曲線如下:40不結(jié)論給穩(wěn)定的系統(tǒng)輸入一個(gè)正弦，其穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦，幅值隨ω而變，相角也是ω的函數(shù)。

(ω)大于零時(shí)稱(chēng)相角超前，小于零時(shí)稱(chēng)相角滯后。頻率特性的物理意義幅值A(chǔ)()隨著頻率升高而衰減例:低頻信號(hào)高頻信號(hào)頻率特性反映了系統(tǒng)的內(nèi)在性質(zhì),與外界因素?zé)o關(guān)!!頻率特性表征了系統(tǒng)或元件對(duì)不同頻率正弦輸入的響應(yīng)特性。

傳遞函數(shù)的一般形式為傳函的極點(diǎn)。輸入輸出的拉氏變換待定系數(shù)系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)，瞬態(tài)分量為零當(dāng)穩(wěn)定系統(tǒng)，極點(diǎn)實(shí)部為負(fù)求拉氏反變換，得系統(tǒng)輸出頻率特性的一般形式

設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，正弦輸入時(shí)的輸出為：∵系統(tǒng)穩(wěn)定，∴頻率特性的推導(dǎo)

頻率特性也是描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，頻率響應(yīng)法從頻率特性出發(fā)研究系統(tǒng)。系統(tǒng)對(duì)不同頻率輸入信號(hào)在穩(wěn)態(tài)情況下的衰減（或放大）特性；幅頻特性相頻特性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出對(duì)不同頻率輸入信號(hào)的相位滯后（或超前）特性。理論上可將頻率特性的概念推廣到不穩(wěn)定系統(tǒng)，但是不穩(wěn)定系統(tǒng)的瞬態(tài)分量不會(huì)消失，瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量始終同時(shí)存在，不穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性觀察不到。穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，正弦信號(hào)的作用下輸出的穩(wěn)態(tài)分量也是正弦信號(hào)，和輸入頻率相同;

振幅與輸入信號(hào)振幅之比為幅頻特性；相位與輸入信號(hào)相位差為相頻特性。

輸出穩(wěn)態(tài)分量與輸入正弦信號(hào)的復(fù)數(shù)比得頻率特性。三種數(shù)學(xué)模型的關(guān)系如圖頻率特性的定義:

幾點(diǎn)說(shuō)明①[][][]ej輸出幅值與輸入幅值之比為幅頻特性

A(ω)

=為相頻特性φ(ω)=Φ(jω)=稱(chēng)為頻率特性輸出相角與輸入相角之差②Φer(s)=E(s)R(s),當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)[]終值定理與解析條件[]＋系統(tǒng)穩(wěn)定？[]26.2頻率特性的基本概念頻率特性的實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法按頻率特性的定義，系統(tǒng)（或元件）的頻率特性也可方便地通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法求得，能通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法來(lái)建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是頻率特性法的突出特點(diǎn)。在所關(guān)心的頻率范圍，按一定間隔改變輸入信號(hào)的頻率值，分別測(cè)得對(duì)應(yīng)的幅值比和相位差即可求得系統(tǒng)的頻率特性曲線。

6.2頻率特性的基本概念pass將圖6-5所示控制系統(tǒng)視為信號(hào)處理單元，分別對(duì)輸入和輸出作傅立葉反變換得分析：T(j)為反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性。從快速性和準(zhǔn)確性的角度出發(fā)，最理想的情況為y(t)r(t)，T(j)=1。理想的閉環(huán)曲線為矩形，矩形頻段內(nèi)的相位為0：1）通常系統(tǒng)的有效信號(hào)往往集中于中低頻段，要求T(j)=1。2）高頻段：|R(j)|0，如虛線所示。系統(tǒng)高頻段需濾除噪聲，也要求|T(j)|0。6.2.3反饋控制系統(tǒng)的典型頻率特性6.2頻率特性的基本概念理想的矩形閉環(huán)頻率特性很難實(shí)現(xiàn)，而閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型頻率特性如圖6-7：閉環(huán)頻域性能指標(biāo)：M(0):零頻振幅比

Mr:諧振峰值

r:諧振頻率

b:帶寬頻率閉環(huán)控制系統(tǒng)的幅頻特性M()=|T(j)|曲線有以下特點(diǎn)：（1）低頻部分幅值M()=變化比較平緩；（2）由于典型的閉環(huán)系統(tǒng)往往設(shè)計(jì)成欠阻尼的，有一對(duì)共軛主導(dǎo)極點(diǎn)，對(duì)某個(gè)頻率的輸入信號(hào)由最大值，M()出現(xiàn)峰值；（3）在峰值之后，曲線以較大的陡度衰減直至為零，即實(shí)際控制系統(tǒng)通常具有低通作用，因而存在一定的帶寬。6.2頻率特性的基本概念閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬取決于對(duì)重現(xiàn)信號(hào)能力的要求（對(duì)應(yīng)于時(shí)域響應(yīng)速度）和對(duì)高頻噪聲過(guò)濾的要求兩者的折衷。例如，考慮兩個(gè)2階閉環(huán)系統(tǒng)如下：兩個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)曲線的峰值時(shí)間分別為：

6.2頻率特性的基本概念可見(jiàn)，系統(tǒng)帶寬越大，時(shí)域響應(yīng)的速度越快。

系統(tǒng)的頻率響應(yīng)很難直接求解時(shí)域響應(yīng)，因而直接在頻域內(nèi)分析系統(tǒng)；頻率分析法的主要任務(wù)就是研究系統(tǒng)頻率響應(yīng)與時(shí)域響應(yīng)之間的關(guān)系，建立頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)之間的定量關(guān)系。采用頻率響應(yīng)來(lái)分析控制系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)的基本思路：

頻率特性分析設(shè)計(jì)系統(tǒng)用幾何曲線表示，這些曲線有：6.3頻率特性圖示法幅相頻率特性曲線對(duì)數(shù)頻率特性曲線對(duì)數(shù)幅相特性曲線6.3頻率特性圖示法P():實(shí)頻特性Q():虛頻特性A():幅頻特性:相頻特性G(j)復(fù)平面上的表示G(j)在復(fù)平面上滑過(guò)的軌跡用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)表示頻率特性：6.3頻率特性圖示法6.3.1幅相頻率特性曲線奈奎斯特曲線：(幅相頻率特性曲線，極坐標(biāo)曲線）G(j)隨從0變至+在復(fù)平面上連續(xù)變化而形成一條曲線，

曲線特征:極坐標(biāo)：A(),,=0（或者0）；+，箭頭表明增大時(shí)軌跡的走向

特點(diǎn)：P()和A()為的偶函數(shù),Q()和()關(guān)于的奇函數(shù)，因此關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)；負(fù)頻率部分奈奎斯特曲線通常以虛線形式表示，無(wú)物理意義，有幾何意義。

為變量，幅值和相角表示在同一復(fù)數(shù)平面圖上，時(shí)，向量的端點(diǎn)在復(fù)平面上的運(yùn)動(dòng)軌跡即的幅相頻率特性曲線。繪制幅相特性曲線有兩種方法對(duì)每一個(gè)值計(jì)算幅值和相角，然后將這些點(diǎn)連成光滑曲線；對(duì)每一個(gè)值計(jì)算，

然后連接成光滑曲線。圖示是慣性環(huán)節(jié)的幅相曲線，為半圓。正實(shí)軸方向相角為零度線，逆時(shí)針?lè)较蛘嵌龋槙r(shí)針?lè)较蜇?fù)角度。曲線上標(biāo)注增大的方向。1.幅相頻率特性曲線：簡(jiǎn)稱(chēng)幅相曲線（乃氏曲線、極坐標(biāo)圖）6.3頻率特性圖示法6.3.2對(duì)數(shù)頻率特性曲線（伯德圖，對(duì)數(shù)坐標(biāo)曲線）橫坐標(biāo)：lg()的均勻刻度，但直接標(biāo)注，單位：rad/s十倍頻程：變化10倍稱(chēng)一個(gè)十倍頻程(記dec）；特點(diǎn)：1）兩個(gè)頻率間的幾何距離為：lg2-lg1，而不是2-

1。2）橫坐標(biāo)采用對(duì)數(shù)刻度，相對(duì)展寬了低頻段而壓縮了高頻段，既有利于刻畫(huà)更廣頻率范圍的系統(tǒng)特性，又突出了低頻段的特性細(xì)節(jié)。

6.3頻率特性圖示法縱坐標(biāo)：1)對(duì)數(shù)幅值，縱坐標(biāo)均勻刻度，單位是分貝(dB）。2)對(duì)數(shù)相頻特性的縱坐標(biāo)為相角，單位是度(°)。優(yōu)點(diǎn)：1)將乘除運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加減運(yùn)算，故可通過(guò)簡(jiǎn)單的圖像疊加快速繪制高階系統(tǒng)的伯德圖；若考慮G(j)=A1()ej1()+A2()ej2()，則有|G(j)|=lgA1()+lgA2()2)伯德圖還可通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法繪制，經(jīng)分段直線近似整理后，很容易得到實(shí)驗(yàn)對(duì)象的頻率特性表達(dá)式或傳遞函數(shù).

2．對(duì)數(shù)頻率特性曲線（對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖或伯德圖）包括對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性?xún)蓷l曲線。頻率特性對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性定義：橫坐標(biāo)是頻率，采用對(duì)數(shù)分度，單位是[rad/s]。對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的縱坐標(biāo)為對(duì)數(shù)幅頻特性的函數(shù)值，均勻分度，單位是[dB]。對(duì)數(shù)相頻特性曲線的縱坐標(biāo)為相頻特性的函數(shù)值，均勻分度，單位是[°]。繪制伯德圖時(shí)需要用半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙。幅值相乘變?yōu)橄嗉?，?jiǎn)化作圖。對(duì)數(shù)坐標(biāo)系對(duì)數(shù)坐標(biāo)系§頻率特性的基本概念（4）

§5.1.3頻率特性G(jw)的表示方法以為例。幅頻相頻Ⅰ.頻率特性Ⅱ.幅相特性(Nyquist)Ⅲ.對(duì)數(shù)頻率特性(Bode)Ⅳ.對(duì)數(shù)幅相特性(Nichols)對(duì)數(shù)幅頻對(duì)數(shù)相頻6.3頻率特性圖示法6.3.3對(duì)數(shù)幅相特性曲線（尼科爾斯（N.B.Nichols）曲線）橫坐標(biāo)為相位()縱坐標(biāo)為對(duì)數(shù)幅值L()=20lgA()繪制過(guò)程：從伯德圖中分別讀取各頻率下L()和()的值，在尼科爾斯坐標(biāo)系中確定相應(yīng)的點(diǎn)并將頻率作為參變量標(biāo)于各點(diǎn)旁，然后以光滑曲線連接各點(diǎn)即可得到尼科爾斯曲線。

比例環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)一階微分二階微分慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)6.4系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性典型環(huán)節(jié)重點(diǎn)熟練掌握典型環(huán)節(jié)的頻率特性及幾何圖形。6.4系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性n階線性定常系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性一般可表示為如下形式：下面考慮四種基本因式的頻率特性:滿足上述系數(shù)要求的系統(tǒng)（6-17）為最小相位系統(tǒng)（定義見(jiàn)6.4.4節(jié)）。注意到控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定，但閉環(huán)可以是穩(wěn)定的。顯然，需要擴(kuò)展式（6-17）中因式的類(lèi)型。

幅相特性G(s)=K1比例環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)頻率特性與頻率ω?zé)o關(guān)。是實(shí)軸上的一個(gè)點(diǎn)，坐標(biāo)為（k，j0）。K>1時(shí)，分貝數(shù)為正；K<1時(shí)，分貝數(shù)為負(fù)。幅頻曲線升高或降低相頻曲線不變改變K

幅相曲線一個(gè)負(fù)的純虛矢量jIm[G(jω)]Re[G(jω)]0矢量的模隨著ω的增大而減小G(s)=s12積分環(huán)節(jié)①G(s)=1s100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20dB/dec][-20dB/dec][-20dB/dec]②G(s)=10s1③

G(s)=5s90000-900相角均為-900是一條直線，斜率-20dB/dec積分環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)頻率特性曲線

對(duì)數(shù)曲線求斜率ωL(ω)dB0dBabLaLbωaωb斜率=對(duì)邊鄰邊=La-Lbωa-ωb×lgωa-lgωb

例5.1求交接頻率ωcωc=0.4L(ω)dBω0dB-7.96-21.94ωc15斜率=-7.96lg1∴∵ω=1時(shí),則有令=1得：–(-21.94)–lg5L(1)=-7.96=20lgk,∴k=0.4

幅相曲線G(s)=s一個(gè)純虛矢量jIm[G(jω)]Re[G(jω)]01234矢量的模隨著ω的增大而增大3微分環(huán)節(jié)①G(s)=s100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[+20dB/dec][+20dB/dec]微分環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)頻率特性曲線②G(s)=2s③G(s)=0.1s相角均為900[+20dB/dec]90000-900是一條直線，斜率+20dB/dec

4慣性環(huán)節(jié)0.25ω2+1A(ω)=1φ(ω)=-tg-10.5ωj01Im[G(jω)]Re[G(jω)]ω00.51245820φo(ω)A(ω)01-14.50.97-26.60.89-450.71-63.-68.2-76-840.450.370.240.05幅相曲線幅相頻率特性(Nyquist)（3）

§5.2.1典型環(huán)節(jié)的幅相頻率特性證明：慣性環(huán)節(jié)的幅相特性為半圓（下半圓）幅相頻率特性(Nyquist)（4）

幅相特性例3系統(tǒng)的幅相曲線如圖所試，求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。由曲線形狀有由起點(diǎn)：由j0：

慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻漸近曲線的分析水平線低頻漸近線斜率[-20dB/dec]的斜線高頻漸近線①G(s)=10.5s+1②G(s)=100s+5100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)頻率特性曲線[-20][-20]26dB0o-30o-45o-60o-90oω=1/T為慣性環(huán)節(jié)的交接頻率交接頻率ω=5交接頻率ω=24段直線方程怎么求得？

用漸近線的方式表示幅頻特性,必然存在誤差。最大誤差發(fā)生在交接頻率處，最大誤差為利用誤差曲線對(duì)近似曲線修正即得精確曲線。（圖示誤差曲線）

幅相曲線實(shí)部衡為1，虛部隨ω增大而增大的矢量矢量的模隨著ω的增大從1變化到無(wú)窮G(s)=Ts+1jIm[G(jω)]Re[G(jω)]0123415一階微分①G(s)=0.5s+10.3②G(s)=(0.25s+0.1)L(ω)dB100.2210.1ω0dB2040-40-20201000o+30o+45o+60o+90o[+20][+20]ω=1/T為微分環(huán)節(jié)的交接頻率與慣性環(huán)節(jié)以橫軸互為鏡像對(duì)稱(chēng)一階微分對(duì)數(shù)頻率特性曲線交接頻率ω=2交接頻率ω=0.4增益K=0.0320lg0.03=-30dB§5.2幅相頻率特性(Nyquist)（6）

⑹振蕩環(huán)節(jié)§5.2.1典型環(huán)節(jié)的幅相特性曲線振蕩環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線起始于點(diǎn)（1,j0），終止于點(diǎn)(0,j0)。曲線與虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)的頻率為ωn，其曲線如圖5-16所示?！?.2幅相頻率特性(Nyquist)（7）

諧振頻率wr

和諧振峰值Mr

例4:當(dāng)，時(shí)§5.2幅相頻率特性(Nyquist)（8）

諧振頻率諧振峰值wr,Mr不存在面積一定，垂直的兩邊之積最小§5.2幅相頻率特性(Nyquist)（9）

幅相特性例5系統(tǒng)的幅相曲線如圖所試，求傳遞函數(shù)。由曲線形狀有由起點(diǎn)：由j(w0)：由|G(w0)|：

振蕩環(huán)節(jié)L(ω)漸近線分析振蕩環(huán)節(jié)L(ω)100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-40]-90o0o-180oφ(ω)o

較小時(shí)，在ω=ωn附近，A(ω)出現(xiàn)峰值，即產(chǎn)生諧振。出現(xiàn)諧振的條件是

0.707諧振峰值Mr對(duì)應(yīng)的頻率為諧振頻率ωr。

振蕩環(huán)節(jié)再分析0dBL(ω)dBω20lgkωnωr[-40]?2nn22nS2Sk(s)Gw+w+w=ω=r(0＜ξ＜0.707)0＜ξ＜0.5

0.5＜ξ＜1

ξ=0.5

友情提醒:φ(ωn)=-90o

幅相曲線矢量的虛部始終為正Tω<1時(shí)，實(shí)部為正，矢量在第一象限Tω＝1時(shí)，實(shí)部為零，矢量在正虛軸上Tω>1時(shí)，實(shí)部為負(fù)，矢量在第二象限jIm[G(jω)]Re[G(jω)]017二階微分G(s)=T2s2+2ξTs+1

二階微分的對(duì)數(shù)頻率特性對(duì)數(shù)幅頻漸近曲線0dBL(ω)dB[+40]ωn0<ξ<0.707時(shí)有峰值：

對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的對(duì)比

(dB)10110ω

0.11040-20

40dB/dec-40dB/dec(o)180-18000.1ω20-40二階微分與振蕩環(huán)節(jié)1/jω和jωω0.1(dB)110020-2020dB/dec-20dB/dec(o)90-9000.1110ω∠jω∠1/jω積分與微分環(huán)節(jié)ω0.1(dB)110020-2020dB/dec-20dB/dec1/T1+jT和1/(1+jT)(o)90-9000.1110ω一階微分與慣性環(huán)節(jié)動(dòng)畫(huà)§5.2幅相頻率特性(Nyquist)（12）

⑻延遲環(huán)節(jié)§5.3.1開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的幅相頻率特性（1）§5.3.1開(kāi)環(huán)幅相特性曲線的繪制§5.3.1開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的幅相頻率特性（2）

§5.2.2開(kāi)環(huán)系統(tǒng)幅相特性曲線的繪制例6起點(diǎn)

終點(diǎn)

§5.3.1開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的幅相頻率特性（3）

例7§5.3.1開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的幅相頻率特性（4）例8A:

B:§5.3.1開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的幅相頻率特性（5）

例9，畫(huà)G(jw)曲線。解漸近線：與實(shí)軸交點(diǎn)：

例5.2解：求交點(diǎn)：

曲線如圖所示：0-25Im[G(jω)]Re[G(jω)]開(kāi)環(huán)幅相曲線的繪制無(wú)實(shí)數(shù)解，所以與虛軸無(wú)交點(diǎn)頻率特性MATLAB繪制的圖

例5.5繪制開(kāi)環(huán)幅相曲線。解：曲線位于第三象限①②曲線位于第二象限§5.3.2開(kāi)環(huán)系統(tǒng)對(duì)數(shù)頻率特性(Bode)（1）§5.3.2開(kāi)環(huán)系統(tǒng)Bode圖的繪制100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20][0][-20]例5.6已知繪制其開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線。20lgKL1L1L3K比例環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)[-20]解：三個(gè)典型環(huán)節(jié)：比例K、積分和慣性環(huán)節(jié)，各典型環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)頻率特性曲線，如圖示。

[-40]100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20][0][-20]例5.6已知繪制其開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線。20lgKL1L1φ1L3φ3φ1K比例環(huán)節(jié)φ(ω)-90o-180o-45o0o積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)[-20]解：三個(gè)典型環(huán)節(jié)：比例K、積分和慣性環(huán)節(jié)，各典型環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)頻率特性曲線，如圖示。

[-40]

（1）低頻段斜率為-20vdB/dec，v是開(kāi)環(huán)系統(tǒng)中積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)；（2）時(shí)，低頻段或延長(zhǎng)線（的頻率范圍內(nèi)有交接頻率）的分貝值是。低頻段或延長(zhǎng)線與零分貝線的交點(diǎn)頻率為。（3）典型環(huán)節(jié)交接頻率處，斜率變化。遇到環(huán)節(jié)，斜率改變±20dB/dec；遇到環(huán)節(jié)，斜率改變±40dB/dec。分析

繪制對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的步驟：（1）將開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)化成典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的標(biāo)準(zhǔn)形式；（2）根據(jù)開(kāi)環(huán)增益K，計(jì)算20lgK的分貝值；（3）在ω=1處，標(biāo)出L(1)=20lgK點(diǎn)，過(guò)（20lgK，1）點(diǎn)繪制斜率為-20vdB/dec的低頻段；（4）根據(jù)交接頻率繪制出相應(yīng)線段；（5）若有必要，利用誤差修正曲線，對(duì)交接頻率附近的曲線修正，得到精確的特性曲線。100.210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20][-40]低頻段：時(shí)為38db時(shí)為52db轉(zhuǎn)折頻率：0.5230斜率：

-40

-20-40[-20][-40]5238514-100.5302繪制的L(ω)曲線例5.7

繪制的對(duì)數(shù)曲線。解：對(duì)數(shù)相頻：相頻特性的畫(huà)法為：起點(diǎn)，終點(diǎn)，轉(zhuǎn)折點(diǎn)。例5.8-90o-114.7o-93.7o-137.5o-180o對(duì)數(shù)幅頻：低頻段：20/s[-20]轉(zhuǎn)折頻率：1510斜率：-400-40修正值：各環(huán)節(jié)角度：低頻段：20/s[-20]轉(zhuǎn)折頻率：1510斜率：-400-40-90o-114.7o-93.7o-137.5o-180o[-20][-40][-40]ω0dB20dB-20dBL(ω)-90o-120o-150o-180oφ(ω)1510繪制曲線

④交接頻率:ω1=0.2，ω2=1，ω3=5；ω=0.2，斜率[-20]變?yōu)閇-40]；ω=1，斜率[-40]變?yōu)閇-20]；ω=5，斜率[-20]變?yōu)閇-60]。②，。例5.9繪制對(duì)數(shù)幅頻特性曲線。解①整理成典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)③低頻段漸近線ω=1,L(1)=6.02dB，過(guò)（6.02，1）點(diǎn)畫(huà)-20dB/dec的直線。⑤對(duì)曲線進(jìn)行必要的修正。曲線如圖§5.3.3由對(duì)數(shù)頻率特性曲線確定開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)

（1）例4

已知Bode圖，確定G(s)。解解法Ⅱ解法Ⅰ解法Ⅲ證明：含義：40是斜率，H是高度§5.3.3由對(duì)數(shù)頻率特性曲線確定開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)

（2）例5

已知L(w)，寫(xiě)出G(s)，繪制j(w),G(jw)。解⑴III⑵疊加作圖如右⑶6.4系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性6.4.4最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)

考慮線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，若在右半s平面上既無(wú)零點(diǎn)也無(wú)極點(diǎn)，則稱(chēng)其為最小相位傳遞函數(shù)，否則，稱(chēng)其為非最小相位傳遞函數(shù)；對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)分別稱(chēng)為最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)。

最小相位的概念來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)理論，其含義是：在ω(0,+∞)上具有完全相同幅頻特性的一類(lèi)系統(tǒng)中，當(dāng)ω從0至無(wú)窮大變化時(shí)，最小相位系統(tǒng)的相角變化量最小，故而得名。1．最小相位和非最小相位傳遞函數(shù)6.4系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性對(duì)比可見(jiàn)，非最小相位系統(tǒng)對(duì)階躍響應(yīng)相對(duì)變化滯后。這是由于相對(duì)于正向疊加s，反向疊加s起到了延緩輸出變化的作用。當(dāng)輸入信號(hào)變化迅速，其微分作用較大，反向疊加會(huì)導(dǎo)致輸出出現(xiàn)反向響應(yīng)。6.4系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性例6-5已知最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線如圖6-36所示。試寫(xiě)出其傳遞函數(shù)。由最小相位系統(tǒng)的幅頻特性，能唯一確定其相頻特性，反之亦然。轉(zhuǎn)折頻率：1=2,2=10漸近線斜率：6.4系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性2．延遲環(huán)節(jié)幅相頻率特性：圓：圓心為原點(diǎn),半徑為1；當(dāng)=0+∞，相角不斷變負(fù)，即特性由(1,j0)開(kāi)始，順時(shí)針周而復(fù)始地轉(zhuǎn)動(dòng)，且τ越大，轉(zhuǎn)動(dòng)越快。對(duì)數(shù)頻率特性:漸近線與橫坐標(biāo)(0dB線)重合；=0+∞，相角不斷變負(fù)。延遲環(huán)節(jié)本身以及任何含有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)均為非最小相位系統(tǒng)。越大，滯后越大。這種滯后對(duì)反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性非常不利，具有大延遲時(shí)間的對(duì)象也因此被認(rèn)為是難以控制的。例題

-20ω0L(ω)203[+20][-20]ω0L(ω)[-20][-40]1002000ωL(ω)-203.06[+40]-28最小相角系統(tǒng)，由L(ω)求G(s)例ω0L(ω)[-20][-40]114202.93

1L(ω)dBω0dB40-1.9424.08[-20][-40][-40][-20]8最小相角系統(tǒng)，由L(ω)求G(s)例ω3ω1ω2

30509.490.780.147.2L(ω)dBω0dB[-20][-40][-40][-20]最小相角系統(tǒng)，由L(ω)求G(s)例ω4ω3-4.4ω143.4

最小相角系統(tǒng)，由L(ω)求G(s)例ω→∞時(shí)曲線斜率均為-20(n-m)dB/dec；ω→∞時(shí)的相角是否等于-90°(n-m)，判斷系統(tǒng)是否為最小相位系統(tǒng)。只有比例、積分、微分、慣性、振蕩、一階微分和二階微分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)。6.5奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

—

全部閉環(huán)極點(diǎn)均具有負(fù)的實(shí)部由閉環(huán)特征多項(xiàng)式系數(shù)（不解根）判定系統(tǒng)穩(wěn)定性不能用于研究如何調(diào)整系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)來(lái)改善系統(tǒng)穩(wěn)定性及性能的問(wèn)題代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

—

Ruoth判據(jù)

由開(kāi)環(huán)頻率特性直接判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

可研究如何調(diào)整系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)改善系統(tǒng)穩(wěn)定性及性能問(wèn)題頻域穩(wěn)定判據(jù)

—

Nyquist

判據(jù)

對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

通過(guò)F(s)函數(shù)映射，在F(s)平面有封閉曲線ΓF2．幅角原理（證明略）s平面任選一點(diǎn)s=σ+jω，通過(guò)F(s)映射,在F(s)平面找到相應(yīng)的象。（如圖）任選一條不過(guò)F(s)零極點(diǎn)的封閉曲線ΓS，包圍F（s)一個(gè)零點(diǎn),其他零極點(diǎn)在ΓS外F(s)零、極點(diǎn)分布F(s)映射研究s在[s]平面上沿封閉曲線ΓS順時(shí)針運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)一周，ΓF包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的次數(shù)和運(yùn)動(dòng)方向。F(s)為s的有理分式，分子分母同階

若s平面上Гs包圍F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)，和P個(gè)極點(diǎn)，且Гs不通過(guò)F(s)的任一零、極點(diǎn)；當(dāng)s沿Гs順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一圈時(shí)，F(xiàn)(s)的相角變化為F(s)相角為若Гs包圍了F(s)一個(gè)零點(diǎn)，F(xiàn)(s)的其它零極點(diǎn)都位于Гs之外,當(dāng)s在[s]平面上沿Гs順時(shí)針運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，向量s-zi相角變化-2π，其他向量相角變化為零，則F(s)的相角變化-2π；即F(s)曲線在[F]平面繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)一圈；2．幅角原理（續(xù)）

幅角原理（續(xù)）若s平面上的封閉曲線Гs包圍F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)、P個(gè)極點(diǎn)，且不通過(guò)F(s)的任一零點(diǎn)和極點(diǎn),當(dāng)s沿Гs順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一圈時(shí)，F(xiàn)(s)曲線繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)為N=Z-P

表示曲線逆時(shí)針包圍平面坐標(biāo)原點(diǎn)的周數(shù)，表示不包圍坐標(biāo)原點(diǎn)。表示曲線順時(shí)針包圍平面坐標(biāo)原點(diǎn)的周數(shù)，注意：F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)個(gè)數(shù)必須為0，否則不穩(wěn)定；因?yàn)镕(s)的零點(diǎn)就是閉環(huán)的極點(diǎn)

6.5.2幅角原理的應(yīng)用順時(shí)針?lè)较虬鼑鷖平面整個(gè)右半平面，由虛軸和半徑R半圓組成。幅角原理中的Z和P表示F（s

）位于右半s平面的零極點(diǎn)數(shù)。s沿正虛軸變化,通過(guò)映射到平面,是開(kāi)環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖;s沿半徑無(wú)窮大的半圓變化，因n≥m,當(dāng)時(shí),，映射到平面上即坐標(biāo)原點(diǎn)；曲線由三部分組成

(1)正虛軸，即，從0到;(2)半徑為無(wú)窮大的右半圓;(3)負(fù)虛軸,即，從

變化到0。s沿的負(fù)虛軸變化，在平面映射是極坐標(biāo)圖關(guān)于實(shí)軸的鏡像

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為Z=0，即N

=P。若閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，奈氏曲線穿過(guò)臨界點(diǎn)，這時(shí)奈氏曲線逆時(shí)針包圍臨界點(diǎn)的周數(shù)不定。N——奈氏曲線[即s沿虛軸到取值，頻率特性的幅相曲線]逆時(shí)針包圍臨界點(diǎn)的周數(shù)；N=P-Z

P——輔助函數(shù)右半s平面極點(diǎn)數(shù)；（開(kāi)環(huán)的極點(diǎn)在右半s平面）Z——輔助函數(shù)右半s平面零點(diǎn)數(shù)。（閉環(huán)的極點(diǎn)在右半s平面）系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件:奈氏曲線逆時(shí)針包圍(-1,j0)的周數(shù)R等于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)右半S平面極點(diǎn)數(shù)P，即N

=P；否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。閉環(huán)正實(shí)部特征根個(gè)數(shù)Z按下式確定奈氏判據(jù)可表述如下：N=P-Z

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)（續(xù)）

例5.11

應(yīng)用奈氏判據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，下面是開(kāi)環(huán)傳函解系統(tǒng)①①②ω由0→+∞變化,開(kāi)環(huán)幅相特性曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)為如圖中的實(shí)線所示。以實(shí)軸對(duì)稱(chēng)軸，繪出時(shí)的幅相曲線，圖中虛線。奈氏曲線順時(shí)針包原點(diǎn)2周，閉環(huán)系統(tǒng)在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)為閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定

例5.12

系統(tǒng)②開(kāi)環(huán)頻率特性ω由0→+∞變化,開(kāi)環(huán)幅相特性曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)為圖中的實(shí)線。以實(shí)軸為對(duì)稱(chēng)軸，繪出的幅相曲線，圖中的虛線。奈氏曲線（圖中的虛線和實(shí)線合成的曲線）不包圍(-1,j0),閉環(huán)系統(tǒng)在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定解：

解:繪制ω=0→+∞幅相曲線,如圖中實(shí)線;繪制ω=-∞→0幅相曲線，如圖中虛線.G(s)H(s)在右半S平面的極點(diǎn)數(shù)為1，即P=1由奈氏判據(jù)求出閉環(huán)系統(tǒng)在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)為奈氏曲線逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)1周，即R=1。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定例5.13開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

6.5.3奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用1．0型開(kāi)環(huán)系統(tǒng)例6-6判斷兩個(gè)單位反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性起點(diǎn)：0型系統(tǒng)，其奈奎斯特曲線起始于點(diǎn)(K,j0);終點(diǎn)：以(n

m)90=180方向終止于坐標(biāo)原點(diǎn)。因此其奈奎斯特曲線不可能包圍(1,j0)點(diǎn)。N=0。Z=N+P=0，系統(tǒng)穩(wěn)定。6.5奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)6.5奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)起點(diǎn)：0型系統(tǒng)，其奈奎斯特曲線起始于點(diǎn)(K,j0);終點(diǎn)：以(n

m)90=270方向終止于坐標(biāo)原點(diǎn)。當(dāng)=0時(shí)，奈奎斯特曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)隨著K的增大向左移動(dòng)，當(dāng)K較少時(shí)，曲線不包圍(1,j0)點(diǎn)。Z=N+P=0，系統(tǒng)穩(wěn)定;當(dāng)K較大時(shí)，曲線包圍(1,j0)點(diǎn)。Z=2+0=2，系統(tǒng)不穩(wěn)定。F(s)在右半s平面有兩個(gè)零點(diǎn)(T(s)在右半s平面2個(gè)極點(diǎn))。6.5奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)比較：兩者區(qū)別僅在于后者添加了一個(gè)小慣性環(huán)節(jié)，兩者的頻率特性在低頻段幾乎沒(méi)有差別。但當(dāng)開(kāi)環(huán)系數(shù)K較大時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性卻有本質(zhì)區(qū)別。情況（2）中的小慣性環(huán)節(jié)引入了附加相位滯后，使其奈奎斯特曲線穿過(guò)負(fù)實(shí)軸進(jìn)入了第二象限，因而在開(kāi)環(huán)系數(shù)較大時(shí)，可能包圍臨界點(diǎn)(1,j0)。在一些實(shí)際控制系統(tǒng)中，傳感、執(zhí)行、放大等環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)相對(duì)于對(duì)象的時(shí)間常數(shù)而言非常小，建模時(shí)常被忽略?？赡艿玫藉e(cuò)誤結(jié)果。6.5奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)例6-7某反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為，

判斷穩(wěn)定性。當(dāng)K>1時(shí)，奈奎斯特曲線逆時(shí)針（與最小相位傳遞函數(shù)情況不同）包圍點(diǎn)(1,j0)一圈，由于P=1，Z=N+P=1+1=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)K<1時(shí)，則奈奎斯特曲線不包圍點(diǎn)(1,j0)，P=1，Z=N+P=0+1=1，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)K=1時(shí)，奈奎斯特曲線穿過(guò)(1,j0)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。

幅角原理定義封閉曲線不穿過(guò)F(s)的任一零極點(diǎn)，原點(diǎn)有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，不能直接應(yīng)用封閉曲線在坐標(biāo)原點(diǎn)以半徑的半圓從右側(cè)繞過(guò)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)所在的坐標(biāo)原點(diǎn)，其它不變，如圖示2．含有積分環(huán)節(jié)的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)圖中小半圓的表達(dá)式逆時(shí)針?lè)较蛟谄淦矫嫔系挠成錇榘霃綗o(wú)窮大的圓弧順時(shí)針?lè)较驈膙90°經(jīng)過(guò)0°轉(zhuǎn)到-v90°若ΓS取圖中實(shí)軸上半部，s沿四分之一無(wú)窮小圓弧逆時(shí)針變化，即ω=0~0+時(shí)，θ=0~+90°，G(s)H(s)曲線沿著半徑為無(wú)窮大的圓弧順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)過(guò)v90°。

②從G(j0+)H(j0+)開(kāi)始，逆時(shí)針補(bǔ)畫(huà)R→∞，角度為v90°的圓弧，G(jω)H(jω)曲線的方向是順時(shí)針，對(duì)應(yīng)的ω是0~0+。將這兩部分銜接起來(lái)，得到有積分環(huán)節(jié)的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的幅相曲線。如圖示綜上所述，有積分環(huán)節(jié)幅相曲線的繪制：①繪制ω=0~0+以外的幅相曲線，其起點(diǎn)對(duì)應(yīng)ω=0+；

通常只繪制ω=0~∞的幅相曲線，根據(jù)公式Z=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定;Z=閉環(huán)特征方程正實(shí)部根的個(gè)數(shù)實(shí)用方式:通過(guò)開(kāi)環(huán)幅相曲線在（-1,j0）點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸上的穿越次數(shù)獲得N。ω增大時(shí)，曲線自上而下通過(guò)（-1,j0）點(diǎn)左側(cè)的負(fù)實(shí)軸，為正穿越；(如圖)ω增大時(shí)，曲線自下而上穿過(guò)（-1,j0）點(diǎn)左側(cè)的負(fù)實(shí)軸，為負(fù)穿越。(如圖)

z=p_2N閉環(huán)特征根在s右半平面的個(gè)數(shù)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)在s右半平面的個(gè)數(shù)自下向上為負(fù)穿越，用N－表示；自上向下為正穿越，用N＋表示；-1-1G(jω)H(jω)起于－1之左實(shí)軸，為半次穿越-1z=0系統(tǒng)穩(wěn)定開(kāi)環(huán)幅相曲線穿越－1之左實(shí)軸的次數(shù)-1N=N＋-N－

關(guān)于半次穿越j(luò)0-1

例5.14已知應(yīng)用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解:開(kāi)環(huán)幅相曲線如圖因N=0，P=0，所以Z=P-2N=0-0=0閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

K變化時(shí)，曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)頻率ω1、ω2、ω3不變，僅幅相曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)沿負(fù)實(shí)軸移動(dòng)。例3.15確定圖示系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。（K=10，P=0，v=1）已知1，2，3K=K1、K2和K3時(shí)，幅相曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)［（G(jω1),j0］，［（G(jω2),j0］，［G(jω3),j0）］位于（-1,j0）點(diǎn)。 解:三個(gè)交點(diǎn)頻率為ω1，ω2，ω3，且ω3＞ω2＞ω1，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的形式當(dāng)K=10時(shí)求得即對(duì)應(yīng)Ｋ值曲線如圖穩(wěn)定不穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定閉環(huán)穩(wěn)定K值范圍

j-1ABCD0ωz=p2N在L(ω)>0dB的頻段中，看φ(ω)穿越-π線的次數(shù)。從上向下為負(fù)穿越，從下向上為正穿越ωdL(ω)-90-180φ(ω)-2700dBωωωbωc0o單位圓對(duì)應(yīng)0分貝線單位圓之外對(duì)應(yīng)0分貝線以上單位圓之內(nèi)對(duì)應(yīng)0分貝線以下6.5.4對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)于-180°線。奈氏判據(jù)的另一種形式

正穿越對(duì)數(shù)相頻特性曲線在ω增大時(shí),從下向上穿越－180°線(相角滯后減小)；L(ω)>0范圍內(nèi)與－180°線的穿越點(diǎn)負(fù)穿越對(duì)數(shù)相頻特性曲線在ω增大時(shí)，從上向下穿越－180°線(相角滯后增大)。(-1,j0)左側(cè)實(shí)軸穿越點(diǎn)

開(kāi)環(huán)特征方程不穩(wěn)定根，p=0,正負(fù)穿越數(shù)之和-1,閉環(huán)不穩(wěn)定。p=0z=2Z=p-2N=０-２（－１）＝２

存在積分環(huán)節(jié)，在相頻特性曲線處，逆時(shí)針?lè)较蜓a(bǔ)畫(huà)相角v900虛線，v是積分環(huán)個(gè)數(shù)。計(jì)算正負(fù)穿越次數(shù)時(shí)，虛線看成曲線的一部分。綜述如下：反饋系統(tǒng)，閉環(huán)特征方程正實(shí)部根的個(gè)數(shù)Z，根據(jù)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)右半平面極點(diǎn)數(shù)P和開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍內(nèi)，對(duì)數(shù)相頻特性曲線與線的正負(fù)穿越數(shù)之差確定Z為零，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。§6.5.4.對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)(2)例6已知單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。(不穩(wěn)定)(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)§6.5.4對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)(3)例7已知單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。(不穩(wěn)定)(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)§6.5.4對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)(6)注意問(wèn)題閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定有誤！2.N的最小單位為二分之一當(dāng)[s]平面虛軸上有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)時(shí)，奈氏路徑要從其右邊繞出半徑為無(wú)窮小的圓?。籟G]平面對(duì)應(yīng)要補(bǔ)充大圓弧3.閉環(huán)系統(tǒng)超穩(wěn)定？

如圖包圍(-1,j0)點(diǎn)，不穩(wěn)定階躍響應(yīng)c(t)發(fā)散過(guò)(-1,j0)點(diǎn)，臨界穩(wěn)定c(t)等幅振蕩不包圍(-1,j0)點(diǎn)，閉環(huán)穩(wěn)定c(t)收斂c(t)收斂系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性即穩(wěn)定裕度用幅值裕度Kg和相位裕度γ來(lái)度量。幅相曲線距(-1,j0)點(diǎn)越遠(yuǎn)。相對(duì)穩(wěn)定性越好6.6穩(wěn)定裕度不包圍(-1,j0)點(diǎn)，閉環(huán)穩(wěn)定

j01ωgG(jω)-16.6.1幅值裕度和相位裕度1.幅值裕度Kg相頻特性為-180°時(shí)，其幅值的倒數(shù)定義為幅值裕度，對(duì)應(yīng)的頻率ωg為相位穿越頻率。物理意義：閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益再放大Kg倍，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。Kg＞1，即Kg(dB)＞0，幅值裕度為正系統(tǒng)穩(wěn)定

Kg＜1，即Kg(dB)＜0，幅值裕度為負(fù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定一般選擇幅值裕度Kg(dB)為（6～20）dBG(jωg)H(jωg)幅值裕度

j01ωcγG(jω)Ｈ(jωc)

∠G(jωc)Ｈ(jωc)

-12.相位裕度γ開(kāi)環(huán)頻率特性的幅值為1時(shí)，其相角與180°之和定義為相位裕度，對(duì)應(yīng)的頻率ωc為截止頻率。物理意義：閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)相頻特性再滯后γ度，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。γ從負(fù)實(shí)軸算起，逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)；穩(wěn)定系統(tǒng)，相位裕度為正，即γ＞0不穩(wěn)定系統(tǒng)，相位裕度為負(fù)，即γ＜0γ越大，穩(wěn)定性越好。但過(guò)大會(huì)影響系統(tǒng)其他性能，一般γ為30°～60°相位裕度動(dòng)畫(huà)

穩(wěn)定性方面，幅值裕度大優(yōu)于幅值裕度小的系統(tǒng)，但幅值裕度不能完全表示系統(tǒng)的穩(wěn)定性，如圖兩個(gè)系統(tǒng)幅值裕度相同，但曲線A表示的系統(tǒng)比B表示的系統(tǒng)穩(wěn)定性好。Kg相同,穩(wěn)定程度不同有些系統(tǒng)僅用相位裕度γ證明穩(wěn)定性即可，但有許多系統(tǒng)則不行。最小相位系統(tǒng)可以用相位裕度γ證明穩(wěn)定性。0dB-180ocωgωcgγ=180o+∠G(jωc)Ｈ(jωc)伯德圖對(duì)應(yīng)的Ｋg和γ幅值裕度相位裕度z=1-=2不穩(wěn)定對(duì)數(shù)判據(jù)例題

方法1：令開(kāi)環(huán)頻率特性虛部等于零，求得ωg，將ωg代入實(shí)部求與實(shí)軸的交點(diǎn)，可求解Kg。方法2：根據(jù)φ(ωg)=-180°，用試探法求ωg，可求解Kg。求取ωc是重點(diǎn)和難點(diǎn),一般利用典型環(huán)節(jié)漸近特性。步驟為3.截止頻率ωc的計(jì)算（1）分段寫(xiě)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的漸近方程表達(dá)式，即(2)求Ai(ω)=1的解ω，考查ωi-1≤ω＜ωi是否成立。若成立，ωc=ω，停止計(jì)算；否則，令i=i+1，重新計(jì)算Ai(ω)=1。4.Kg的計(jì)算

,求K=1和K=20時(shí)的Kg(dB)和γ。例5.17已知解：P=0，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。K=1圖示,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

(2)K=20，圖示,閉環(huán)不穩(wěn)定。

例5.24如圖系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線。求：(1)γ？(2)要求γ=30°時(shí)K=？解：最小相位系統(tǒng)，得得K=10(1)0.1＜ωc＜10，有得ωc=1（2）求γ=30°的ωc′，ωc′滿足試探得ωc′=0.17γ=30°時(shí)的K′，又知0.1＜ωc′＜10，有

解:(1)

K=5，得20lg5=14dB。L(1)=14dB，ω1=1,ω2=10，例5.25(1)

K=5，繪制伯德圖，求ωc和γ；(2)用頻域法求臨界穩(wěn)定的K值。由圖知，1＜ωc＜10,于是有，得ωc＝2.24（2)求臨界穩(wěn)定的K值，令試探法ωg=3.1，則幅值裕度所以，K增大為K=5×2.112=10.56時(shí)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。開(kāi)環(huán)伯德圖ωc

例5.28

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，已知k=10,T=0.1,ωc=5。要求ω