第5章動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域

電工技術(shù)第5章動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析引例閃光燈電路

充放電問題？延時(shí)問題？繼電器電路

RC延時(shí)電路

本章教學(xué)內(nèi)容5.1

電容元件5.2

電感元件5.3

動(dòng)態(tài)電路方程5.4一階電路的零輸入響應(yīng)5.5一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)5.6一階電路的全響應(yīng)及三要素法本章重點(diǎn)內(nèi)容電容元件和電感元件的特性動(dòng)態(tài)電路方程的列寫、求解及初始條件的確定一階電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)一階電路的三要素法第5章動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析

前面四章討論的內(nèi)容主要局限于電阻電路。實(shí)際上，大量實(shí)際電路并不能只用電阻和受控源來構(gòu)建它們的模型，還必須包含有電容元件和電感元件等。電容和電感元件都能夠儲(chǔ)存能量，稱為儲(chǔ)能元件，其端口電壓電流關(guān)系要用微分方程來描述，所以又稱為動(dòng)態(tài)元件。

含有動(dòng)態(tài)元件（即儲(chǔ)能元件）的電路稱為動(dòng)態(tài)電路。動(dòng)態(tài)電路是用微分方程來描述的，所以對(duì)這種電路的分析要涉及對(duì)微分方程的求解。在動(dòng)態(tài)電路分析中，激勵(lì)和響應(yīng)都表示為時(shí)間的函數(shù)，采用微分方程求解電路和分析電路的方法，稱時(shí)域分析方法。5.1電容元件電容元件的定義：一個(gè)二端元件，如果在任一時(shí)刻t，它所儲(chǔ)存的電荷q和它的端電壓u之間的關(guān)系是由qu平面上的一條曲線所確定，則此二端元件稱為電容元件。這條曲線稱庫伏特性曲線。_+qqu5.1電容元件（續(xù)1）線性時(shí)不變電容元件：任何時(shí)刻，電容元件極板上的電荷q與電壓u成正比。q-u

特性曲線是過原點(diǎn)的直線。電路符號(hào)單位：法[拉](F)1F=106

F，1F

=106pF電壓－電流關(guān)系當(dāng)電壓和電流取關(guān)聯(lián)參考方向動(dòng)態(tài)元件

u為直流時(shí)，電容相當(dāng)于開路隔直通交

“記憶”特性

5.1電容元件（續(xù)2）VCR的微分形式

VCR的積分形式

5.1電容元件（續(xù)3）電容電壓的連續(xù)性質(zhì)當(dāng)電容電流有界時(shí)，

當(dāng)流過電容的電流有界時(shí)，電容電壓不能躍變。

儲(chǔ)能5.1電容元件（續(xù)4）幾種常見電容器的外形圖(a)空氣可變電容器

(b)紙介電容器

(c)云母電容器

(d)陶瓷電容器

(e)鋁電解電容器

(f)貼片陶瓷電容器

實(shí)際電容器的模型5.1電容元件（續(xù)5）5.1電容元件（續(xù)6）例1

如圖(a)所示電路中電容與電壓源連接，已知電壓源電壓波形如圖(b)所示，試求電容電流及電容的儲(chǔ)能。解

由圖(b)所示波形曲線，可求得電壓源電壓的表達(dá)式為5.1電容元件（續(xù)7）則電容電流為：電容電流隨時(shí)間變化的波形曲線

5.1電容元件（續(xù)8）則電容的儲(chǔ)能為：電容儲(chǔ)能隨時(shí)間變化的波形曲線

例2

如圖(a)所示電路中電容與電流源連接，已知電流源電流波形如圖(b)所示，試求電容電壓及電容吸收的功率。假設(shè)u(0)=0V。解：由圖(b)所示波形曲線，可求得電流的表達(dá)式為5.1電容元件（續(xù)9）5.1電容元件（續(xù)10）當(dāng)0≤t<0.5s時(shí)

當(dāng)0.5s≤t≤1s時(shí)電容電壓隨時(shí)間變化的曲線如圖中實(shí)線所示5.1電容元件（續(xù)11）電容吸收的功率為當(dāng)0≤t<0.5s時(shí)

當(dāng)0.5s≤t≤1s時(shí)電容吸收的功率隨時(shí)間變化的曲線如圖中虛線所示

5.1電感元件電感元件的定義：一個(gè)二端元件，如果在任一時(shí)刻t，它的磁鏈ψ與流過它的電流i之間的關(guān)系是由ψ-i平面上的一條曲線所確定，則此二端元件稱為電感元件。這條曲線稱韋安特性曲線。

i(t)ψ(t)＝N(t)iψo(hù)5.1電感元件（續(xù)1）線性時(shí)不變電感元件：任何時(shí)刻，通過電感元件的電流i

與其磁鏈ψ

成正比。ψ-i

特性為過原點(diǎn)的直線。電路符號(hào)單位：亨[利](Ｈ)1H=103mH=106

H電壓－電流關(guān)系當(dāng)電壓和電流取關(guān)聯(lián)參考方向動(dòng)態(tài)元件

i為直流時(shí)，電感相當(dāng)于短路

“記憶”特性

5.1電感元件（續(xù)2）VCR的微分形式

VCR的積分形式

5.1電感元件（續(xù)3）電感電流的連續(xù)性質(zhì)當(dāng)電感電壓有界時(shí)，

當(dāng)電感電壓有界時(shí)，電感電流不能躍變。

儲(chǔ)能5.1電感元件（續(xù)4）幾種常見電感器的外形圖(a)空心電感器

(b)鐵心電感器

(c)磁心電感器

(d)貼片電感器

實(shí)際電感線圈的模型5.1電感元件（續(xù)5）5.3動(dòng)態(tài)電路方程

含有動(dòng)態(tài)元件電容或電感的電路稱為動(dòng)態(tài)電路。動(dòng)態(tài)電路可以用微分方程來描述。當(dāng)動(dòng)態(tài)電路狀態(tài)發(fā)生改變時(shí)，需要經(jīng)歷一個(gè)變化過程才能達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)。這個(gè)變化過程稱為電路的過渡過程。動(dòng)態(tài)電路穩(wěn)態(tài)的改變,是由電路的接通、斷開、改接及電路元件的突然變化等原因所引起的,這些變化統(tǒng)稱為“換路”。動(dòng)態(tài)電路產(chǎn)生過渡過程的內(nèi)因是含有動(dòng)態(tài)元件，即儲(chǔ)能元件；外因是“換路”。5.3動(dòng)態(tài)電路方程（續(xù)1）tOuC過渡過程穩(wěn)態(tài)2穩(wěn)態(tài)1500kV斷路器5.3動(dòng)態(tài)電路方程（續(xù)2）5.3.1動(dòng)態(tài)電路方程的列寫

動(dòng)態(tài)電路方程的列寫依然是根據(jù)KCL、KVL和元件的VCR。一般情況下，對(duì)于線性非時(shí)變動(dòng)態(tài)電路，只含單一響應(yīng)變量的動(dòng)態(tài)電路方程通常為常系數(shù)線性微分方程。

左圖為含有一個(gè)電容元件的動(dòng)態(tài)電路。根據(jù)KVL得將和代入上式得一階電路5.3.1動(dòng)態(tài)電路方程的列寫（續(xù)1）由KVL和各元件方程得二階電路電路中有多個(gè)動(dòng)態(tài)元件，描述電路的方程是高階微分方程。n階電路5.3.2一階微分方程的求解求解一階常微分方程的經(jīng)典法設(shè)一階微分方程其通解由兩部分組成，即為對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解，其中方程的一個(gè)特解。

為非齊次微分5.3.2一階微分方程的求解（續(xù)1）自由分量（也稱暫態(tài)分量）

強(qiáng)制分量（也稱穩(wěn)態(tài)分量）

5.3.3初始條件的確定換路時(shí)刻在電路分析中，認(rèn)為換路是在瞬間完成的。為了敘述方便，通常把換路前的最終時(shí)刻記為t=0-，把換路后的最初時(shí)刻記為t=0＋。t=0＋時(shí)刻的電壓、電流值稱為初始值

。換路定則

在換路前后電容電流和電感電壓為有限值的條件下，換路前后瞬間電容電壓和電感電流不能躍變。5.3.3初始條件的確定（續(xù)1）例1

求開關(guān)閉合后電容電壓的初始值uC

(0+)及各支路電流的初始值i1(0+)、i2(0+)、iC

(0+)。

解：（1）畫出t

=

0-時(shí)的等效電路

（2）由換路定則得

5.3.3初始條件的確定（續(xù)2）（3）畫出t=0＋時(shí)的等效電路

t=0＋時(shí)電容用電壓源替代

5.3.3初始條件的確定（續(xù)3）例2

求開關(guān)閉合后電感電流的初始值iL(0+)、電感電壓的初始值uL(0+)以及其它兩個(gè)支路電流的初始值i(0+)和is(0+)。

解：（1）畫出t

=

0-時(shí)的等效電路

5.3.3初始條件的確定（續(xù)4）（2）由換路定則得

（3）畫出t=0＋時(shí)的等效電路

t=0＋時(shí)電感用電流源替代

5.3.3初始條件的確定（續(xù)5）例3求圖示電路中各支路電流及電感電壓的初始值，設(shè)換路前電路處于穩(wěn)態(tài)。解：5.3.3初始條件的確定（續(xù)6）代入數(shù)據(jù)得：

解之得

5.3.3初始條件的確定（續(xù)7）求初始值的步驟由換路前電路（穩(wěn)定狀態(tài)）求uC(0－)和iL(0－)。由換路定則得uC(0+)和iL(0+)。畫0+等效電路。

電容用電壓源替代，電感用電流源替代。

（取0+時(shí)刻值，方向與原假定的電容電壓、電感電流方向相同）由0+電路求所需各變量的0+值。5.4一階電路的零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)換路后外加激勵(lì)為零，僅由動(dòng)態(tài)元件初始儲(chǔ)能產(chǎn)生的電壓和電流。一階RC電路的零輸入響應(yīng)開關(guān)S切換前，電容已充電至U0。5.4一階電路的零輸入響應(yīng)（續(xù)1）一階RC電路的時(shí)間常數(shù)(timeconstant)

5.4一階電路的零輸入響應(yīng)（續(xù)2）

時(shí)間常數(shù)愈小，放電過程進(jìn)行得愈快，暫態(tài)過程需要的時(shí)間越短；反之，愈大，放電過程進(jìn)行得愈慢，暫態(tài)過程需要的時(shí)間越長。在實(shí)際中一般認(rèn)為換路后經(jīng)過3

~5的時(shí)間，暫態(tài)過程基本結(jié)束。U00.368U00.135U00.05U00.007U0t02

3

5U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

具有時(shí)間量綱（歐·法=歐·庫/伏=歐·安·秒/伏=秒）5.4一階電路的零輸入響應(yīng)（續(xù)3）例1

高壓設(shè)備檢修時(shí)，一個(gè)40μF的電容器從高壓電網(wǎng)上切除，切除瞬間電容兩端的電壓為4.5kV。切除后，電容經(jīng)本身的漏電電阻RS放電?，F(xiàn)測(cè)得RS＝175MΩ，試求電容電壓下降到1kV所需要的時(shí)間。解：設(shè)在t＝0時(shí)電容器從高壓電網(wǎng)上切除，電容經(jīng)RS放電的等效電路如圖所示，可得：當(dāng)uC下降到1000V，則有5.4一階電路的零輸入響應(yīng)（續(xù)4）解得

從計(jì)算結(jié)果可知，電容器與電源雖然已斷開將近3個(gè)小時(shí)，但還保持高達(dá)1000V的電壓。這樣高的電壓足以造成人身安全事故。因此，在檢修具有大電容設(shè)備時(shí)，事先必須經(jīng)過充分放電。5.4一階電路的零輸入響應(yīng)（續(xù)5）一階RL電路5.4一階電路的零輸入響應(yīng)（續(xù)6）一階RL電路的時(shí)間常數(shù)具有時(shí)間量綱（亨/歐=秒）例2

設(shè)圖所示電路中，開關(guān)S在t=0時(shí)打開，開關(guān)打開前電路在直流電壓源US作用下已穩(wěn)定。已知US=220V，L=0.1H，R1=50k，R2=5，試求開關(guān)打開瞬間其兩端的電壓uK(0+)以及R1上的電壓uR1。5.4一階電路的零輸入響應(yīng)（續(xù)7）解：

由換路后的電路可得微分方程電阻R1上的電壓開關(guān)S兩端的電壓t=0+時(shí)，開關(guān)兩端的電壓為

可看出，開關(guān)S在打開的瞬間，其兩端電壓會(huì)高出電源電壓約R1/R2倍，開關(guān)會(huì)承受一個(gè)很高的沖擊電壓，會(huì)引起強(qiáng)烈的電弧。

5.4一階電路的零輸入響應(yīng)（續(xù)8）5.5一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)一階RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)動(dòng)態(tài)元件的初始儲(chǔ)能為零，僅由外施激勵(lì)引起的響應(yīng)。換路后該電路的微分方程為

5.5一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)（續(xù)1）通解為

再根據(jù)初始條件，可得

得到非齊次微分方程的通解

5.5一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)（續(xù)2）一階RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)換路后該電路的微分方程為其通解為5.6一階電路的全響應(yīng)及三要素法全響應(yīng)電路的初始狀態(tài)不為零，同時(shí)又有外加激勵(lì)源作用時(shí)電路中產(chǎn)生的響應(yīng)。一階RC電路的全響應(yīng)換路后電路的方程為

方程的通解為5.6一階電路的全響應(yīng)及三要素法（續(xù)1）為強(qiáng)制分量（或穩(wěn)態(tài)分量

）為自由分量（或暫態(tài)分量

）全響應(yīng)=強(qiáng)制分量+自由分量

全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量

全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)

5.6一階電路的全響應(yīng)及三要素法（續(xù)2）一階RL電路的全響應(yīng)換路后電路的方程為

方程的通解為5.6一階電路的全響應(yīng)及三要素法（續(xù)3）一階電路的三要素法直流電源激勵(lì)下的一階電路，其微分方程為

顯然因此其通解為

時(shí)間常數(shù)

初始值

穩(wěn)態(tài)值一階電路的三要素法5.6一階電路的全響應(yīng)及三要素法（續(xù)4）根據(jù)0+時(shí)的等效電路求得

根據(jù)∞時(shí)的等效電路求得

Req為從電容或電感元件兩端看進(jìn)去的等效電阻

變量y可以是任意支路的電壓或電流，但通常是先求電容電壓或電感電流，再求其它變量。一階RC電路

一階RL電路

5.6一階電路的全響應(yīng)及三要素法（續(xù)5）例1

圖(a)所示電路中，開關(guān)S原來合在“1”上很久，在t=0時(shí)S合向“2”端，用三要素法求t>0時(shí)，電容兩端電壓uC和電流iC，并繪出它們隨時(shí)間變化的曲線。

解

(1)求初始值uC(0+)作t=0－時(shí)的電路如圖(b)所示，求得

(a)根據(jù)換路定則，得電容開路(b)5.6一階電路的全響應(yīng)及三要素法（續(xù)6）

(2)求穩(wěn)態(tài)值uC(∞)

作換路后t=∞時(shí)的等效電路如圖(c)，求得(3)求時(shí)間常數(shù)τ

τ=ReqC，Req為換路后從電容兩端看進(jìn)去的等效電阻。其等效電路如圖(d)所示，求得

(d)

(c)

(a)5.6一階電路的全響應(yīng)及三要素法（續(xù)7）(4)求uC、iC

將uC(0+)=2V、uC(∞)=–2V和τ=1s代入三要素公式則畫出uC、iC的波形，如圖(e)所示。

5.6一階電路的全響應(yīng)及三要素法（續(xù)8）

(e)5.6一階電路的全響應(yīng)及三要素法（續(xù)9）解

(1)求初始值i(0+)、uL(0+)作t=0+時(shí)的電路如圖(b)所示。(a)(b)根據(jù)換路定則，得

iL(0+)=iL(0－)=2A例2

如圖(a)所示，開關(guān)合在1時(shí)電路已經(jīng)穩(wěn)定。t=0時(shí)，開關(guān)由1合向2，用三要素法求t≥0時(shí)的i和uL。開關(guān)在1位置時(shí)，電流iL(0－)為可求得

i(0+)=(2－2)A=0電感代之以短路電感代之以電流源5.6一階電路的全響應(yīng)及三要素法（續(xù)10）

作換路后t=∞時(shí)的等效電路如圖(c)。求得(3)求時(shí)間常數(shù)τ

換路后從電感兩端看進(jìn)去的電路如圖(d)所示。求得

(d)

(c)

(a)

(2)求穩(wěn)態(tài)值i(∞)、uL(∞)電感代之以短路5.6一階電路的全響應(yīng)及三要素法（續(xù)11）(4)求i

、uL