第六章二次型

第六章二次型第一節(jié)二次型一ｎ元二次型的概念二二次型的表示方法三二次型的矩陣及秩四化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形五小結(jié)一、n元二次型1、定義的二次齊次多項(xiàng)式含有n個變量①稱為二次型．或記為注①當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為實(shí)數(shù)時，稱為實(shí)二次型；②當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為復(fù)數(shù)時，稱為復(fù)二次型．二、二次型的矩陣表示定義只含有平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形．定義特別地，稱為二次型的規(guī)范形．１、二次型的和式表示②２、二次型的矩陣表示③

則二次型．其中矩陣A為對稱矩陣.令任一二次型f三、二次型的矩陣及秩對稱矩陣A任一對稱矩陣A二次型f一一對應(yīng)f稱為對稱矩陣A的二次型；A稱為二次型f的矩陣；對稱矩陣A的秩稱為二次型f的秩．練習(xí)寫出下列二次型的對稱矩陣．3）復(fù)數(shù)域C上的４元二次型例１

1）實(shí)數(shù)域R上的２元二次型

2）實(shí)數(shù)域上R的３元二次型解定義設(shè)A,B為n階方陣，若存在n階可逆陣P，使得則稱A合同于B或A與B合同.性質(zhì)①反身性②對稱性③傳遞性等價④合同矩陣具有相同的秩.⑤與對稱矩陣合同的矩陣也是對稱矩陣.設(shè)四、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形．記記作將其代入有若|C|≠0，則④稱為非退化線性變換．④注二次型經(jīng)過非退化線性變換仍為二次型．證明即為對稱矩陣.說明用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟例2例3解1．寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值例2從而得特征值2．求特征向量3．將特征向量正交化得正交向量組4．將正交向量組單位化，得正交矩陣于是所求正交變換為解例3五、小結(jié)

1.實(shí)二次型的化簡問題，在理論和實(shí)際中經(jīng)常遇到，通過在二次型和對稱矩陣之間建立一一對應(yīng)的關(guān)系，將二次型的化簡轉(zhuǎn)化為將對稱矩陣化為對角矩陣，而這是已經(jīng)解決了的問題，請同學(xué)們注意這種研究問題的思想方法．

2.實(shí)二次型的化簡，并不局限于使用正交矩陣，根據(jù)二次型本身的特點(diǎn)，可以找到某種運(yùn)算更快的可逆變換．下一節(jié)，我們將介紹另一種方法——拉格朗日配方法．化為標(biāo)準(zhǔn)型，并指出表示何種二次曲面.求一正交變換，將二次型思考題思考題解答第二節(jié)用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型一拉格朗日配方法的具體步驟二小結(jié)一、拉格朗日配方法的具體步驟

用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是保持幾何形狀不變．

問題有沒有其它方法，也可以把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形？

問題的回答是肯定的。下面介紹一種行之有效的方法——拉格朗日配方法．

1.若二次型含有的平方項(xiàng)，則先把含有的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對其余的變量同樣進(jìn)行，直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過非退化線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形;拉格朗日配方法的步驟

2.若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是則先作可逆線性變換化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按1中方法配方.解例1含有平方項(xiàng)去掉配方后多出來的項(xiàng)所用變換矩陣為解例2由于所給二次型中無平方項(xiàng)，所以再配方，得所用變換矩陣為二、小結(jié)

將一個二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，可以用正交變換法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，這取決于問題的要求．如果要求找出一個正交矩陣，無疑應(yīng)使用正交變換法；如果只需要找出一個可逆的線性變換，那么各種方法都可以使用．正交變換法的好處是有固定的步驟，可以按部就班一步一步地求解，但計(jì)算量通常較大；如果二次型中變量個數(shù)較少，使用拉格朗日配方法反而比較簡單．需要注意的是，使用不同的方法，所得到的標(biāo)準(zhǔn)形可能不相同，但標(biāo)準(zhǔn)形中含有的項(xiàng)數(shù)必定相同，項(xiàng)數(shù)等于所給二次型的秩．思考題思考題解答第三節(jié)慣性定理與正定二次型一慣性定理二正(負(fù))定二次型的概念三正(負(fù))定二次型的判別四小結(jié)一、慣性定理

一個實(shí)二次型，既可以通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，也可以通過拉格朗日配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形，顯然，其標(biāo)準(zhǔn)形一般來說是不唯一的，但標(biāo)準(zhǔn)形中所含有的項(xiàng)數(shù)是確定的，項(xiàng)數(shù)等于二次型的秩．

下面我們限定所用的變換為實(shí)變換，來研究二次型的標(biāo)準(zhǔn)形所具有的性質(zhì)．為正定二次型為負(fù)定二次型二、正(負(fù))定二次型的概念例如證明充分性故三、正(負(fù))定二次型的判別必要性故推論對稱矩陣為正定的充分必要條件是：的特征值全為正．這個定理稱為霍爾維茨定理．定理3對稱矩陣為正定的充分必要條件是：的各階主子式為正，即對稱矩陣為負(fù)定的充分必要條件是：奇數(shù)階主子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正，即正定矩陣具有以下一些簡單性質(zhì)例1

判別二次型是否正定.解它的順序主子式故上述二次型是正定的.例2

判別二次型是否正定.解二次型的矩陣為用特征值判別法.故此二次型為正定二次型.即知是正定矩陣，例3

判別二次型的正定性.解2.正定二次型（正定矩陣）的判別方法：(1)定義法；(2)順次主子