第6章連續(xù)型隨機變量的分布

第六章

連續(xù)型隨機變量的概率分布正態(tài)分布卡方分布t分布F分布第一節(jié)正態(tài)分布一、正態(tài)分布的定義和性質(zhì)在自然、社會和經(jīng)濟等領(lǐng)域內(nèi)，有許多現(xiàn)象服從一定的分布規(guī)律，例如身高、體重、一片森林的高度、學(xué)生成績、人的智商、測量誤差、海浪高度等等隨機變量，我們將這類分布叫做正態(tài)分布(Normaldistribution)，又叫常態(tài)分布、高斯分布。正態(tài)分布是參數(shù)估計和假設(shè)檢驗的理論基礎(chǔ)。不論總體是否服從正態(tài)分布，只要樣本容量n足夠大，其樣本平均數(shù)的抽樣分布也必然接近正態(tài)分布，這就是有名的中心極限定理?？梢哉f，在各類分布中，正態(tài)分布居于首要的地位。正態(tài)分布的圖形與數(shù)學(xué)形式從數(shù)學(xué)表達式可以看出，當(dāng)

確定之后，正態(tài)曲線的圖形也就唯一的被確定了。一般正態(tài)分布記為正態(tài)分布的性質(zhì)：P109二、正態(tài)曲線下的面積可見，對于所有的正態(tài)分布而言，約三分之二的個案散落在

一個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)，而超過95％的個體聚集在兩個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)?！纠?】班里語文考試成績服從正態(tài)分布，平均成績80分，標(biāo)準(zhǔn)差10分，學(xué)生甲70分，學(xué)生乙得60分，問分別有百分之多少的學(xué)生比甲、乙分?jǐn)?shù)低？【解】對于甲學(xué)生而言，與平均成績的差距＝10分＝S則有34.13%的同學(xué)在70分－80分之間，因為只有50％的同學(xué)低于80分，所以低于70分的同學(xué)的百分比為：50％－34.13％＝15.87%同理，乙離開平均分的差距＝20分＝2S則有47.72%的同學(xué)在60分到80分之間，因為只有50％的同學(xué)地域80分，所以低于60分的同學(xué)的百分比為：50％－47.73％＝2.27％【例2】高考在山東和甘肅是統(tǒng)一命題考試的。某高校計劃在山東、甘肅各錄取前0.13％的考生。假設(shè)考生的成績在兩個省都呈正態(tài)分布，山東平均分＝75分，標(biāo)準(zhǔn)差＝6分，甘肅平均分＝65分，標(biāo)準(zhǔn)差＝8分。如果一名考生靠了90分，那么他會被錄取嗎？【解】錄取前0.13%的學(xué)生，即錄取位于高于平均分3個標(biāo)準(zhǔn)差的考生。則山東：75＋18=93甘肅：65＋24=89在山東不會被錄取，在甘肅則會被錄取。三、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在上個例題中，我們發(fā)現(xiàn)，要確定變量值的相對位置，要先確定這個值到均值的距離可以換算為幾個標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的變量值的單位是標(biāo)準(zhǔn)差，是以距離均值的標(biāo)準(zhǔn)差的比例數(shù)來衡量。所有的變量值都可以通過這個公式轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的變量值。這里的變量X變成了Z。標(biāo)準(zhǔn)差就是Z的單位。Z可以稱之為標(biāo)準(zhǔn)分（StandardScores）。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的公式為：比較原來的正態(tài)分布公式，我們可以看出，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的均值等于0，標(biāo)準(zhǔn)差＝1，簡單記作Z～N(0,1)。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是沒有參數(shù)的，永遠是一個已知的分布。對于任何一個正態(tài)分布而言，只要知道均值和標(biāo)準(zhǔn)差，都可以和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之間來回轉(zhuǎn)化。p(-1≤z≤1)=0.6827p(-2≤z≤2)=0.9545p(-3≤z≤3)=0.9973【討論】將取值轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)分，關(guān)鍵在于保留原取值的“相對位置”的因素，當(dāng)然標(biāo)準(zhǔn)分無法描述絕對水平的高低。以考試成績?yōu)槔瑯?biāo)準(zhǔn)分無法直接描述考試成績，而是描述該成績的相對位置。換句話說，甲學(xué)生比乙學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)分高1分，只是說明甲在分?jǐn)?shù)分布中的位置比乙高出一定的百分?jǐn)?shù)，并不表示甲的絕對成績就比乙高1分，而是高一個標(biāo)準(zhǔn)差。如果原分布的標(biāo)準(zhǔn)差小，1分表示一個比較大的差距，如果原分布的標(biāo)準(zhǔn)差大，則1分表示一個相對小的差距。對于兩個不同的原初分布，比如不同學(xué)科，標(biāo)準(zhǔn)分相同，不代表原始分相同。因為在標(biāo)準(zhǔn)分中，只要是第一名就是100分，而不管原始分是多少。【例2】高考在山東和甘肅是統(tǒng)一命題考試的。某高校計劃在山東、甘肅各錄取前0.13％的考生。假設(shè)考生的成績在兩個省都呈正態(tài)分布，山東平均分＝75分，標(biāo)準(zhǔn)差＝6分，甘肅平均分＝65分，標(biāo)準(zhǔn)差＝8分。如果一名考生靠了90分，那么他會被錄取嗎？【解】我們先計算標(biāo)準(zhǔn)分：山東：甘肅：查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，p325，因為每一個Z值都可以直接找到正態(tài)分布表中的面積。查表得，山東的考生位于前0.62%的位置，而甘肅的考試位于高于0.13％的位置，所以在山東不會被錄取，在甘肅則會被錄取。四、正態(tài)分布表在各種統(tǒng)計學(xué)教科書的附錄中以及數(shù)學(xué)手冊中，都列有正態(tài)分布表，表中以某種形式詳細(xì)給出了服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的變量Z的各種值的分布頻率，即給出了變量Z小于各待查值的頻率，但是具體的又不盡相同，比如盧淑華的教材Z分布表是指負(fù)無窮到Z的概率分布，而張彥教材是從0－Z。正態(tài)分布的計算方式（1）負(fù)值概率P(－Z0)＝0.5－F(Z0)

如P（Z≤－1.3）=1－P(1.3)=1-0.9032=0.0968(2)任意區(qū)間：P(Z1≤Z≤Z2)=F(Z2)-F(Z1)(3)P(Z≥Z0)=0.5-F(Z0)(4)P(Z≥-Z0)=0.5+F(Z0)【例題1】【例2】

首先求0.5－0.05＝0.45然后查表可得對應(yīng)的Z值，介于1.6到1.7之間?！纠?】或者0.05的一半為0.025，0.5－0.025＝0.975查表，得Z0＝1.96【例4】根據(jù)統(tǒng)計，濟南市初婚年齡服從正態(tài)分布，其均值是25歲，標(biāo)準(zhǔn)差為5歲，問25到30歲之間結(jié)婚的人，其百分?jǐn)?shù)是多少？【解】為了使用正態(tài)分布表，首先必須將年齡換算為標(biāo)準(zhǔn)分：

查表得

所以濟南市25歲到30歲之間結(jié)婚的人百分比是34.13％。五、二項分布的正態(tài)近似法二項分布的應(yīng)用受到了樣本n的很大限制，只有當(dāng)n很小的時候我們才能方便的使用公式計算二項分布。所幸的是，二項分布是以正態(tài)分布為極限的。當(dāng)n很大（≥30）時，只要p或q不近于零，（np，nq都不小于5）我們都可以用正態(tài)分布近似的解決二項分布的計算問題。令

，將B（n，p）視為N（np，npq）來計算。參見張彥教材的例題，P114－115頁，【7.3.4】【7.3.5】【例7.3.4】在拋擲一枚硬幣10次的二項實驗中，試以二項分布與二項分布的正態(tài)近似法，求成功3到6次的概率。

【例7.3.5】鐵路部門預(yù)計在有車票的旅客中有5%趕不上該列車，該列車有座位600個，但卻售出了620張票，求每位旅客都有座位的概率。

第二節(jié)卡方分布

（Chi-squaredistribution）

第三節(jié)t分布（t-distribution）1900年左右，統(tǒng)計學(xué)家開始覺得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布并不總是用來尋找概率的正確分布。WilliamGosset是一名為愛爾蘭的都柏林一家啤酒廠GuinnessBreweries工作的化學(xué)家，數(shù)學(xué)是他的副科；他是對此感到懷疑的人之一。他決定經(jīng)驗地檢驗在概率問題中使用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是否總是對的。有些不可思議地，Gosset以收集3000個犯人的身高和左手中指長度來開始他的探索。從這兩個數(shù)據(jù)集（身高和手指長度），他對每一個變量各選擇了四個觀察值，因此他有了750個不同的樣本。對于每一個樣本他都計算了一個叫做t的值。然后他制作了兩個直方圖，想看一看每一個樣本的所有的t值的分布是什么樣的？它們與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有多類似？Gosset發(fā)現(xiàn)他的兩個直方圖的形狀非常接近，但是與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有很大不同。他將這個新分布叫作t分布（t-distribution），他計算得出的值也叫t值。他在發(fā)表這個結(jié)果時，因為他們公司的老板不愿意讓員工發(fā)表文章，害怕他們會將釀造啤酒的秘密泄露出去，所以他署了一個假名叫做“學(xué)生”，因此t分布有時也叫做學(xué)生分布(Student'st)，后來，F(xiàn)isher將Gosset的經(jīng)驗結(jié)論進行了數(shù)學(xué)化；他對t分布的曲線導(dǎo)出了相應(yīng)的數(shù)學(xué)函數(shù)。今天，這個分布已經(jīng)是迄今最常用的分布了。

下圖是自由度為10的t分布圖。t曲線下的總面積是1.00，與正態(tài)分布相同。分布是單峰和對稱于t=0的。這看起來和正態(tài)分布類似，并且我們很難看出t圖與正態(tài)分布圖有什么不同。但實際上它們確實是有區(qū)別的。正態(tài)分布和t分布這兩個曲線的基本形狀相同，但是正態(tài)分布的中部較高，t分布在水平軸上的收斂不像正態(tài)分布那么快。這個區(qū)別表明t分布在其均值周圍的聚集程度比正態(tài)分布要差一些。例如，z變量大于2.5的概率等于0.0062，但自曲度為10的t變量大于2.5的概率等于0.0152。換句話說，10000個z值中只有62個比2.5大，但是在10000個t值中有152個大于2.5。仍然，自由度為10的t值有95％落在－2.228和+2.228的區(qū)間內(nèi)。這就意味著，和正態(tài)分布相比，我們必須到離中點更遠的地方去獲得95%的t值。而回顧正態(tài)分布，有95%的取值落在一1.96和+1.96的區(qū)間內(nèi)。

t分布的自由度越大，則該t分布的曲線就越接近正態(tài)分布。在自由度大于30以后就很難說出這兩種曲線的差異了。在自由度等于50時這兩種曲線就幾乎相同了。這就是為什么統(tǒng)計表中列出的t分布的自由度只到120的原因；此后就可以使用正態(tài)分布表來代替了。第四節(jié)F分布（FDistribution）F分布族的命名是為了紀(jì)念偉大的英國統(tǒng)計學(xué)家RonaldFisher爵士。F分部是一種常見的連續(xù)型隨機變量的概率分布，被廣泛應(yīng)用于似然比率檢驗，特別是ANOVA中。定義設(shè)X1服從自由度為k1的卡方分布，X2服從自由度為k2的卡方分布，且X1和X2相互獨立，則稱變量

服從F分布，用F(k1,k2)來表示，其中第一自由度是k1，第二自由度是k2。一個F分布的隨機變量是兩個卡方分布變量的比率。還是設(shè)想一些裝滿了寫有數(shù)字紙片的桶。每一個桶都代表一種F分布并且有一對標(biāo)號，例如4和40。則這個桶代表了自由度為4和40的F分布。

一個比較詳細(xì)的F分布表應(yīng)有1000個不同F(xiàn)分布的信息。所以我們教材后面用了厚厚幾頁紙列出了常用的F統(tǒng)計量值。下圖是自由度為4和40的F分布的圖形。

從圖上我們知道和卡方變量一樣，F(xiàn)變量也是非負(fù)的，F(xiàn)分布中的取值大部分在0到5之間變化。在自由度小時，F(xiàn)值要大些。對這個特定的F分布，大多數(shù)F變量的取值看來都小于3。由F分布表，5%的F值大于2.45，而只有1%的F值大于3.83。因此，隨機選擇一個自由度為4和40的F分布