第四章導(dǎo)熱數(shù)值解法基礎(chǔ)

1第四章導(dǎo)熱數(shù)值解法基礎(chǔ)引言§4-0引言求解導(dǎo)熱問題的三種基本方法：(1)理論分析法；(2)數(shù)值計(jì)算法；(3)實(shí)驗(yàn)法

三種方法的基本求解過程

(1)

所謂理論分析方法，就是在理論分析的基礎(chǔ)上，直接對(duì)微分方程在給定的定解條件下進(jìn)行積分，這樣獲得的解稱之為分析解，或叫理論解；

(2)

數(shù)值計(jì)算法，把原來在時(shí)間和空間連續(xù)的物理量的場(chǎng)，用有限個(gè)離散點(diǎn)上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，從而獲得離散點(diǎn)上被求物理量的值；并稱之為數(shù)值解；2引言

(3)

實(shí)驗(yàn)法就是在傳熱學(xué)基本理論的指導(dǎo)下，通過實(shí)驗(yàn)獲得所求量的方法3三種方法的特點(diǎn)

(1)分析法

a能獲得所研究問題的精確解，可以為實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算提供比較依據(jù)；

b局限性很大，對(duì)復(fù)雜的問題無法求解；

c分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見

3(2)

數(shù)值法：在很大程度上彌補(bǔ)了分析法的缺點(diǎn)，適應(yīng)性強(qiáng)，特別對(duì)于復(fù)雜問題更顯其優(yōu)越性；與實(shí)驗(yàn)法相比成本低(3)實(shí)驗(yàn)法:

是傳熱學(xué)的基本研究方法，a適應(yīng)性不好；

b費(fèi)用昂貴數(shù)值解法：有限差分法（finite-difference）、有限元法（finite-element）、邊界元法（boundary-element）、分子動(dòng)力學(xué)模擬（MD）

本章重點(diǎn)介紹有限差分法4§4-1導(dǎo)熱問題數(shù)值解法的基本思想

及內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立

對(duì)物理問題進(jìn)行數(shù)值求解的基本思想可以概括為：把原來在時(shí)間、空間坐標(biāo)系中連續(xù)的物理量的場(chǎng)，如導(dǎo)熱問題的溫度場(chǎng)，用有限個(gè)離散點(diǎn)上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關(guān)于這些點(diǎn)的代數(shù)方程，來獲得離散點(diǎn)上被求物理量的值。這些離散點(diǎn)上被求物理量值的集合稱為該物理量的數(shù)值解。

5導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的一般步驟

建立所研究問題的控制方程及定解條件區(qū)域離散化建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立迭代初場(chǎng)求解代數(shù)方程組對(duì)解進(jìn)行分析這一基本思想可用求解過程的框圖來表示，其圖為6建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程建立溫度場(chǎng)的迭代初值求解代數(shù)方程解的分析是否收斂？是否改進(jìn)初場(chǎng)7二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題研究實(shí)例物理模型控制方程定解條件xy08物體的離散xy9區(qū)域離散xy用一組平行于坐標(biāo)軸的直線（網(wǎng)格線）將研究區(qū)域劃分為若干份；網(wǎng)格線的交點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)；物體內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)稱為內(nèi)節(jié)點(diǎn)，邊界上的節(jié)點(diǎn)稱為外節(jié)點(diǎn)；兩節(jié)點(diǎn)之間的距離稱為步長(zhǎng)；10給節(jié)點(diǎn)編號(hào)用m表示x方向的位置，n表示y方向的位置，各節(jié)點(diǎn)的位置如圖；每個(gè)節(jié)點(diǎn)均代表一個(gè)元體，如（m，n）節(jié)點(diǎn)代表圖中虛線所示的元體；xym,nm+1,nm-1,nm,n-1m,n+111建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程

建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程有兩種方法

1.泰勒級(jí)數(shù)（Taylor）展開法

2.熱平衡法12建立節(jié)點(diǎn)方程的泰勒級(jí)數(shù)展開法函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開式為對(duì)節(jié)點(diǎn)(m+1,n)及(m-1,n)分別寫出函數(shù)對(duì)(m,n)點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)展開式13+14二階導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式x方向的二階導(dǎo)數(shù)差分表達(dá)式y(tǒng)方向的二階導(dǎo)數(shù)差分表達(dá)式上述差分格式稱為中心差分格式15二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)方程建立控制方程節(jié)點(diǎn)方程16用熱平衡法建立內(nèi)部節(jié)點(diǎn)方程

采用這種方法時(shí)，對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)所代表的元體建立能量平衡關(guān)系式，即可得到該節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)方程式。此時(shí)把節(jié)點(diǎn)看成是元體的代表。通過元體的界面所傳導(dǎo)的熱流量可以對(duì)有關(guān)的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)應(yīng)用傅立葉定律寫出。而且根據(jù)能量守恒定律，對(duì)于沒有內(nèi)熱源穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，從各個(gè)方向進(jìn)入元體的導(dǎo)熱量之和為零。17二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱內(nèi)部節(jié)點(diǎn)方程式的建立從左面進(jìn)入微元體的熱量從右面進(jìn)入微元體的熱量從下面進(jìn)入微元體的熱量從上面進(jìn)入微元體的熱量m,nm-1,nm+1,nm,n-1m,n+118二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱內(nèi)節(jié)點(diǎn)方程當(dāng)物體內(nèi)沒有內(nèi)熱源時(shí)，根據(jù)能量守恒定律，從各個(gè)方向進(jìn)入微元體的熱量之和為零

將各熱量計(jì)算表達(dá)式帶入，整理后得到上式即為二維穩(wěn)態(tài)沒有內(nèi)熱源導(dǎo)熱問題的內(nèi)節(jié)點(diǎn)方程19

二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱平直邊界上節(jié)點(diǎn)方程的建立從左面進(jìn)入微元體的熱量從右面進(jìn)入微元體的熱量從下面進(jìn)入微元體的熱量從上面進(jìn)入微元體的熱量m,n-1m,nm-1,nm,n+120二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱平直邊界上節(jié)點(diǎn)方程當(dāng)物體內(nèi)沒有內(nèi)熱源時(shí)，根據(jù)能量守恒定律，從各個(gè)方向進(jìn)入微元體的熱量之和為零

將各熱量計(jì)算表達(dá)式帶入，整理后得到21外角點(diǎn)節(jié)點(diǎn)方程建立從左面進(jìn)入微元體的熱量從右面進(jìn)入微元體的熱量從下面進(jìn)入微元體的熱量從上面進(jìn)入微元體的熱量m,nm-1,nm,n-122外角點(diǎn)節(jié)點(diǎn)方程當(dāng)物體內(nèi)沒有內(nèi)熱源時(shí)，根據(jù)能量守恒定律，從各個(gè)方向進(jìn)入微元體的熱量之和為零

將各熱量計(jì)算表達(dá)式帶入，整理后得到23內(nèi)角點(diǎn)節(jié)點(diǎn)方程建立從左面進(jìn)入微元體的熱量從右面進(jìn)入微元體的熱量從下面進(jìn)入微元體的熱量從上面進(jìn)入微元體的熱量m,nm-1,nm+1,nm,n-1m,n+124內(nèi)角點(diǎn)節(jié)點(diǎn)方程當(dāng)物體內(nèi)沒有內(nèi)熱源時(shí)，根據(jù)能量守恒定律，從各個(gè)方向進(jìn)入微元體的熱量之和為零即將各熱量計(jì)算表達(dá)式帶入，整理后得到252.節(jié)點(diǎn)方程組的求解寫出所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)的溫度差分方程n個(gè)未知節(jié)點(diǎn)溫度，n個(gè)代數(shù)方程式：26代數(shù)方程組求解代數(shù)方程組的求解方法有兩種：

1.直接求解法

2.迭代求解法在傳熱問題的有限差分法中主要采用迭代法。采用此法求解時(shí)需要對(duì)被求的溫度場(chǎng)預(yù)先假定一個(gè)解，稱為初場(chǎng)，并在求解過程中不斷改進(jìn)。27直接解法：通過有限次運(yùn)算獲得代數(shù)方程精確解;

矩陣求逆、高斯消元法迭代解法：先對(duì)要計(jì)算的場(chǎng)作出假設(shè)、在迭代計(jì)算過程中不斷予以改進(jìn)、直到計(jì)算結(jié)果與假定值的結(jié)果相差小于允許值。稱迭代計(jì)算已經(jīng)收斂。缺點(diǎn)：所需內(nèi)存較大、方程數(shù)目多時(shí)不便、不適用于非線性問題（若物性為溫度的函數(shù)，節(jié)點(diǎn)溫度差分方程中的系數(shù)不再是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。這些系數(shù)在計(jì)算過程中要相應(yīng)地不斷更新）迭代解法有多種：簡(jiǎn)單迭代（Jacobi迭代）、高斯-賽德爾迭代、塊迭代、交替方向迭代等高斯-賽德爾迭